e uguale a (A) 2525 (B) 1

SOLUZIONI
1
2
3
4
5
6
7
8
5) Un lato di un rettangolo viene allungato del 20%, mentre l’altro lato viene accorciato del 20%. L’area del nuovo rettangolo è
(A) la stessa (B) minore del 4% (C) maggiore del 4% (D) maggiore del 20%
(E) a volte maggiore, a volte minore
9 10 11 12
C E D E B B C A E C B A
1) Il quoziente di 5050 diviso per 2525 è uguale a
(A) 2525
(B) 1025
(C) 10025
(D) 225
(E) 2 · 2525
R. Se a e b sono le dimensioni iniziali del rettangolo, le dimensioni finali sono 1,2a e
0,8b. Quindi l’area finale è 0,96ab, con una diminuzione del 4%.
R. 5050 : 2525 = 502·25 : 2525 = (502 )25 : 2525 = 250025 : 2525 = (2500: 25)25 = 10025 .
2) Qual è il volume del solido ottenuto ruotando un quadrato
di lato
√ 1 attorno ad una delle sue diagonali (vedi figura)?
π
π
2
π
2
(A)
π
(B) √
(C) √
(D) π
(E) √
3
3
6 2
2
3 2
R. Il solido è composto da due coni uguali, aventi come base
comune un cerchio il cui diametro è una diagonale del quadrato, e come altezza metà della
√ diagonale del quadrato. La
diagonale del quadrato
misura
√
√ 2, quindi√il volume di uno di
questi coni è (1/3)π( 2/2)2 · ( √2/2) = ( 2/12)π.
√ Il volume
cercato è il doppio di questo: ( 2/6)π = π/(3 2).
6) È dato un triangolo isoscele ABC con gli angoli alla base di 50◦ e sui cui lati sono costruiti
due rettangoli, come in figura Quanto misura
b ?
l’angolo DBF
◦
(A) 90
(B) 100◦
(C) 110◦
◦
◦
(D) 120
(E) 130
b = 80◦ . La
R. La somma degli angoli interni del triangolo ABC è 180◦ , quindi ABC
◦
somma dei 4 angoli che hanno il vertice in B è 360 , perciò:
b = 360◦ − 90◦ − 90◦ − 80◦ = 100◦ .
DBF
3) Quante sono le coppie (x, y) di numeri interi positivi che soddisfano l’uguaglianza
x2 − y 2 = 63?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
R. Osserviamo innanzitutto che x > y e che possiamo riscrivere l’equazione come
(x − y)(x + y) = 63. Quindi x − y e x + y sono due interi positivi il cui prodotto è
63, perciò basta trovare tutti i modi di scomporre 63 come prodotto di due interi
positivi. Abbiamo tre casi:
63 = 1 · 63, da cui: x − y = 1 e x + y = 63, che danno x = 32 e y = 31;
63 = 3 · 21, da cui: x − y = 3 e x + y = 21, che danno x = 12 e y = 9;
63 = 7 · 9, da cui: x − y = 7 e x + y = 9, che danno x = 8 e y = 1.
4) Pu è un’unità di misura cinese della lunghezza, mentre mu è un’unità di misura cinese dell’area. Un
campo rettangolare è largo 21 pu, e la sua area misura
1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 mu. Sapendo che 1 pu è uguale a 2 passi, e che 1 mu è
uguale√a 240 pu2 , qual è la lunghezza del campo misurata in passi?
(A) 2 3
(B) 2
(C) 14
(D) 28
(E) 56
49
2
R. Poiché 1 + 21 + 13 + 14 + 51 + 16 = 20
, l’area del rettangolo è 49
20 · 240 = 588 pu .
2
Perciò la lunghezza del campo è (588 pu )/(21 pu) = 28 pu = 56 passi.
7) Quanti fra i numeri naturali da 1 a 1000 possono essere scritti come una potenza
ab , con a e b numeri interi maggiori di 1?
(A) 25
(B) 39
(C) 40
(D) 43
(E) 50
R. Cominciamo a considerare i numeri del tipo 2b , con b ≥ 2. Affinché il risultato non
superi 1000, b deve essere compreso fra 2 e 9 (8 valori possibili). Analogamente,
3b non supera 1000 se 2 ≤ b ≤ 6 (5 valori). I numeri del tipo 4b non vanno
considerati, perché li abbiamo già contati fra quelli del tipo 2b . I numeri del tipo
5b non superano 1000 se 2 ≤ b ≤ 4 (3 valori), mentre dei numeri del tipo 6b , 7b e
10b sono accettabili sole quelli che hanno b = 2 oppure b = 3 (6 valori in tutto).
Non dobbiamo invece considerare, come prima, 8b e 9b . Infine, per 11 ≤ a ≤ 31
si ha a2 < 1000 e a3 > 1000, quindi ognuno di questi numeri ci dà un valore in
più, ad esclusione di 16, 25 e 27 che sono già stati inclusi con le potenze di 2, 5 e
3 (18 valori in tutto). Non ci sono altri numeri da considerare, perché 322 > 1000.
Quindi il numero totale è 8 + 5 + 3 + 6 + 18 = 40.
8) In una scatola ci sono 24 carte: 2 rosse e 22 nere. Mario dice un numero n fra 1 e
24 e Carlo prende (senza guardare) n carte, una ad una. Mario vince se la carta
n-sima è la prima carta rossa ad essere pescata. Quale numero dovrebbe scegliere
Mario per avere la maggiore probabilità di vittoria?
(A) 1
(B) 2
(C) 12
(D) 13
(E) qualunque numero diverso da 24
R. La probabilità che la prima carta pescata sia rossa è: p1 = 2/24 = 1/12. Una carta
rossa compare per la9
prima
volta alla seconda
pescata se la prima carta pescata è
Novembre
2013
una delle 22 nere (probabilità 22/24), e la seconda una delle 2 rosse (probabilità
2/23, perché dopo la prima pescata sono rimaste 23 carte). Quindi la probabilità
di un tale evento è: p2 = (22/24)(2/23) = (1/12)(22/23). Analogamente, la
probabilità che la carta rossa compaia per la prima volta alla terza pescata è:
p3 = (22/24)(21/23)(2/22) = (1/12)(21/23), e cosı̀ via. Tutte queste probabilità
sono minori di p1 , quindi a Mario conviene scegliere il numero 1.
11) È dato un quadrilatero ABCD con angoli retti in
B e D. Sappiamo anche che il lato BC misura 1,
che il lato CD misura 4 e che il lato DA misura 3.
Quanto misura l’area di ABCD?
√
6
(C) 8,5
(A) 8
(B) 6 + √
(D) 17
(E) 12 + 2 6
R. Tracciamo la diagonale AC, che divide il quadrilatero in due triangoli rettangoli
ABC e ACD. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ACD si ottiene
AC = 5. Applicando
teorema al triangolo ABC si ha AB 2 = 52 −12 =
√ ora lo stesso
√
24, da cui AB = 24 = 2 6. Possiamo ora calcolare l’area dei due triangoli
moltiplicando fra loro le misure
√ dei cateti e dividendo per 2: l’area di ACD misura
6 e l’area di ABC misura 6. L’area del quadrilatero è la somma di queste due
aree.
12) Quale delle seguenti figure è lo sviluppo di una piramide?
9) Un trapezio è diviso in due parti dalla retta che congiunge i punti medi dei lati
obliqui. Le aree di queste due parti stanno fra loro nel rapporto di 5 a 2. Qual è
il rapporto fra base maggiore e base minore del trapezio?
(A) 5/2
(B) 25/4
(C) 7
(D) 11
(E) 13
D x C
R. Sia x = CD la misura della base minore e y =
AB la misura della base maggiore. Il segmento
F
L
E
F E che congiunge i punti medi dei lati oblix
(y
!
x)=2
qui misura (x + y)/2. Infatti, se tracciamo la
parallela DG al lato BC, come in figura, otteniamo AG = y − x e F L = (y − x)/2, quindi
y!x
A
G x B
F E = (y − x)/2 + x = (y + x)/2.
Il rapporto delle aree dei trapezi ABEF e F ECD è uguale al rapporto delle
somme delle rispettive basi, visto che le loro altezze sono uguali: (AB + F E) : 5 =
(CD + F E) : 2. Quindi: [y + (x + y)/2] : 5 = [x + (x + y)/2] : 2 da cui si ricava
y = 13x.
10) Gli angoli di un triangolo stanno in rapporto fra loro come i numeri 4, 5 e 6.
Quanto misura l’angolo maggiore del triangolo?
(A) 60◦
(B) 70◦
(C) 72◦
(D) 80◦
(E) 90◦
R. Indichiamo con x, y e x le misure dei tre angoli, in ordine crescente di ampiezza.
Si ha: x : 4 = y : 5 = z : 6 e quindi: (x + y + z) : 15 = z : 6. Ma x + y + z = 180◦ ,
quindi: z = 180◦ · 6/15 = 72◦ .
R. La figura (E) non può essere evidentemente lo sviluppo di una piramide, visto
che la base ha 5 lati mentre ci sono 6 facce laterali. La (D) neppure, perché la
base dovrebbe essere un quadrato, visto che le facce laterali hanno le basi uguali.
La (C) contiene le facce corrette per costruire una piramide a base quadrata, ma
i triangoli sono disposti in modo errato attorno al quadrato, perché ogni vertice
della base deve appartenere ad esattamente due facce laterali, mentre qui il vertice
in alto a destra del quadrato appartiene a tre triangoli. La stessa cosa vale per la
(B): qualunque triangolo scegliamo come base, esso ha un vertice in comune con
altri tre triangoli. Questo invece non succede nella (A), che è la risposta corretta.