note su tempi di attesa

La DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ DI POISSON
esprime la probabilità che in una data unità di tempo si
ripetano un certo numero n di eventi
(n: variabile casuale di Poisson)
Si assume che: un intervallo di tempo sia diviso in un numero
molto grande di sottointervalli, di mdo che la probabilità del
verificarsi di un evento in ogni sottointervallo sia molto piccola.
Le ipotesi di base della Poissoniana dei tempi di attesa sono:
1) La probabilità del verificarsi di un evento è costante
per tutti i sottointervalli.
2) L’evento non si può verificare più di una volta
in ciascuno dei sottointervalli.
3) Eventi che si verificano in intervalli disgiunti
sono indipendenti.
1
Distribuzione dei tempi di attesa per un processo di Poisson
... quanto tempo passa prima di poter passare da n=0 a n=1?
 P(“no count” per 0 < t <T) = ?
.......
In
t=0 ... t=T ho
n=0 count
... divido in N intervallini DT
T
0
DT=(T / N)
p : probabilità di conteggio in ogni intervallino DT
 p  DT

p = a DT
P(t > T) : probabilità di dovere aspettare un tempo t > T
per avere 1 conteggio
P(t  T )  (1  p) N  (1  a  DT ) N  (1  a 
1
1
 P(t  T )  (1  ) aTx  ((1  ) x ) aT  (e) aT
x
x
T N
)
N
per
& a 
T 1

N x
N 
2
F(T) CUMULATIVA della variabile casuale “tempo di attesa”
per avere 1 conteggio nell’intervallo di tempo 0 < t < T
 F(T) = p( 0 < t < T) = ?
&
P(t>T)=e-aT
 F (t )  P(0  t  T )  1  P(t  T )  1  e
aT
f(t) DENSITA’ DI PROBABILITA’ della variabile casuale
“tempo di attesa” per avere 1 conteggio

dF (t ) d
f (t ) 
 (1  e aT )  ae at
dt
dt
... densità di probabilità di tipo esponenziale con 1 parametro
a
3
[a]  [tempo]-1
Significato di a nella densità di probabilità f(t) = a exp(-at)
di tipo esponenziale
per una variabile casuale t “tempo di attesa” di tipo poissoniano
T = intervallo di tempo nel quale conto gli eventi
( n ) n
 P ( n) 
exp(   n )
n!
T
  n  N  p  N  (a  Dt )  N  (a  )  a  T
N
a = <n> / T
“rateo” o conteggi al secondo del fenomeno
 <n> dipende da T
 a indipendente da T
4
Proprietà della densità di probabilità f(t) = a exp(-at)
di tipo esponenziale

1) Normalizzazione ad 1 della probabilità totale
 f (t )dt  1
0
2) Valore atteso = E(t)
E(t) = t = tempo di attesa medio = (1 / a) = 1 / “rateo conteggi”
3) Varianza = (s(t))2
(s(t))2 = E(t2) – (E(t))2 = < t2 > - (< t >)2 = t2 = 1 / a2
5
1) Normalizzazione ad 1 della probabilità totale:


 f (t )dt   a  e
0
0
at

dt    e d (at )  [e
at
at 
0
] 1
0
6
2) Valore atteso = E(t)
E(t) = t = tempo di attesa medio = (1 / a) = 1 / “rateo conteggi”



0
0
0
at
at
t

f
(
t
)
dt

t

a

e
dt

a

t

e
dt



d (t  e at )  [1 e at dt  t  e at  (a )dt ]
at
at
 t  a  e dt  e dt  d (t  e



0
0
0
at
)
  t  a  e at dt   e at dt   d (t  e at ) 

1

e

a
at
[
d (at )  t  e
]
at 
0

0

1
a
 (0  1) 
1
a
 E (t ) 
1
a
1
a
[ ]
e
t
at 
0
 ( 0  0) 
7
2) Varianza = (s(t))2
(s(t))2 = E(t2) – (E(t))2 = < t2 > - (< t >)2 = t2 = 1 / a2



0
0
0
E (t 2 )   t 2  f (t )dt   t 2  a  e at dt  a   t 2  e at dt
d (t 2  e at )  [2  t  e at dt  t 2  e at  (a )dt ]
 t 2  a  e at dt  2  t  e at dt  d (t 2  e at )



0
0
0
  t 2  e at dt   2  t  e at dt   d (t 2  e at )

a  t  e
&
at
dt 
0

E (t )   t  a  e dt 
2
at
2
0
2
a2
1
a

  t  e dt 
0
 [t  e
2
1
at
at 
0
] 
a2
2
a2
 ( 0  0) 
 s (t )  E (t )  ( E (t ))  2 t  t  t 
2
2
2
2
2
2
1
a2
2
a2
 2 t 2
8
9
10
11