esercizi svolti

ESERCITAZIONI DI MATEMATICA
GENERALE
Dolce Emanuela
13 Novembre 2015
1
Equazioni esponenziali e logaritmiche
Esercizio 1.1. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:
1.
2.
3.
18x+1
√
3
√
3
√
=3 2
251−x =
√
1
−
2
1
4
1
3
3
4
3
2
5
a2 = a1−x
4.
62x = 2162x−1
5.
31+2x = 81
Logaritmi
Per ogni
a ∈ R+ \ {1}
e per ogni
q ∈ R+
ax = q ⇐⇒ x = loga q,
cioè il logaritmo di un numero, in una data base, è l'esponente che bisogna
dare alla base per ottenere il numero dato.
1
Siano
a ∈ R+ , a 6= 1, m ∈ R+ , n ∈ R+
loga 1 = 0,
loga a = 1,
loga (m · n) = loga m + loga n,
m
loga
= loga m − loga n,
n
loga bm = m loga b,
loga am = m,
aloga b = b (b > 0),
loga b = loga c · logc b,
loga b
logc b =
.
loga c
I sistemi di logaritmi di uso comune sono due:
1. i logaritmi naturali o neperiani, la cui base è un numero irrazionale
indicato con
e,
il cui valore approssimato è 2,718...
2. i logaritmi decimali o di Briggs a base 10.
Esercizio 1.2. Calcolare il valore dei seguenti logaritmi:
1.
log3 81
[4]
2.
log7 49
[2]
3.
log2 32
[5]
4.
log4 64
[3]
Esercizio 1.3. Determinare
x:
27
8
4
9
"√ #
3
2
1.
log 3 x = 3
2
2.
log 3 x = −2
2
3.
log 3 x =
4
1
2
Esercizio 1.4. Determinare la base:
1.
logx 9 = −2
1
3
2.
logx
1
= −3
8
[2]
3.
logx 81 = 4
[3]
2
Esercizio 1.5. Calcolare:
1.
log 4 + log 3
2.
log 6 − log 3
3.
[log 12]
1
1
log(1 − x) − log(1 − x2 ) + 2 log x
2
2
[log 2]
x2
log √
1+x
Esercizio 1.6. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:
1.
2.
3.
2x−1 41+x
= 61−x
3
9
Log48
Log
1
2x 5x+1
= x
5
3
√
3
2x 71−x p √
6
= 4 51−x
x−1
9
[0]
[1]
Esercizio 1.7. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:
1.
y = log2 (x − 3)
2.
y = log3 (x2 + 9)
[R]
3.
y = log 1 (1 − x2 )
[(−1; 1)]
[(3; +∞)]
2
4.
5.
y = 2x
2 +3x
[R]
1
1 x−3
y=
2
[R r {3}]
Esercizio 1.8. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche:
3.
log3 (3x − 4) = 2
3
4
5
2
13
3
4.
log6 (2x − 3) = 0
[2]
5.
log2 (x2 + 3x + 4) = 2
6.
log 4 (x2 − x + 1) = −1
1.
log 3 x = 1
4
2.
2 log 2 (x − 1) = −2
3
[0, −3]
1
2
3
7.
logx (2x − 1) = 2
[nessun
3
valore di
x]
8.
4 log5 x = 3 log5 16
[8]
9.
log4 (x + 6) + log4 x = 2
[2]
10.
2
log5 (x2 − 4) − log5 (x + 2) = 2
[27]
Disequazioni esponenziali e logaritmiche
Teniamo presente che:
x1 < x2 ⇐⇒ ax1 < ax2
x1
x1 < x2 ⇐⇒ a
x2
>a
per
a > 1,
per
0 < a < 1.
x1 < x2 ⇐⇒ loga x1 < loga x2
per
a > 1,
x1 < x2 ⇐⇒ loga x1 > loga x2
per
0 < a < 1.
Esercizio 2.1. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali e logaritmiche:
1.
2x > 128
2.
3x >
3.
4.
[x > 7]
1
9
[x > −2]
x
8
2
<
3
27
x
1
>4
2
[x > 3]
[x < −2]
5.
2 · 3x − 9x > 1
6.
3x + 3x+1 + 3x+2 ≥ 39
7.
log2 3 > log2 x
8.
log 1 x < log 1 5
2
9.
[nessun
valore di
x]
[x ≥ 1]
[0 < x < 3]
[x > 5]
2
log5 (x − 2) < 0
[2 < x < 3]
4