1 1. Calcolare il flusso (verso l`alto)

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1. Calcolare il flusso (verso l’alto) del campo vettoriale F = xi attraverso il triangolo
T di vertici P1 = (0, 0, 1), P2 = (3, 0, 0), P3 = (1, 1, 0). L’equazione del piano che
passa per i punti P1 , P2 , P3 è data da
3 − x − 2y
.
x + 2y + 3z = 3 ⇒ z =
3
Il triangolo si proietta nel piano xy nel triangolo D di vertici (0, 0), (3, 0) e (1, 1)
(è sufficiente ignorare la coordinata z). Ne segue che una parametrizzazione del
triangolo T è data da
Φ:
da cui
In conclusione
D
→
R3
(u, v) 7→ (u, v, 3−u−2v
)
3
1
2
N = i + j + k (che punta verso l’alto)
3
3
x
b
F · NdS
=
x
F(Φ(u, v)) · N(u, v)dudv
D
T
=
x
D
1
2
[(ui · ( i + j + k)]dudv
3
3
x 1
=
ududv
3
D
Z
Z 3−2v
1 1
=
dv
udu
3 0
v
Z
1 1
=
[(3 − 2u)2 − u2 ]du
6 0
2
= .
3
COMMENTO: il teorema della divergenza si applica a superfici chiuse (senza bordo)
oppure a superfici facilmente ”chiudibili” con l’aggiunta di opportuni ”tappi”. Non
era questo il caso (come ho suggerito durante il compito!).
2. determinare per quali λ la soluzione del seguente problema di Cauchy risulta limitata
0
1
y
= y 9+x
2
y(0) = λ.
Separando le variabili (supponendo λ 6= 0) si ottiene
dy
1
=
y
9 + x2
1
x
| log(y)| = arctan + C1
3
3
1
x
y = C exp[ arctan ].
3
3
2
Imponendo la condizione iniziale si ottiene C = λ. La soluzione per λ = 0 è y ≡ 0.
In conclusione, per ogni λ ∈ R,
1
x
π
y(x) = λ exp[ arctan ] ⇒ |y(x)| < |λ| exp[ ].
3
3
6
Quindi la soluzione è limitata per ogni λ ∈ R (fissato).
3. Calcolare il seguente integrale
Z
1
Z
π
4
dx
0
arctan x
1
dy.
cos y
Invertendo l’ordine di iterazione si ottiene
Z π
Z tan y
Z π
4
4
1
1
dx =
tan ydy
dy
cos y
0
0
0 cos y
Z π
4 sin y
=
dy
2
0 cos y
Z √2
2
1
(t = cos y) = −
dt
t2
1
√
= 2 − 1.
4. Per l’ultimo esercizio vedi il video (contenuto in link di link) dal titolo ”Application
of Green’s theorem ” (migliora il tuo inglese e la tua matematica allo stesso tempo!).
Il primo esercizio era ultra standard.