Equazione del moto per il pendolo di Foucault e soluzione

Equazione del moto per il pendolo di Foucault e soluzione
Pendolo visto dal riferimento inerziale:
Pendolo visto dal punto di sospensione:
Posizione del pendolo (approssimazione di moto piano)
r = xˆi + yˆj
Componente orizzontale della risultante di mg e T :
g
g
F ≃ −m xˆi − m yˆj
l
l
Forza di Coriolis ( ← apparente: riferimento in rotazione)
F = −2mω × v
Velocita' del pendolo (trascurando la componente verticale)
v = v ˆi + v ˆj
x
y
Scomposizione della vel. angolare in componenti verticale e orizzontale
ω = ω cos λˆj + ω sin λkˆ
(
) (
)
→ ω × v = ω cos λˆj + ω sin λkˆ × vx ˆi + v y ˆj
→ ω × v = vx ω cos λˆj׈i + v y ω cos λ ˆ
j× ˆj + vx ω sin λkˆ × ˆi + v y ω sin λkˆ × ˆj
=0
→ ω × v = −vx ω cos λkˆ + vx ω sin λˆj − v y ω sin λˆi
(
→ F = 2mω vx cos λkˆ − vx sin λˆj + v y sin λˆi
)
Componente verticale trascurata ( ← piccola correzione a g)
(
)
→ F ≃ 2mω −vx sin λˆj + v y sin λˆi
vx , v y componenti orizzontali della velocita'
→ Eq. del moto:
 d 2 x
g
g
dy
 2 ≃ − x + 2ωv y sin λ = − x + 2ω sin λ
dt
l
l
dt
→  2
 d y
g
g
dx
 dt 2 ≃ − l y − 2ωvx sin λ = − l y − 2ω dt sin λ
 d 2 x
g
dy

≃ − x + 2ω sin λ
2
 dt
l
dt
 2
 d y
g
dx
 2 ≃ − y − 2ω sin λ
l
dt
 dt
Moltiplicando la seconda per i e sommando:
 d 2 x
g
dy

≃ − x + 2ω sin λ
 dt 2
l
dt
 2
 d y
g
dx
i 2 ≃ − iy − 2iω sin λ
l
dt
 dt
 dx
d 2x
d2y
g
dy 
+
≃ − ( x + iy ) − 2iω sin λ  + i 
i
2
2

 dt
dt
dt
l
dt 
z = x + iy
d 2z
g
dz
≃ − z − 2iω sin λ
2
dt
l
dt
2
d z
dz g
→ 2 + 2iω sin λ + z = 0
dt
dt l
→
= ω02
Soluzione esponenziale:
z (t ) = Aeiαt
→ α 2 + 2αω sin λ − ω02 = 0
→ α = −ω sin λ ± ω 2 sin 2 λ + ω02 ≈ −ω sin λ ± ω0
(infatti ω ≪ ω0 )
i(−ω sin λ +ω0 )t
i(−ω sin λ−ω0 )t
→ z (t ) = Ae
+ Be
−i(ω sin λ )t
→ z (t ) = e
 Aeiω0t + Be−iω0t 

u(t )
Scorporando il moto di Foucault dall'oscillazione:

 x (t ) = Re z (t ) = cos (ω sin λ )t
 F
u (t )
→ 

z (t )
 yF (t ) = Im
= sin (ω sin λ ) t
u (t )

→ Rotazione del piano di oscillazione
Periodo:
24
1
2π
=
=
ore
ν ω sin λ sin λ
24 ⋅ 2
λTorino ≅ 450 → TTorino ≅
≈ 33.9 h
2
T=