ANALISI COMPLESSA 7 luglio 2014 Le risposte vanno giustificate

ANALISI COMPLESSA
7 luglio 2014
Le risposte vanno giustificate.
1.
Dimostrare che se f ha un polo di ordine n in z0 , allora
d n−1 1
res|z0 f = lim
(z − z0 )n f (z) .
z→z0 (n − 1)! dz
Dimostrare che
Z
∞
−∞
1
e−2πiξx
dx =
cosh(πx)
cosh(πξ)
∀ξ ∈ R.
2.
Dimostrare che se f = u + iv è una funzione a valori complessi in un aperto Ω del
piano complesso, le funzioni u e v sono a valori reali e di classe C 1 in Ω e ivi soddisfano
le equazioni di Cauchy–Riemann, allora f è olomorfa in Ω e f 0 (z) = ∂z f . Stabilire
poi se la funzione f (z) = |z|2 e−z è olomorfa in qualche sottoinsieme aperto del piano
complesso.
3.
Enunciare e dimostrare il teorema di Morera. Dimostrare anche che una successione
di funzioni olomorfe in un aperto Ω, convergente uniformemente sui compatti di Ω,
ha per limite una funzione olomorfa. Sia
f (z) =
∞
X
1
.
2
z
+
n
n=0
Dimostrare che f è olomorfa in C \ {−n2 : n ∈ N}. Che tipo di singolarità ha f nei
punti del piano complesso ove non è definita?
4.
Siano H is semipiano superiore e F : H → C una funzione olomorfa che soddisfa le
condizioni
|F (z)| ≤ 1
and
F (i) = 0.
Utilizzando il lemma di Schwarz per il disco, dimostrare che
z − i
|F (z)| ≤ ∀z ∈ H.
z+i
5.
Sia f una funzione olomorfa nel disco puntato Dr (z0 ) \ {z0 } tale che
|f (z)| ≤ A |z − z0 |−1/2 .
Dimostrare che f si estende a una funzione olomorfa in Dr (z0 ).
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