Teoria dei Sistemi Esercizi per i Corsi di Laurea in

Teoria dei Sistemi
Esercizi per i Corsi di Laurea in
Ingegneria Informatica/Elettronica a.a. 1999–2000
Lucia Pallottino
Centro Interdipartimentale di Ricerca“E. Piaggio”
Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione
Università di Pisa
Tel.: 050553639, Fax : 050550650
Email: [email protected]
La forma di Jordan
A matrice n n, () polinomio caratteristico di A.
() = det(A
() = (
1 )1 (
I )
2 )2 :::(
i 6= j per i 6= j , q autovaloriPdistinti
i molteplicitá algebrica dii , qi=1 i = n.
q )q
Quanti sono gli autovettori indipendenti relativi allo stesso
autovalore?
(A i I )xi = 0, xi autovettore relativo a i
dim ker(A i I ) = i quindi si hanno i autovettori
indipendenti.
se 8i i = i allora A é diagonalizzabile
se 9i t:c: i < i allora A é non diagonalizzabile.
i numero di blocchi di Jordan relativi a i .
Per costruire la matrice di Jordan non é sufficiente conoscere
per ogni i i valori di i e i :
2 = 4; = 2
1 0
6
6 0 0
6
4 0 0 0
0
1
0 0 0 Cerco Q tale che Q 1 AQ
2
3
2
7
7
7;
5
6
6
6
4
0 0
0 1
0 0 0 0 0
0
0
1
3
7
7
7
5
(1)
= J , equivalentemente AQ = QJ con
.
.
.
6
Q=6
4 q1
.
.
.
.
.
.
q2
.
.
.
:::
:::
:::
.
.
.
3
7
qn 7
5
.
.
.
2
Caso = n; = 1:
x1 2 ker(A
1
6
6 0 6
J =6
6 ...
4
0
I ),
3
1
.
.
.
::: 0
7
::: 0 7
7
..
..
0
0
0
.
.
::: 8
>
Aq1 = q1
>
>
>
>
< Aq2 = q1 + q2
8
>
(A
>
>
>
>
< (A
I )q1 = 0
I )q2 = q1
.
.
>
>
.
>
>
>
:
.
.
>
>
.
>
>
>
: (A
I )qn = qn
Aqn = qn
1
+ qn
7,
7
5
.
.
.
1
(2)
Si scelgono
q1 = x1 ; q2 2 ker(A
I )2 ; : : : ; qn 2 ker(A
in modo che siano indipendenti.
ker(A I )k Autospazio generalizzato di ordine k
qi autovettori generalizzati.
I )n
Caso generale i ; i ; i :
= A pI , Akp potenze di Ap ; sia
dk = dim ker(Akp ), si ha che dk dk+1 n.
Se h è tale che dh = dh+1 allora la successione si stabilizza,
cioé: dh+s = dh 8s 1.
Sia Ap
Se p 6= i ) d0 = d1 = 0 quindi dk = 0 8k.
Se 9i t.c. p = i ) d0 = 0; d1 = i , si dimostra che
) si ha dk
quando la successione si stabilizza (k
= i .
Chiamo autovettore generalizzato di ordine k il vettore v tale
che
v 2 ker(A
i I )k ^ v 2= ker(A
i I )k
Dato un autovettore generalizzato di ordine k, v
(K )
1
, costruisco
un autovettore generalizzato di ordine k
1:
v (k 1) = (A i I )v (k) . Posso in questo modo costruire
delle catene lunghe k di autovettori generalizzati.
Per costruire un base di autovettori generalizzati:
si prendono dk dk 1 autovettori
si parte dal livello k
: x(k) ; :::; x(k)
generalizzati di ordine k
1
dk dk 1 . Si
construiscono, a partire da questi autovettori generalizzati, delle
catene lunghe k . Dal livello k
generalizzati di ordine k
)
(k
indipendenti da x1 ; :::;
(dk
dk 1 )
(dk
1
1 si prendono gli autovettori
1 che siano linearmente
)
(k
xdk dk 1 e si generano
dk 2 ) catene lunghe k
1.
Ci si ferma quando si sono trovati n vettori indipendenti.
Si costruisce Q ponendo nella prima colonna l’autovettore
generalizzato di ordine piú basso e risalendo le catene trovate.
Ad ogni catena corrisponde un blocco di Jordan e la lunghezza
della catena ne determina la dimensione.
Esercizio 1
2
2
6 0
A=4
0
0
Autovalori: 1 (1 = 1) 2 (2 = 3)
2
1
0
A1 = A I = 6
4 0
0
0
0
0
0
2
A2 = A
0
6 0
2I = 4
0
0
0
1
0
0
3
0
0
1
0
1
0 7
5;
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
3
1
0 7
5
0
2
2
3
0
6 1 7
autovettore relativo ad 1 : 4
5:
0
0
3
1
0 7
5 ; d1 = 2 = 2 due blocchi
0
0
A2 ) sono:
Vettori che formano una base del ker(
2
3
0
0
2
0
2
1
0 7 (1) 6
v1(1) = 6
4 0 5 ; v2 = 4
0
3
0
0 7
5:
1
0
2
0
6 0
A22 = 4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
3
0
0 7
5 ; d2 = 3 = 2
0
0
L’autovettore generalizzato di ordine 2 é:
2
3
) d3 = 3; k = 2
2
3
0
1
6 0 7
6 0 7
(1)
x(2)
=
;
)
x
=
;
4
5
4
5
1
1
0
0
1
0
v(1) .
Come autovettore generalizzato di ordine uno ho 2
2
0
1
Q=6
4 0
0
2
0
0
1
0
1
0
Q 1 AQ = 6
4 0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
3
0
0 7
5
0
1
0
0
2
0
3
0
0 7
5
1
2
2
Esercizio 2
6
6
A=6
4
1
1
1
0
1
2
6
= 0; 0 = 1; x1 = 6
6
4
= 1; 1 = 4.
2
6
A1 = 6
6
4
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
2
6
6
ker(A1 ) =< 6
4
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
3 2
7 6
7 6
7; 6
5 4
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
3
7
7
7
5
7
7
7,
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
3
7
7
7 ; d1 = 2 = 1 )
5
3
7
7
7>
5
2 blocchi: 2+2 o 3+1
2
A21 =
2
ker(A21 ) =<
6
6
4
2
6
6
4
2
0
0
1
0
0
ker(A31 ) =<
2
x(3)
2 =
6
6
4
6
6
4
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
3
0
0
1
0
0
7 6
7; 6
5 4
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
7 6
7; 6
5 4
0
0
1
0
1
3 2
0
0
0
1
0
6
A31 = 6
4
0
0
1
1
0
3 2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
3 2
7 6
7; 6
5 4
0
0
0
0
0
3 2
7 6
7; 6
5 4
2
7
6
7 da cui x(2)
6
2 =4
5
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
3
3
7
7 ; d2 = 3
5
3
7
7 >,
5
3
7
7 ; d3 = 4 = 1
5
3 2
7 6
7; 6
5 4
1
1
0
0
0
2
7 (1) 6
7, x2 = 6
5
4
3
7
7 >.
5
0
0
0
1
0
3
7
7
5
Matrice di Jordan nel caso complesso
Siano un autovalore complesso di A relativo all’autovettore
complesso v allora è autovalore di A relativo all’autovettore v .
Siano v
e
"= qr + |qi e = +#|! , poste Q = [qr + |qi qr
+ |!
=
0
"
Data E
=
1
1
1
2
AQE = QEE
0
|
|
1
|!
si ha AQ
= Q.
#
si ha QE
E da cui
A[qr qi ] = [qr qi ]
"
= [qr qi ].
!
!
#
|qi ]
Esercizio 3
2
0
0
1
A=4
Autovalori:
1; |;
|.
2
Vettore nel ker(
Ai)
h
2
6
Qi = 4
1
2
0
0
1
1
|
3
1
1 5
|
|
i
1
|
2
|
0
0
0
Ji = 4 0
.
|
0
1
0
1
1
+ |
2
2
1
2
1
1 5
0
0
1
|; 1
2
1
2
|;
0
1
0
|
Ai = 4
3
|
3
0
0 5
1
3
1 7
5
2
6
Qr = 4
2
3
0
1
2
1
1
2
0
1
0
0
1
0
0
0
0 5
1
Jr = 4
0
1
0
1 7
5
3
Esercizio 4
2
1
0
0
1
A=6
4
Autovalori 1
+ |; 1
A1 = A
|; 1 + |; 1
0
1
1
0
2
3
0
1
1
0
1
0 7
5
2
1
|
|
0
|
0
1
0
1
1
0
0
6 0
(1 + |)Id = 4
2
[0;
2
6 0
A1 2 = 4
2
2|
|
|; 1; 0]
0
2
2|
0
[ |; 1; 0; 1]; [0;
0
2|
2
0
3
1
0 7
5
2
|
3
2|
2 7
5
4|
2
|; 1; 0]
2
|
6
Qi = 4
2
1
0
1+|
6 0
Ji = 4
0
0
2
6
Jr = 4
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
|
0
|
1
0
1
1
1+|
0
0
0
6 0
Qr = 4
1
0
2
|
0
1 7
5
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
3
0
0
1
|
1
3
1
0 7
5
0
0
1
0
1
1
3
0
1 7
5
1
1
3
7
5
|
Esercizi di riepilogo su Jordan
2
6
6
A=6
4
2
0
1
1
0
0
2
0
0
0
0
1
2
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
2
3
7
7
7
5
1 con molteplicitá algebrica 1 = 1 e
= 4.
Gli autovalori della matrice sono: 1 =
2 = 2 con molteplicitá algebrica 2
Autovalore 1:
2
A1 = A
6
6
1Id = 6
4
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
3
7
7
7;
5
A1 ) = 1 = 1 = d1 e la base é data da
La dimensione del ker(
2
6
w1 = 6
6
4
0
1
0
1
0
3
7
7
7.
5
Autovalore 2
A2 = A
2
6
6
2I = 6
4
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
d1 = 2 = 2, base del ker(A2 ) é data da
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
3
7
7
7
5
2
6
6
v1 = 6
4
0
1
0
0
0
3
2
7
6
7
6
7 ; v2 = 6
5
4
0
0
1
1
0
3
7
7
7 ;.
5
2 = 2 < 2 = 4 quindi continuo a calcolare le potenze di A2 :
3
2
6
A22 = 6
6
4
0
0
0
0
0
2 ) é data da
A
3
3 2 2
Una base del ker(
2
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
2
0
0
0
0
0
3
7
7
7
5
2
3
1
0
0
0
6 0 7
6 0 7
6 0 7
6 1 7
7
7
7
6
7
6
6
v1 = 6 0 7 ; v2 = 6 1 7 ; v3 = 6 0 7 ; v4 = 6
6 0 7 ;.
4 0 5
4 0 5
4 1 5
4 0 5
0
1
0
0
d2 = 4 = 2 la successione si stabilizza e k = 2.
(2)
(2)
Gli autovettori generalizzati sono v1 = v3 ; v2 = v4 .
2
3
0
6 1 7
7
Costruisco la catena di v1(2) : v1(1) = (A 2Id)v1(2) = 6
1
6
7.
4 1 5
0
2
Costruisco la catena di v2(2) : v2(1) = (A
6
6
2Id)v2(2) = 6
4
k
1 non
autovettori generalizzati.
si hanno
(1) (2) (1) (2)
Costruisco Q = w1 v1 v1 v2 v2
Al livello
2
6
Q=6
6
4
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
3
2
7
6
7
6
7; J = 6
5
4
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
2
0
0
3
0
0
1
1
0
7
7
7.
5
0
0
0
2
0
0
0
0
1
2
3
7
7
7
5
2
6
6
A=6
4
1
0
1
1
0
0
2
0
1
0
0
1
1
1
0
Autovalore 1 con molteplicitá algebrica
2
A1 = A
6
Id = 6
6
4
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
3
7
7
7;
5
1 = 5:
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
2
6
6
una base del ker(A1 ) é data da v1 = 6
4
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
3
3
7
7
7;
5
2
7
6
7
6
7 ; v2 = 6
5
4
0
1
0
1
0
3
7
7
7 ;.
5
d1 = 1 = 2 < 1 = 5 quindi si procede nel calcolo delle potenze di A1 .
2
3
6
A21 = 6
6
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
7
7
7;
5
2
0
1
1
0
0
6
6
2
una base del ker(A1 ) é data da v1 = 6
4
2
6
6
6
4
0
1
0
1
0
3
2
7
6
7
6
7 ; v3 = 6
5
4
1
0
0
0
0
3
2
7
6
7
6
7 ; v4 = 6
5
4
0
0
0
1
0
A31 = 0;
2
6
6
3
una base del ker(A1 ) é data da v1 = 6
4
2
6
6
6
4
0
1
0
1
0
3
2
7
6
7
6
7 ; v3 = 6
5
4
1
0
0
0
0
3
2
7
6
7
6
7 ; v4 = 6
5
4
0
0
0
1
0
3
7
7
7 ; v2 =
5
3
7
7
7 ; . d 2 = 4 < 1 = 5
5
0
1
1
0
0
3
3
7
7
7 ; v2 =
5
2
7
6
7
6
7 ; v5 = 6
5
4
0
0
0
0
1
3
7
7
7 ;.
5
d3 = 5 = 1 Autovettore generalizzato di ordine 3 é dato da: v1(3) = v5
2
(2)
quindi v1 =
A1 v1(3) =
2
v1(1) =
A1 v1(2) =
6
6
6
4
0
1
0
1
0
6
6
6
4
3
0
1
1
1
0
3
7
7
7;e
5
7
7
7 ;.
5
Autovettore generalizzato di ordine 2 é dato da:
2
6
v2(1) = A1 v2(2) = 6
6
4
0
0
1
1
0
3
7
7
7;
5
v2(2) = v3 quindi
Esercizi
Trasformata di Laplace
L[
Rt
0
e d ] =
1 1
2 (s+1)
(
f (t) =
e(t
0
f (t) = cos(2t 1) + t2 e t
Z trasformata
t
1
f (t) = t(t 1)(t 2) 2
t
1
f (t) = 4 sin(t=2)
(
f (t) =
2)
0
1 (t 1)
2
t2
t<2
t1
t<1
Esercizi
Antitrasformata di Laplace
G(s) = s(s1+2)
1
G(s) = (s2 +1)
2
Antitrasformata
Z
G(z) = z(z1+3)