qui

Esercizi di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
12 aprile 2006
Probabilità condizionata
Esercizio 1 I componenti prodotti da una certa ditta possono presentare due
tipi di difetti, con percentuali 3% e 7% rispettivamente. I due tipi di difettosità
si possono produrre in momenti diversi della produzione per cui si può assumere
che le presenze dell’uno o dell’altro siano indipendenti tra loro. a) Qual è la
probabilità che un componente presenti entrambi i difetti? b) Qual è la probabilità che un componente presenti almeno uno dei due difetti? c) Qual è la
probabilità che un componente presenti il difetto 1, sapendo che esso è difettoso?
d) Qual è la probabilità che esso presenti uno solo dei due difetti sapendo che
esso è difettoso?
[a) 0.0021; b) 0.0979; c) 0.30644 d) 0.97855 ]
Soluzione
D1 =“presenta difetto 1”; D2 =“presenta difetto 2”
P (D1 ) = 0.03; P (D2 ) = 0.07
a) P (D1 ∩ D2 ) = P (D1 ) · P (D2 ) = 0.0021.
b) P (D1 ∪ D2 ) = P (D1 ) + P (D2 ) − P (D1 ∩ D2 ) = 0.0979
c)
P (D1 |D1 ∪ D2 ) =
1 · 0.03
P (D1 ∪ D2 |D1 ) · P (D1 )
=
= 0.30644
P (D1 ∪ D2 )
0.0979
d) D1 ⊕ D2 = (D1 ∪ D2 ) \ (D1 ∩ D2 )
P (D1 ⊕ D2 ) = 1 − P (D1 ∩ D2 |D1 ∪ D2 ) =
=1−
P (D1 ∪ D2 |D1 ∩ D2 ) · P (D1 ∩ D2 )
1 · 0.0021
=1−
= 0.97855
P (D1 ∪ D2 )
0.0979
Esercizio 2 Un’urna contiene due carte: una di esse ha entrambi i lati neri
mentre l’altra ha un lato nero e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne
guarda uno solo dei lati: è nero. Qual è la probabilità che anche il secondo lato
sia nero?
[ 23 ]
Soluzione
A1 =“entratto carta NN”; A2 =“estratto carta BN”; N =“estratto lato nero”
1
P (A1 ) = P (A2 ) =
1
2
P (N ) =
2
X
P (N |Ai ) · P (Ai ) =
i=1
P (A1 |N ) =
1 1
3
+ =
2 4
4
P (N |A1 ) · P (A1 )
2
=
P (N )
3
Esercizio 3 Dieci urne contengono tutte 4 palline rosse (R) e un numero variabile di palline bianche (B). Più precisamente l’urna i-esima contiene 4 palline R
e i palline B. Un’urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte due palline.
a) Qual è la probabilità che le due palline siano una B e una R? b) Supponiamo
che l’estrazione abbia dato come risultato una pallina B e una R. Qual è la probabilità pi che l’urna prescelta sia la i-esima? Qual è l’urna più probabile? c)
Supponiamo invece che vi siano 2 urne contenenti 4 palline R e 10 B (le urne
sono quindi 11). Se l’estrazione ha dato come risultato una pallina B ed una R,
qual è ora la probabilità che l’urna prescelta sia di tipo i (cioè contenga i palline
B)? Qual è ora il valore i più probabile?
[a) 0.50601 ; b) 3 e 4 le urne più probabili; c) sempre 3 e 4 ]
Soluzione
Ai =“estratto da urna i”; B=“estrarre una B e una R”
1
P (Ai ) = 10
a)
10
10
X
X
4·i
1
P (B) =
P (B|Ai ) · P (Ai ) =
·
= 0.50601
Ci+4,2 10
i=1
i=1
b)
pi = P (Ai |B) =
4·i
1
· 10
i
P (B|Ai ) · P (Ai )
C
= i+4,2
= 1.581 ·
P (B)
0.50601
(i + 4) · (i + 3)
arg max pi = {3, 4}
i∈[1,10]
c) A11 = A10
1
P (Ai ) = 11
P (B) =
11
X
P (B|Ai ) · P (Ai ) + P (B|A10 ) · P (A10 ) =
i=1
10
X
1
1
40
4·i
·
·
+
= 0.49997
=
C
11
C
11
i+4,2
14,2
i=1
Per ogni i ∈ [1, 10]
pi = P (Ai |B) =
4·i
1
· 11
P (B|Ai ) · P (Ai )
i
C
= i+4,2
= 1.4546 ·
P (B)
0.49997
(i + 4) · (i + 3)
p11 = p10
arg max pi = {3, 4}
i∈[1,11]
2
Esercizio 4 Vivo a Venezia; domani ci può essere l’acqua alta oppure no. L’acqua alta domani è annunciata con probabilità 0.3. Se c’è acqua alta arrivo a
lezione in ritardo con probabilità 0.8; se non c’è acqua alta la probabilità che
arrivi tardi a lezione è comunque 0.2. Qual è la probabilità che arrivi tardi?
[0.38]
Soluzione
A=“domani c’è acqua alta”; B=“arrivo tardi a lezione”
P (A) = 0.3; P (B|A) = 0.8; P (B|AC ) = 0.2
P (B) = P (B|A) · P (A) + P (B|AC ) · P (AC ) = 0.38
Esercizio 5 Se due eventi sono disgiunti e indipendenti, cosa si può dire della
loro probabilità?
[almeno uno dei due eventi ha probabilità nulla]
Soluzione
Dati A, B ∈ A, sappiamo che A ∩ B = ∅ e quindi P (A ∩ B) = 0. Inoltre
sappiamo che sono indipendenti e quindi P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0 che è
vero sse almeno uno dei termini è nullo.
Esercizio 6 Dimostra che due eventi A, B ∈ A sono indipendenti sse lo sono
gli eventi A, B C .
Soluzione
Dimostriamo solo (⇒) perchè il verso opposto è simile. Supponiamo A e B
indipendenti. Allora valgono le seguenti uguaglianze:
P (A|B) = P (A)
P (B|A) = P (B)
Verifichiamo che P (B C |A) = P (B C ). (Questo basta per dimostrare questo
verso, ma per esercizio verifichiamo anche che P (A|B C ) = P (A))
P (B C |A) = 1 − P (B|A) = 1 − P (B) = P (B C )
P (A|B C ) =
P (B C |A) · P (A)
P (B C ) · P (A)
=
= P (A)
P (B C )
P (B C )
Esercizio 7 Ho tre urne. La prima contiene 3 palline bianche e 2 nere. La
seconda 3 bianche e 3 nere. La terza 4 bianche e una nera. Lancio un dado
equo: se esce 6 estraggo una pallina dalla terza urna. Se esce 4 o 5 estraggo
dalla seconda urna. Nel altri casi estraggo dalla prima. Qual è la probabilità di
estrarre una pallina bianca?
[0.6]
Soluzione
D1 =“esce un 6”; D2 =“esce un 4 o un 5”; D3 = (D1 ∪ D2 )C ; B=“estraggo
una pallina bianca”
P (D1 ) = 61 ; P (D2 ) = 13 ; P (D3 ) = 21
P (B|D1 ) = 45 ; P (B|D2 ) = 21 ; P (B|D3 ) = 35
P (B) =
3
X
P (B|Di ) · P (Di ) = 0.6
i=1
3
Esercizio 8 Si pone un topo davanti a 4 labirinti. Il topo sceglie a caso un
labirinto. Da esperienze precedenti si sa che la probabilità che il topo esca da
ogni labirinto in 5 min sono, rispettivamente, 0.5, 0.8, 0.3, 0.4 . Sapendo che il
topo è uscito in 5 min, calcolare la probabilità che abbia scelto il terzo labirinto.
[0.15]
Soluzione
U =“il topo esce in 5 min”; Ai =“topo sceglie i-esimo labirinto”
P (Ai ) = 14 ; P (U |A1 ) = 0.5; P (U |A2 ) = 0.8; P (U |A3 ) = 0.3; P (U |A4 ) = 0.4
P (U ) =
4
X
P (U |Ai ) · P (Ai ) = 0.5
i=1
P (A3 |U ) =
P (U |A3 ) · P (A3 )
= 0.15
P (U )
4