Esercizio pagina 375 n° 447 Determina l`equazione della parabola

Esercizio pagina 375 n° 447
Determina l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, passante per il
punto P(1 ; 0) ed avente vertice nel punto V(2 ; -1). Nel fascio di rette per P trova la retta, con
coefficiente angolare positivo, che intersecando la parabola trovata, individua un segmento
32
parabolico di area
.
[y = x2 – 4 x + 3; m = 2]
3
passaggio per P (1 ; 0)
→ 0=a + b+ c (A)
b
=2 → −b=4 a → b=−4 a (B)
imposizione ascissa vertice xV → −
2a
Δ
Δ
b2 −4 a c
imposizione ordinata vertice yV → − 4 a =−1 → 4 a =1 →
=1 →
4a
2
b −4 a c−4 a=0 (C)
(B) sostituita in (A) dà
a−4 a +c → c =3 a (D)
(B) e (D) sostituite in (C) danno: −(4 a)2−4 a ⋅3 a−4 a=0 → 16 a 2−12 a 2−4 a=0 →
2
4 a −4 a=0 → 4 a (a−1)=0 a1 = 0 questa soluzione non genera una parabola
a2 = 1 a questa soluzione sostituita in (B) dà b = - 4 ed in (D) dà c = 3 percui la parabola é:
2
y = x −4 x + 3
fascio di rette che passano per P → y – yP = m (x – xP) → y = m(x-1) → y = mx -m
Punto d'intersezione fra fascio di rette e parabola:
SISTEMA fra y = x 2 −4 x + 3 ed y =mx −m che da x 2 −4 x + 3−mx +m =0 ossia:
2
x −( 4+ m) x + 3+ m =0
le cui soluzioni (ascisse dei punti d'intersezione fra fasci di rette e parabole) sono;
4+ m∓ √ (4+ m)2−4 (3+ m) 4+ m∓√ 16+ 8 m + m 2−12−4 m
=
x 1,2 =
=
2
2
2
4 +m ∓√ (m + 2)2 4 + m∓(m + 2)
= 4+ m∓√ m + 4 m + 4 =
da cui x 1 =1 ed x 2 =m +3
=
2
2
2
valori della x che sostituiti o nella parabola o nella retta danno gli stessi valori di y poichè sono la
loro intersezione ossia i valori che hanno in comune le due funzioni. Ci conviene sostituire le x
nella retta:
y 1 =y (x 1 )=0 ed y 2 =y (x 2 )=m (m + 3)−m =m 2 + 2 m
come riprova x1 ed x2 possono sostituirsi nella equazione della parabola.
Vediamo ora una possibile soluzione con pendenza > 0 e una con pendenza < 0 (che dobbiamo
scartare):
RIPROVA: ogni tanto fa bene a piccole dosi !
Il coefficiente angolare della retta passante per P(1 ; 0) e per A(m+3 ; m2 +2m) è:
y A−y P m 2 + 2 m m (m + 2)
=
=
=m
x A−x P m + 3−1
m+2
Per calcolare l'area del rettangolo contenente il "segmento di parabola" occorre calcolare le sue
dimensioni: uno dei lati è la distanza fra P ed A quindi:
PA= √ (y A −y P )2 −(x A −x P )2 =√ [m (m + 2)]2 +(m + 2)2 = √ (m + 2)2 (m 2 + 1)=( m + 2) √ m 2 + 1
facendo la parallela a PA tangente alla parabola e facendo le perpendicolari per P e per A si può
valutare anche l'altro lato (vedi figura):
Le distanze PC e AD corrispondono all'altra
dimensione con cui si può calcolare l'area del
rettangolo: evidentemente conviene calcolare la
distanza PC.
Iniziamo con il valutare la retta tangente
(passante per B) alla parabola che deve avere lo
stesso coefficiente angolare m della retta che
passa per PA e del quale occorre trovare il
termine noto q con le ovvie condizioni.
Il sistema di cui bisognerà valutare un delta
nullo è fra la parabola
y = x2- 4 x +3 = 0
e la retta
y=mx+q
si ha → x2 - 4 x + 3 – m x – q = 0 ossia:
x2 – (4 + m)x + 3 – q = 0
∆ = b2 – 4 a c = [-(4 + m)2] – 4(3-q) = 0 → 16 + 8m + m2 – 12 + 4q = 0 → q=−
m2+ 8 m + 4
da
4
2
cui la retta tangente è:
m +8m+ 4
(retta passante per C, B e D).
y =mx −
4
La perpendicolare passante per P alle rette avente coeff. angolare m ha coeff. angolare −
In particolare la retta passante per P (che interseca in C l'altra) è:
y −0=−
1
.
m
1
( x −1) ossia:
m
1
1
x+
m
m
Facendo sistema fra questa retta e la retta precedente si trova prima la l'ascissa di C:
In particolare sottraendo la seconda equazione della retta alla prima si trova:
1
(m 2 +8 m + 4) m + 4
1
m2 + 8 m + 4
1
(m
+
)
x
−
=0 →
m x + x−
− =0 →
m
4
m
m
4m
m 2 +1
m 3 +8 m 2 + 4 m+ 4
m3 + 8 m2 + 4 m + 4
x−
=0
→
(m 2 +1) x =
→
m
4m
4
m 3 +8 m 2 + 4 m + 4
xC=
4( m 2 + 1)
che sostituita nella retta passante per PC dà:
1 m 3 +8 m 2 + 4 m + 4 1
1 m3 + 8 m2 + 4 m + 4
y =−
+
=−
(
−1) =
m
m
m
4 (m 2 + 1)
4(m 2 + 1)
(m + 2)2
1 m 3 + 8 m 2 + 4 m + 4−4 m 2 −4
m2 + 4 m + 4
y
=−
−
=−
=
ossia
C
2
2
m
4 (m + 1)
4 (m +1)
4 (m 2 + 1)
y =−
La distanza del punto C da P è:
√
PC = [−
(m + 2)2 2 m 3 + 8 m 2 + 4 m + 4−4 m 2−4 2
] +[
] =
4 ( m 2 + 1)
4 m2+ 4
1
√(m+ 2)4 +(m3 + 4 m2 +4 m)2 =
4 (m 2 +1)
1
√((m +2)2 )2 +[m (m +2)2 ]2 =
4 (m 2 +1)
(m + 2)2
√1 + m2
=
2
4 (m +1)
moltiplicando quest'ultima distanza fra C e P con quella fra A e P si trova l'area del rettangolo che
2
moltiplicata secondo la legge di Archimede per
ci deve dare secondo quanto imposto dal testo
3
32
. Ossia:
del problema
3
2 ( m + 2)2
32
2
2
1
2 (m + 2)3 32
1+
m
(
m
+
2)
1
+m
=
√
√
(m + 2)3 =32
=
→
→
2
2
3 4( m + 1)
3
3
4
3
3
(m + 2) =64
→
m +2= √3 64
→
m +2=4
→
m =2