gara di matematica

GARA DI MATEMATICA
La gara consiste nella risoluzione di 21 quesiti:
A. Un quesito che consiste nel dimostrare una proposizione,
B. 10 quesiti di cui occorre dare solo la soluzione richiesta senza fornire il procedimento,
C. 10 quesiti a risposta multipla, in cui una sola risposta è esatta e le altre 4 sono errate.
La risposta al quesito A sarà valutata con un punteggio che va da 0 a 12. Ogni risposta corretta
a quesiti di tipo B vale il punteggio indicato a fianco del quesito, ogni risposta sbagliata o non
data vale 0 punti. Ogni risposta corretta a quesiti di tipo C vale 5 punti, ogni risposta sbagliata
vale 0 punti e ogni quesito lasciato senza risposta vale 1 punto. Ogni squadra ha a disposizione
un jolly che può giocare solo su un quesito di tipo B. Entro 20 minuti dall’inizio della prova
è possibile consegnare al tavolo della commissione la scheda in cui si dichiara su quale quesito
di tipo B si vuole giocare il jolly. Detto p il punteggio assegnato al quesito su cui viene giocato
il jolly, se tale quesito è correttamente risolto il punteggio complessivo ottenuto dalla squadra
viene aumentato di p punti, altrimenti sarà diminuito di p/2 punti. Non è consentito l’uso di
alcuno strumento elettronico (calcolatrice, telefono cellulare, ecc.). Il tempo a disposizione per
svolgere la prova è di due ore.
A. Dimostrare il seguente teorema
Teorema. Il prodotto di due numeri interi consecutivi è divisibile per 3 se e
solo se la loro somma non è divisibile per 3.
B 1. Determinare la cifra delle unità del numero
20122012 .
(punti 4)
B 2. Dati tre cerchi di raggio r tangenti come in figura, calcolare l’area dell’insieme T delimitato
dai tre cerchi.
(punti 5)
B 3. Calcolare la somma
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2002 − 1992 + 1982 − 1972 + . . . + 42 − 32 + 22 − 1.
(punti 5)
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B 4. In un bicchiere da cocktail di forma conica c’è una ciliegina di forma sferica
e del liquore che ricopre esattamente la ciliegina come rappresentato in
figura dalla sezione con un piano verticale passante per il centro della
ciliegina. Sapendo che il raggio della ciliegina è 1 cm e l’altezza del liquore
nel bicchiere è 4 cm, calcolare da quanti cm3 è costituita la quantità di
liquore.
(punti 6)
B 5. Una gara di matematica si svolge in due giorni e consiste nella risoluzione di 20 quesiti ad
ognuno dei quali viene assegnato un punteggio, costituito da un numero intero positivo. Il
punteggio ottenuto da un partecipante è dato dalla somme dei punteggi relativi ai quesiti
da lui risolti. La gara è stata vinta da Angelo che ha risolto tutti i quesiti totalizzando P
punti. A seguire si sono classificati nell’ordine Bruno, Carlo e Dario. Dario ha ottenuto il
primo giorno P/6 punti e il secondo giorno 100 punti. Carlo invece ha ottenuto P/2 punti
il primo giorno, ma solo 9 punti il secondo. Bruno, infine, ha totalizzato il primo giorno
P/4 punti, mentre il secondo giorno ha totalizzato 79 punti. Con quale punteggio Angelo
ha vinto la gara?
(punti 6)
B 6. Calcolare il numero delle cifre di
(123456789)5 .
(punti 6)
B 7. Siano a, b, c tre numeri interi positivi dispari distinti minori di 50. Calcolare il massimo
valore che può assumere M = M.C.D.(a, b, c).
(punti 7)
B 8. L’avvocato Azzeccagarbugli è un evasore fiscale. Sul suo rendiconto degli incassi del mese
di Marzo si legge
VENTI+
VENTI+
VENTI+
VENTI+
VENTI=
CENTO
Pertanto risultano incassati cento euro. Però se ad ogni lettera è associata una cifra,
a lettere uguali cifre uguali e a lettere diverse cifre diverse, quanti euro ha realmente
incassato l’avvocato Azzeccagarbugli nel mese di Marzo?
(punti 8)
B 9. Il geometra Manicola è infedele. In un appalto a lui affidato ha autorizzato alle imprese
costruttrici l’uso di cemento depotenziato in 3 dei 10 pilastri in cemento armato. Il geometra è perseguibile se almeno uno dei pilastri viene trovato difettoso. Qual è la probabilità
per il geometra Manicola di farla franca, se il collaudo viene fatto “a campione” del 30%,
se il 30% dei collaudatori è corrotto e se le eventuali cause di merito davanti al Giudice
non hanno nessun esito per decorrenza dei termini nel 75% dei casi?
(punti 9)
B 10. Dato un semicerchio C di raggio R = 4 cm, si consideri un
cerchio C1 di raggio massimo in esso contenuto e succesivamente un cerchio C2 di raggio massimo contenuto in C\C1 ,
come in figura. Calcolare il raggio di C2 .
(punti 10)
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C
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1
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0
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O
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C
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2 ..
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00 ... .....
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... ...... O ........
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C
O
C 1. Data una funzione f : R → R tale che f (x + 1) = f (x − 1) ∀x ∈ R, si ha che
A.
f è continua
D.
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R
B.
f è periodica
E.
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
C.
f è derivabile
C 2. Il nocciolo di una sfera è costituito da una sferetta in acciaio di raggio 1 cm ed il mantello
da uno strato uniforme di gomma leggera. Invertendo i materiali del nocciolo e del mantello
la sfera ha lo stesso peso. Allora lo spessore del mantello è
A.
1 cm
√
3
(2 − 2) cm
√
3
C. ( 2 − 1) cm
B.
D.
quanto affermato non è realizzabile
E.
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
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C 3. Piegando un foglio rettangolare di lati a e b, (a > b) lungo una diagonale
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d si ottengono tre triangoli di cui uno, T , è costituito da fogli sovrapposti. ....... .................. ................... ..........
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T ..............................
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L’area di T risulta
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√
b d2
A. a d2 3
D. a
b
√
√
B. a d2 2
E. d2 23 .
b
C. b d2
4a
C 4. Per quanti valori interi di x il prodotto (x2 − 3x + 1)(x2 − 7x + 9) è un numero primo?
A.
3
D.
2
B.
nessuno
E.
nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
C.
1
C 5. Quante sono le terne ordinate (a, b, c) di numeri interi positivi che soddisfano simultaneamente le due condizioni
ab + bc = 44
A.
0
D.
4
B.
2
E.
1.
C.
3
,
ac + bc = 23 ?
C 6. Un cubo di spigolo lungo 2 cm è intersecato da un piano in un
esagono regolare. Se si congiungono tre vertici dell’esagono a due
a due non consecutivi si ottiene un triangolo. Quanto vale l’area del
triangolo cosı̀ ottenuto?
√
A. 3 2 3
cm2
3 cm2
√
C. 3 cm2
B.
√
D. 3 4 6
E.
√
cm2
6 cm2 .
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C 7. Il numero dei polinomi di secondo grado ax2 + bx + c a coefficienti interi tali che
|a| + |b| + |c| = 3
è
A.
26
D.
18
B.
32
E.
nessuna delle affermazioni precedenti è corretta.
C.
52
C 8. Il sistema
x−y =2
cx + y = 3 ,
ha una soluzione (x, y) con x e y positivi se e solo se il numero reale c è tale che
A.
− 32 < c < 1
D.
0<c<
3
2
B.
c > −1
E.
−1 < c < 32 .
C.
c<
A.
per ogni k > 0
D.
per ogni k tale che 0 ≤ k ≤ 1
B.
solo per k = 1
E.
per nessun valore di k.
C.
solo per k = 0
3
2
C 9. Per quali valori reali di k l’equazione |x − 3| − 1 = k ha tre e solo tre soluzioni?
C 10. Sia ABC un triangolo rettangolo di cateti AB = 6/5 e BC = 8/5. Si tracci la bisettrice
uscente dal vertice A, che interseca BC nel punto D. Dal punto D si tracci la perpendicolare a CA, che interseca CA nel punto E. Dal punto E si tracci la perpendicolare a BC,
che interseca BC nel punto F . Quanto misura il segmento EF ?
A.
4/5
D.
2/5
B.
3/5
E.
16/25.
C.
12/25