I Compitino di Geometria Differenziale
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I Compitino di Geometria Differenziale
I Compitino di Geometria Differenziale - 12/12/2006 Esercizio A. Sia C il sottoinsieme di R3 definito dalle equazioni x3 = 27y 2xz = 9. 1. Dimostrare che C è una curva regolare, cioè una varietà liscia di dimensione 1. 2. Dimostrare che C non è connessa. 3. Sia C1 = C ∩ {(x, y, z) ∈ R3 : y > 0}. Dimostrare che C1 è connessa. Porre y = t3 e trovare una parametrizzazione globale di C1 α : (0, +∞) → C1 . 4. Calcolare la curvatura, la torsione e il triedro di Frenet di α nel punto t = 1. 5. Determinare la lunghezza dell’arco di C1 compreso fra i due piani y = 1 ed y = 27. Esercizio B. Sia n S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + 2(y − 1)2 + o z2 =1 . 4 1. Dimostrare che S 6= ⊘ ed è una superficie liscia. 2. Determinare l’equazione del piano tangente Tp S in ogni punto p = (x, y, z) ∈ S. 3. Sia f : S → R la funzione f (x, y, z) = z − x. Determinare i valori regolari e i punti critici di f . 4. Per quali λ ∈ R il sottoinsieme Cλ = f −1 (λ) ⊂ S è una curva regolare? (Motivare adeguatamente la risposta.) 1 Esercizio C. Si consideri l’applicazione f : R3 → R2 f (x, y, z) = (z + x2 − y 2 , x2 + z 2 ). 1. Determinare i valori regolari di f . 2. Sia S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = y 2 − x2 }. Dimostrare che S è una superficie liscia e che Cr = f −1 (0, r) è una curva regolare (ossia una varietà di dimensione 1) contenuta in S. 3. Sia π : R3 → R2 la proiezione sulle prime due coordinate e p : Cr → R2 la restrizione di π a Cr . Dimostrare che p(Cr ) è una curva piana regolare. 2