catene di Jordan

Primo anzi primissimo post.
Inizialmente mi ero lasciato convincere ad aprire questo blog per alcune
delle mie passioni, ma preferendole tenere (almeno per un po’) solo per
me, mi è venuto in mente di provare a condividere alcuni piccoli
lavoretti che io avrei apprezzato.
Giusto per cominciare vorrei pubblicare un piccolo schema su autospazi
generalizzati e catene di Jordan, ovvero, come arrivare al calcolo delle
catene seguendo uno schema corretto (per ora niente esempi).
So che sembra una mattonata buttata lì, ma è da molto che io cercavo
qualcosa o qualcuno che le spiegasse passo passo ed avrei apprezzato
molto di poter trovare questo lavoro già fatto.
nb: buona parte di quelle che sono conoscenze di base della geometria e
dell’algebra lineare sono date per scontate proprio perché qui desidero
chiarire solo alcuni aspetti molto limitati nell’ambito degli autospazi
generalizzati e delle catene di Jordan.
Cominciamo con la definizione (anzi LE definizioni) di molteplicità
geometrica di un autovalore.
m g (1) il numero di autovettori linearmente indipendenti relativi
all’autovalore
e (2) molteplicità dell’autovalore nel polinomio minimo.
Esistono molte altre definizioni più o meno rigorose, ma per ora
accontentiamoci di queste.
Autospazi Generalizzati
Noto un autovalore appartenente alla matrice A, λ ∈ eig( A) , si dice
autospazio generalizzato di ordine p associato all’autovettore il
anche riconoscibile come gli insieme di vettori {
ker ( A−λI ) p
p
x :( A−λI ) x=0 }
Prima di andare aventi ecco qualche proprietà interessante:
1.L’autospazio generalizzato di ordine 1:
ker ( A−λI ) , è un sottospazio
costituito da una base costituita dagli autovettori (naturalmente
linearmente indipendenti) associati a λ. Un solo autovettore implicherà
uno spazio monodimensionale, due un piano e così a seguire.
2. Volendo
calcolare
il
sappiamo
già
che
ker ( A−λI )2 ,
2
Facilmente
dimostrabile
in
quanto,
se
ker ( A−λI )⊆ ker ( A−λI ) .
consideriamo, (A−λI ) x=0 , premoltiplichiamo per (A−λI )
ottenendo
che ( A−λI )2 x=0 , quindi x ∈ ker ( A−λI )2 .
Da ciò posso costruire una sequenza di autospazi generalizzati a partire
dal λ scelto.
(A−λI )
(A−λI )2
(A−λI )3 …
fino ad arrivare ad un autospazio
il cui ordine
ker ( A−λI )( p−1 )
dimensionale non aumenta più rispetto al successivo ker ( A−λI ) p . Qui mi
fermo, in quanto per qualsiasi altro autospazio successivo (p+q) avrò
che ker ( A−λI ) p =ker ( A− λI )( p+q ) , con q intero positivo, come già avevo
ottenuto ker ( A−λI )( p−1 )=ker ( A−λI ) p .
Da non dimenticare che dim (ker ( A−λI ) p )=ma (λ) .
Lemma
Se h ( λ) è coprimo con g ( λ) → ker (h(A))∩ ker (g (A))=∅ .
Nel caso in cui ci trovassimo sotto questa condizione allora potremmo
parlare di somma diretta tra due sottospazi generalizzati:
che ci porta ad una considerazione sulle
ker ( h( A))⊕ ker ( g ( A))
dimensioni degli spazi in esame:
dim(ker (h (A)) ⊕ ker ( g ( A)))=dim(ker ( h( A)))+dim( ker ( g (A))) .
Tutto questo, da ricordare, valevole solo se i sottospazi sono
perfettamente disgiunti.
Nel caso invece di sottospazi con intersezione non nulla, allora la
dimensione della somma dei sottospazi sarà la somma delle dimensioni dei
sottospazi meno la dimensione dell’intersezione tra i due sotto spazi:
dim( ker (h ( A))⊕ ker (g ( A)))=dim(ker (h( A)))+dim( ker ( g ( A)))– dim( ker (h( A))∩ker ( g ( A)))
Catene di Jordan
Sottotitolo: tutto quello di cui abbiamo parlato finora avrà un senso un
briciolo più pratico generando basi di autospazi generalizzati utili!
Tutto il lavoro di seguito, descritto per un singolo autovalore di
molteplicità algebrica maggiore di uno, va ripetuto poi per OGNI altro
autovalore presente nella matrice.
Consideriamo un λ ∈ A con molteplicità algebrica pari a n.
1. dal ker ( A−λI ) posso ricavare n 1 autovettori generalizzati
linearmente indipendenti associati a λ, ovvero n 1=m g ( λ) ;
2. domanda: questi vettori sono sufficienti a creare una base per A? O
meglio, m g =m a ? Se sì, allora ho finito, altrimenti devo continuare;
3. aumento la dimensione dell’autospazio generalizzato: mi porto dietro
gli autovalori già calcolati ed aggiungo un completamento per le restanti
dimensioni, così da avere altri autovettori generalizzati (di ordine due)
linearmente indipendenti dai precedenti.
mi da n 2
ker ( A−λI )2
ulteriori autovettori linearmente indipendenti dai precedenti ottenuti;
4. stessa domanda del punto 2, ed avanti col loop fino al completamento
di tutto lo spazio.
Poniamo il caso di una matrice che ci porti ad un
generalizzati saranno del tipo:
(1)
ker ( A−λI )→ u(11, ) u (1)
2, … ,u n1
(1)
(2 ) (2 )
(2)
ker ( A−λI )2 → u(11, ) u (1)
2, … , un1 ¦ u 1, u 2, … , u n2
(1)
(1)
(2) (2)
(2)
(3 ) (3)
(3 )
ker ( A−λI )3 → u (1)
1, u 2, … , u n1 ¦ u 1, u 2, … , un2 ¦ u1, u 2, … , un3
partendo da
calcolo una possibile
u(3)
u(2)
1
ma =3 , gli autospazi
(2)
tramite
.
(A−λI )u (3)
1 =u
Il vettore risultante potrebbe essere già presente (anche come
combinazione lineare) tra i precedenti calcolati. Se lo è nessun
problema, ma se non lo fosse, allora dovremmo cancellare uno dei
precedenti in modo che il nostro
calcolato rimanga linearmente
u(2)
indipendente coi rimanenti. Stesso procedimento con ( A−λI )u (2)=u(1)
il
quale, una volta terminato, mi ha fornito una catena di ordine massimo
(3). Eseguendolo con tutti n 3
u(3) presenti otterrò un egual numero di
catene di ordine massimo.
Alla fine di questo procedimento ho ulteriori autovettori generalizzati
di ordine inferiore? Se no, sono a posto. Se sì, devo ripetere ma
partendo da uno degli autovettori del massimo ordine residuo. Il
fortunato sarà quello con pedice di valore più basso e da quello si andrà
avanti fino ad esaurimento, ottenendo così delle catene di Jordan di
ordine inferiore fino al completamento di tutto lo spazio.
Esemplificando per un λ “a caso” da cui abbiamo ottenuto tre catene (una
lunga 3, una lunga 2 ed una lunga 1) il risultato sarà rappresentabile
come:
[
(1)
(2)
(3 )
(1)
(2)
(3)
U = u1 ¦ u 1 ¦ u1 ¦ u 2 ¦ u 2 ¦ u 1 ¦ ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
]
dove i primi sei elementi sono gli
autovettori delle catene di Jordan ordinate (NON CASUALMENTE) per ordine
crescente di pedice (che indica l’ordinalità della catena) e poi di apice
(che indica il livello di autospazio da cui è stato preso il vettore
stesso).
Una volta fatto tutto quanto per tutti gli autovalori presenti la matrice
U ottenuta sarà quadrata dell’ordine del sistema stesso e sarà detta
modale, in quanto sarà capace di trasformare (per similitudine) A in J:
U −1 AU =J .
Ovviamente ogni blocco della matrice di Jordan avrà dimensioni pari alla
grandezza della catena corrispondente che l’ha generato (catena lunga 3 →
blocco dimensioni 3…).
Inutile dire qui come sia fatta una matrice di Jordan, ma visto che
questo post è stato scritto con un rischio di altissima illeggibilità…
entro il prossimo prometto di imparare a usare meglio questo formato di
testo, o per lo meno, di trovare qualche scappatoia per scrivere in modo
che formule e simbologia non diano incubi ad una prima lettura.
Grazie per l’attenzione.