Esercitazione IV- 19 Dicembre 2013

Esercitazione IV- 19 Dicembre 2013
Argomenti trattati
• Variabile casuale Binomiale
• Variabile casuale di Bernoulli
• Variabile casuale di Poisson
Libro di testo
Probabilità e variabili casuali di Landenna, Marasini, Ferrari, capitolo 9 (pag 335-343,
pag 352-357)
Esercizio 1. Si consideri un’urna contenente 100 palline di cui 17 gialle e 83 nere.
Sia X la variabile casuale che rappresenta il numero di palline gialle in un campione di
ampiezza 15 estratto con reinserimento.
1. Si individui la distribuzione di X, specificandone i parametri
2. Si determinino le probabilità P (3 < X < 6) e P (X ≥ 3)
3. Si calcolino valore atteso e varianza della variabile casuale X
4. Si ricalcoli P (3 < X < 6) mediante un’opportuna approssimazione di Poisson per
X e si enunci la proprietà che giustifica tale approssimazione.
Soluzione 1.
15 e θ =
1. La variabile casuale X ha distribuzione binomiale di parametri n =
= 0, 17.
17
100
2.
P (3 < X < 6) = P (X = 4) + P (X = 5) =
15
15
4
11
=
(0, 17) (1−0, 17) +
(0, 17)5 (1−0, 17)10 = 0, 1468+0, 06616 = 0, 21296
4
5
P (X ≥ 3) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2) =
15
15
15
0
15
1
14
= 1−
(0, 17) (1−0, 17) −
(0, 17) (1−0, 17) −
(0, 17)2 (1−0, 17)13 =
0
1
2
= 1 − 0, 06112 − 0, 18777 − 0, 269 = 0, 48211
1
3.
E(X) = nθ = 15(0, 17) = 2, 55
V ar(X) = nθ(1 − θ) = 15(0, 17)(1 − 0, 17) = 2.1165
4. se si sfrutta l’approssimazione X risulta distribuita come una Poisson caratterizzata
dal parametro λ = nθ = 2, 55
P (3 < X < 6) = P (X = 4)+P (X = 5) =
2, 554 −2,55 2, 555 −2,55
e
+
e
= 0, 13756+0, 07 = 0, 2077
4!
5!
Esercizio 2. Sapendo che il rapporto delle nascite è di 105 femmine ogni 100 maschi:
1. si calcoli la probabilità che in una famiglia con quattro figli almeno uno sia maschio
2. si calcoli la probabilità che in una famiglia con quattro figli vi siano almeno un
maschio e una femmina
3. si considerino 560 famiglie ciascuna con quattro figli: si calcoli mediamente quante
famiglie hanno almeno una figlia femmina e quante hanno in media due figlie
femmine
Soluzione 2. La variabile casuale X={numero di neonati maschi} è distribuita in modo
binomiale con parametri n = 4 e θ = 100
205 = 0, 4878
1.
4
P (X ≥ 1) = 1−P (X = 0) = 1−
(0, 4878)0 (1−0, 4878)4 = 1−0, 0688 = 0, 9312
0
2.
4
P (1 ≤ X ≤ 3) = P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3) =
(0, 4878)1 (1−0, 4878)3 +
1
4
4
2
2
+
(0, 4878) (1−0, 4878) +
(0, 4878)3 (1−0, 4878)1 = 0, 262+0, 375+0, 2378 = 0, 8748
2
3
equivalentemente si poteva calcolare 1 − P (X = 0) − P (X = 4)
3. Z è una variabile casuale binomiale di parametri n = 560 e p = 0, 952 dove
4
p = P (X ≤ 3) = 1−P (X = 4) = 1−
(0, 4878)4 (1−0, 4878)0 = 1−0, 0566 = 0, 9434
4
E(Z) = np = 528, 304 ' 528
W è una variabile casuale binomiale di parametri n = 560 e p = 0, 372 dove
4
p = P (X = 2) =
(0, 4678)2 (1 − 0, 4678)2 = 0, 375
2
E(W ) = np = 210
2
Esercizio 3. La probabilità che un ragazzo apprezzi il regalo ricevuto dai genitori a natale
è dello 0,55. Si considerino 4 ragazzi assumendo, ragionevolmente, che la reazione di
ciascuno sia indipendente da quelle degli altri.
1. Qual è la distribuzione di probabilità del numero di regali apprezzati tra i 4 ragazzi?
2. Qual è il numero atteso di ragazzi che apprezzeranno il regalo dei genitori?
3. Qual è la probabilità che, dei 4 ragazzi scelti, almeno uno apprezzi il regalo?
Soluzione 3.
1. Sia Xi una variabile aleatoria definita da:
(
1 ragazzo i − esimo apprezza il regalo
Xi =
0 altrimenti
per ogni i = 1, 2, 3, 4. Allora Xi si distribuisce come una Bernoulliana di parametro
θ =P
0, 55; le 4 v.c. Xi sono indipendenti ed identicamente distribuite e dunque
S = 4i=1 Xi si distribuisce come una Binomiale di parametri n = 4 e θ = 0, 55
n s
P (S = s) =
θ (1 − θ)n−s
s
2.
E(S) = nθ = 4(0, 55) = 2, 2
3.
4
P (S ≥ 1) = 1 − P (S = 0) = 1 −
0, 550 (1 − 0, 55)4 = 0, 959
0
Esercizio 4. Nell’analizzare le tracce delle bombe V-1 della Seconda Guerra Mondiale,
la zona meridionale di Londra è stata suddivisa in 576 regioni, ognuna di area 0,25 km2 .
Un totale di 535 bombe ha colpito l’area delle 576 regioni. Si supponga che il numero di
bombe cadute nelle diverse regioni sia indipendentei e che abbia la stessa distribuzione
di Poisson.
1. individuare la probabilità che una singola bomba colpisca una singola regione.
2. calcolare la probabilità che una data regione sia stata colpita 0,1,2,3 o almeno 4
volte
3. calcolare mediamente quante aree siano state colpite 0,1,2,3 o almeno 4 volte
Soluzione 4.
1. la probabilità che una singola bomba colpisca una singola regione,
ovvero il parametro che caratterizza la distribuzione di Poisson è λ = 535
576 = 0, 9288
3
2.
P (X = 0) = e−λ = 0, 395
P (X = 1) = λe−λ = (0, 9288)0, 395 = 0, 3669
λx −λ 0, 863
e =
0, 395 = 0, 17
x!
2
λx −λ 0, 801
P (X = 3) =
e =
0, 395 = 0, 0527
x!
6
P (X ≥ 4) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2) − P (X = 3) =
P (X = 2) =
= 1 − 0, 395 − 0, 3669 − 0, 17 − 0, 0527 = 0, 0154
3. Il numero di aree mediamente colpite 0 volte è pari a 0, 395(576) = 227, 52 ' 228
Il numero di aree mediamente colpite 1 volte è pari a 0, 3669(576) = 211, 33 ' 211
Il numero di aree mediamente colpite 2 volte è pari a 0, 17(576) = 97, 92 ' 98
Il numero di aree mediamente colpite 3 volte è pari a 0, 0527(576) = 30, 35 ' 30
Il numero di aree mediamente colpite 4 volte o più è pari a 0, 0154(576) = 8, 8704 '
9
Esercizio 5. In una fabbrica di panettoni si producono mediamente ogni giorno 2
panettoni bruciati in superficie.
1. Si individui la distribuzione di interesse X ed il relativo parametro
2. Si calcolino P (X ≤ 1) e P (X ≥ 5).
3. Sia la variabile casuale Y = min(2, X) dove X é una poisson di parametro λ: se
ne determini il supporto e la funzione di probabilità per un generico λ
4. si calcoli la media della nuova variabile Y
Soluzione 5.
1. La variabile casuale relativa al conteggio del numero di panettoni
bruciati in superficie è distribuita come una Poisson di parametro λ = 2
2.
P (X ≤ 1) = P (X = 0)+P (X = 1) =
20 −2 21 −2
e + e = 0, 13534+0, 271 = 0, 40634
0!
1!
P (X ≥ 5) = 1−P (X ≤ 4) = 1−P (X = 0)−P (X = 1)−P (X = 2)−P (X = 3)−P (X = 4) =
= 1−0, 13534−0, 271−
22 −2 23 −2 24 −2
e − e − e = 1−0, 13534−0, 271−0, 271−0, 18−0, 09 = 0, 05266
2!
3!
4!
3. SY = {0, 1, 2} e la distribuzione di probablità della v.c. Y risulta:
P (Y = 0) = P (X = 0) = e−λ
P (Y = 1) = P (X = 1) = λe−λ
P (Y = 2) = P (X ≥ 2) = 1−P (Y = 0)−P (Y = 1) = 1−e−λ −λe−λ = 1−(λ+1)e−λ
4
4.
E(Y ) =
X
yP (Y = y) = (0)e−λ + λe−λ + 2[1 − (λ + 1)e−λ ] = 2 − (λ + 2)e−λ
y∈SY
Esercizio 6. Si consideri un’urna contenente 100 palline, delle quali 20 rosse e 80 verdi;
mediamente vengono estratte 4 palline rosse con reinserimento.
1. Si specifichi la distribuzione della v.c. X rappresentante il numero di palline
rosse (con particolare riferimento al supporto ed ai valori dei parametri che la
caratterizzano)
2. si calcoli P (−0, 3 < X < 2, 5)
3. si calcolino la varianza e il momento secondo
Soluzione 6. Esercizio per le vacanze di Natale, da sapere per l’esercitazione V
1. La variabile casuale X ha distribuzione Binomiale(n, θ) con n =
20
100 = 0, 2
4
θ
= 20 e θ =
2. P (−0, 3 < X < 2, 5) = P (X =0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
20
20
0
20
1
19
2
18 =
= 20
0 (0, 24) (1 − 0, 2) + 1 (0, 2) (1 − 0, 2) + 2 (0, 2) (1 − 0, 2)
= 0, 0115 + 0, 0576 + 0, 1369 = 0, 206
3.
V ar(X) = nθ(1 − θ) = 20(0, 2)(0, 8) = 3, 2
E(X 2 ) = V ar(X) + [E(X)]2 = 3, 2 + 16 = 19, 2
Esercizio 7. Una partita di rugby dura 80 minuti. In media, nello scorso campionato,
è stata effettuata una meta ogni venti minuti. Calcolare la probabilità che:
1. In dieci minuti non si faccia meta;
2. In venti minuti si facciano tre o più mete;
3. In cinque minuti si facciano meno di due mete
4. In un’ora si facciano esattamente quattro mete;
5. In quaranta minuti si facciano non più di due mete
Soluzione 7. Esercizio per le vacanze di Natale, da sapere per l’esercitazione V
La variabile casuale X di interesse è distribuita come una Poisson λ = 1 ogni venti
minuti
1. λ = 0, 5 ogni dieci minuti
P (X = 0) =
0, 50 −0,5
e
= 0, 6065
0!
5
2. λ = 1 ogni venti minuti
P (X ≥ 3) = 1−P (X = 0)−P (X = 1)−P (X = 2) = 1−
10 −1 11 −1 12 −1
e − e − e =
0!
1!
2!
= 1 − 0, 3679 − 0, 3679 − 0, 1839 = 0, 0803
3. λ = 0, 25 ogni cinque minuti
P (X < 2) = P (X = 0)+P (X = 1) =
0, 250 −0,25 0, 251 −0,25
e
+
e
= 0, 7788+0, 1947 = 0, 9735
0!
1!
4. λ = 3 ogni ora
P (X = 4) =
34 −3
e = 0, 168
4!
5. λ = 2 ogni 40 minuti
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
20 −2 21 −2 22 −2
e + e + e =
0!
1!
2!
= 0, 135 + 0, 271 + 0, 271 = 0, 677
Vi auguro buon natale ed un sereno e proficuo anno nuovo!
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