Funzioni elementari

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
FUNZIONI ALGEBRICHE
Le funzioni algebriche sono basate sulla funzione potenza e sui polinomi.
Funzione potenza, per p e q numeri naturali
f (x) = xp = x · x · . . . · x (p volte)
f (x) = x−p = x1p
√
1
f (x) = x p = p x, x ≥ 0 se p è pari
√
p
f (x) = x q = q xp
proprietà: xp · xq = xp+q ,
(xp )q = xpq
Polinomi, per n numero naturale
f (x) = Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
casi particolari:
retta f (x) = mx + q, ascendente se m > 0, discendente se m < 0
parabola f (x) = ax2 + bx + c, convessa se a > 0, concava se a < 0
Funzioni razionali fratte
f (x) = Pm (x)/Pn (x)
Funzioni irrazionali
Sono quelle funzioni ottenute dalla combinazione di funzioni razionali con radicali di
qualunque ordine.
FUNZIONI TRASCENDENTI
Funzione esponenziale e logaritmo
f (x) = ax , a > 0,
D = IR, Im = IR+
f (x) = loga x, a > 0,
D = IR+ , Im = IR
proprietà:
ax
aloga x = x, loga (ax ) = x, logb x = log
loga b
loga (xy) = loga x + loga y, loga (x/y) = loga x − loga y,
Funzioni iperboliche
sinh x = 12 (ex − e−x ), cosh x = 21 (ex + e−x ),
tanh x =
loga xp = p loga x
sinh x
cosh x
=
ex −e−x
ex +e−x
Funzioni trigonometriche
f (x) = sin x,
D = IR, Im = [−1, 1]
f (x) = cos x,
D = IR, Im = [−1, 1]
sin x
f (x) = tan x = cos x ,
D = IR − {x = (2n + 1) π2 }, Im = IR, n numero intero
proprietà:
sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x, sin(x + 2nπ) = sin x, cos(x + 2nπ) = cos x
sin2 x + cos2 x = 1
cos(π − x) = − cos x, sin(π − x) = sin x, sin( π2 ± x) = cos x, cos( π2 ± x) = ∓ sin x
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos(x + y) = cos x cos y + sin x sin y
sin 2x = 2 sin x cos x,
cos 2x = cos2 x − sin2 x