SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2
CORSO DI ORDINAMENTO 2009
La funzione f (x) = log x ha dominio D =]0, +∞[, interseca l’asse x nel punto di coordinate
(1; 0) ed è sempre crescente. Il grafico Gf di f è il seguente.
1. Consideriamo un punto generico di Gf , P = (k; log k), con k > 0.
Il punto B ha coordinate (0; log k).
Per determinare le coordinate di A, scriviamo l’equazione della retta t, tangente al
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grafico della funzione f in P .
Il coefficiente angolare di t è f ′ (xP ) =
1
. Quindi, l’equazione della retta t è
k
y − yP = f ′ (xP )(x − xP )
1
y − log k = (x − k)
k
1
y = x + log k − 1.
k
Tale retta interseca l’asse y in A = (0; log k − 1), e la lunghezza del segmento AB è
AB = |yB − yA | = | log k − log k + 1| = 1,
che è, perciò, costante.
Nel caso in cui la funzione considerata sia g(x) = loga x, si può procedere in modo
analogo, trovando come equazione della retta tangente t
y=
1
loga e · x + loga k − loga e.
k
La distanza tra A = (0; loga k − loga e) e B(0; loga k) è ora:
AB = | loga k − loga k + loga e| = | loga e|.
Possiamo concludere dunque che, fissato il valore della base a, la lunghezza di AB
rimane costante indipendentemente dalla scelta del punto P .
Osserviamo infine che, per a = e, ritroviamo il caso particolare AB = 1.
2. Poiché per inclinazione si intende l’angolo che una retta forma col semiasse positivo
delle x, si ha che il coefficiente angolare della retta è tg δ.
Tale coefficiente angolare vale anche g ′ (1) = loga e.
• Se δ = 45◦ , allora tg δ = 1. Quindi 1 = loga e, cioè a = e.
1
• Se δ = 135◦ , allora tg δ = −1. Quindi −1 = loga e, cioè a = .
e
3. L’area da calcolare è quella evidenziata nella figura seguente
Tale area può essere calcolata come differenza tra l’area del rettangolo di base e e
altezza 1 con l’area del sottografico della funzione f (x) = log x tra 1 ed e. Perciò,
integrando per parti, si ottiene
Z e
h
ie
D =e−
log xdx = e − x log x − x = e − 1.
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4. Operiamo la traslazione di vettore ~v (1; 0) in modo che l’asse di rotazione coincida
con l’asse y. La curva traslata ha equazione y = log(x − 1).
Per ruotare attorno all’asse y, occorre calolare la funzione inversa, cioè
y = log(x − 1) ⇒ x − 1 = ey ⇒ x = 1 + ey .
Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume del solido di rotazione il volume
π del cilindro interno di raggio di base 1 e altezza 1.
V =π
Z
1
y 2
(1 + e ) dy − π = π
0
Z
1
(1 + e2y + 2ey )dy − π
0
i1
e2
1
e2y
+ 2ey − π = π 1 + + 2e − − 2 − π
=π y+
2
2
2
0
π 2
= (e + 4e − 5).
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