I Compitino di Geometria Differenziale

I Compitino di Geometria Differenziale - 12/12/2006
Esercizio A. Sia C il sottoinsieme di R3 definito dalle equazioni

x3 = 27y
2xz = 9.
1. Dimostrare che C è una curva regolare, cioè una varietà liscia di dimensione 1.
2. Dimostrare che C non è connessa.
3. Sia C1 = C ∩ {(x, y, z) ∈ R3 : y > 0}. Dimostrare che C1 è connessa.
Porre y = t3 e trovare una parametrizzazione globale di C1
α : (0, +∞) → C1 .
4. Calcolare la curvatura, la torsione e il triedro di Frenet di α nel punto
t = 1.
5. Determinare la lunghezza dell’arco di C1 compreso fra i due piani y = 1
ed y = 27.
Esercizio B. Sia
n
S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + 2(y − 1)2 +
o
z2
=1 .
4
1. Dimostrare che S 6= ⊘ ed è una superficie liscia.
2. Determinare l’equazione del piano tangente Tp S in ogni punto p =
(x, y, z) ∈ S.
3. Sia f : S → R la funzione f (x, y, z) = z − x. Determinare i valori
regolari e i punti critici di f .
4. Per quali λ ∈ R il sottoinsieme Cλ = f −1 (λ) ⊂ S è una curva regolare?
(Motivare adeguatamente la risposta.)
1
Esercizio C. Si consideri l’applicazione f : R3 → R2
f (x, y, z) = (z + x2 − y 2 , x2 + z 2 ).
1. Determinare i valori regolari di f .
2. Sia S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = y 2 − x2 }. Dimostrare che S è una
superficie liscia e che Cr = f −1 (0, r) è una curva regolare (ossia una
varietà di dimensione 1) contenuta in S.
3. Sia π : R3 → R2 la proiezione sulle prime due coordinate e p : Cr →
R2 la restrizione di π a Cr . Dimostrare che p(Cr ) è una curva piana
regolare.
2