Esercizi 10 Qual ae la probabilita di vincere giocando un ambo (ad

Analisi dei Dati - Alessandro Bogliolo
Esercizi
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10 Qual e la probabilita di vincere giocando un ambo (ad esempio 10, 25) su tutte le ruote del Lotto? Si
tenga conto che le ruote sono 10 e che giocando su tutte le ruote si vince se la combinazione giocata esce
su almeno una ruota.
La probabilita che l'ambo esca su una ruota prestabilita e stata calcolata in risposta all'esercizio
n. 6: p = (5=90)(4=89). Le estrazioni su ruote diverse sono indipendenti. La probabilita che l'ambo esca
su almeno una ruota e il complemento della probabilita che l'ambo non esca su alcuna ruota:
Soluzione:
P
=1
(1
)10 ' 0:0244
p
11 Si consideri un test a risposta chiusa composto da 10 quesiti con 4 risposte ciascuno (indicate con le lettere
a,b,c,d) di cui una corretta e tre errate. Il candidato puo decidere se rispondere o no a ciascun quesito.
Se decide di rispondere deve indicare la risposta giusta tra le 4 proposte, se decide di non rispondere non
deve indicare nulla. Qual e la probabilita di rispondere correttamente a tutti i quesiti rispondendo a caso?
= 1=410
Rispondere ad un quesito equivale ad associargli una delle 4 risposte disponibili a,b,c,d. Rispondere ai 10
quesiti equivale a disporre i 4 simboli (a,b,c,d) nelle 10 posizioni. Pertanto, le possibili risposte sono tutte
le possibili disposizioni con ripetizione di 4 elementi a gruppi di 10, il cui numero e D40 ;10 = 410 . Tra queste
solo una e quella completamente corretta. Rispondendo a caso tutte le disposizioni sono equiprobabili e
la probabilita di indovinare quella completamente corretta e
Soluzione: P
P
= 1=410
che corrisponde circa a uno su un milione.
12 Con riferimento all'esercizio precedente, si supponga che l'esito del test venga valutato assegnando ad ogni
quesito il seguente punteggio: 2 se la risposta e corretta, -1 se la risposta e sbagliata, 0 se il candidato non
ha risposto. Qual e il punteggio medio che ci si aspetta di ottenere rispondendo a caso a tutti i quesiti?
= 2:5
Rispondendo a caso, il punteggio che si puo conseguire in ogni singolo quesito e x = 1 con probabilita
0.75 (3 risposte sbagliate su 4) o x = 2 con probabilita 0.25 (1 risposta corretta su 4). Il punteggio medio
per quesito e E [x] = 1 0:75 + 2 0:25 = 0:25.
Poiche le risposte ai 10 quesiti sono tra loro indipendenti, il punteggio complessivo puo essere visto come
la somma di 10 variabili aleatorie tra loro indipendenti ed equidistribuite, di cui si conosce la media.
Sapendo che la media delle somme e uguale alla somma delle medie, si ricava il punteggio medio
Soluzione: punteggio atteso
[
E x1
+ x2 + ::: + x10 ] = E [x] 10 = 0:25 10 = 2:5
Si noti che il punteggio medio e molto piu prossimo a quello minimo (-10) che a quello massimo (20),
poiche i punteggi non hanno probabilita uniforme.
13 Con riferimento all'esercizio precedente, qual e la probabilita di ottenere esito 8 rispondendo a caso a tutti
i quesiti?
10!
= 6!4!
0:256 0:754
Prima di rispondere a questa domanda enumeriamo i possibili punteggi in funzione del numero di risposte
corrette:
1 2 3 4 5 6 7
8
9 10
risposte corrette 0
punteggio totale -10 -7 -4 -1 2 5 8 11 14 17 20
Soluzione: P
La probabilita di ottenere punteggio 8 equivale alla probabilita di rispondere correttamente a 6 quesiti su
10. La probabilita di una soluzione che contenga 6 quesiti corretti e 4 sbagliati e:
(
P punteggio
= 8) = C10;6 p(corretto)6 p(sbagliato)4 =
10!
0:256 0:754 ' 0:0162
6!4!
dove C10;6 indica i diversi modi di scegliere i 6 quesiti corretti.
14 Con riferimento all'esercizio precedente, qual e la probabilita di ottenere un punteggio superiore a 8
rispondendo a caso a tutti i quesiti?
P
(
8) = i=7:::10 C10;i 0:25i 0:7510 i ' 0:0035
Per ottenere punteggio superiore a 8 occorre rispondere correttamente a piu di 6 quesiti (come si deduce
dalla tabella ricavata in risposta alla precedente domanda). La probabilita che cio avvenga e:
Soluzione: P punteggio >
(
P punteggio >
X 0 25 0 07525+0 75
8) =
C10;7
=
7
:
3
:
C10;i
C10;8
i
:
:
0:258 0:752 + C10;9 0:259 0:751 + C10;10 0:251 00:750
i
10
' 0 0035
:
i=7:::10
15 Qual e il punteggio medio che si ottiene rispondendo a caso a 9 quesiti su 10 evitando di rispondere al
decimo?
[
] = 2:25
Rispetto all'esercizio 12, il punteggio medio e la somma di 9 variabili aleatorie indipendenti anziche di 10,
poiche l'esito del quesito a cui non si e risposto e sempre 0. Pertanto la media e
Soluzione: E punteggio
[
E punteggio
] = 0:25 9 = 2:25
16 Supponendo che l'esito del test sia ritenuto positivo solo se superiore a 8, sabilire se dal punto di vista
statistico risulta vantaggioso evitare di rispondere ad una domanda su 10, rispondendo a caso alle altre 9.
P
(
8) = i=6:::10 C9;i 0:25i 0:759 i ' 0:01
Ricostruiamo la tabella che mostra i possibili punteggi in funzione del numero di risposte corrette nel caso
in cui si risponda a 9 delle 10 domande:
8
9
risposte corrette 0 1 2 3 4 5 6 7
punteggio totale -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18
Per ottenere un punteggio superiore a 8 occorre rispondere correttamente ad almeno 6 dei 9 quesiti. La
probabilita che questo avvenga e:
Soluzione: P punteggio >
(
P punteggio >
8) =
=
X0 25 0 07525+0 75
C9;6
:
6
3
:
C9;i
:
0 257 0:752 + C9;8 0:258 0:751 + C9;9 0:259 0:750
C9;7 :
i
:
9
i
' 0 01
:
i=6:::10
Confrontando la risposta a questa domanda con la soluzione dell'esercizio n. 14 si osserva che rinunciando
a rispondere ad uno dei 10 quesiti aumenta la probabilita di superare il test. Questo puo sembrare
controintuitivo, dal momento che il punteggio attribuito ad una risposta corretta e doppio rispetto alla
penalita attribuita ad una risposta errata, ma la probabilita di sbagliare e il triplo della probabilita di
rispondere correttamente per caso.
Se si rinunciasse a rispondere a due quesiti su 10 la probabilita di superare il test tornerebbe a scendere,
portandosi a circa 0.0042. Dovendo rispondere a caso, la scelta migliore e quindi quella di rispondere a 9
quesiti su 10.
17 Si consideri un quesito a risposta multipla con 4 possibili risposte di cui si ignora quante siano quelle
corrette (potrebbero anche essere tutte corrette o tutte errate). Rispondere al quesito signica indicare
accanto ad ogni risposta se e vera (V ) o falsa (F ). Qual e la probabilita di rispondere esattamente al
quesito rispondendo a caso?
p=1/16
In questo caso per rispondere al quesito occorre associare uno dei due simboli (V e F ) ad ognuna delle 4
risposte disponibili. Il numero di possibili soluzioni e pari a quello delle disposizioni con ripetizione di 2
elementi a gruppi di 4: D20 ;4 . Di queste solo una e quella esatta, la cui probabilita e quindi:
Solunzione:
p
= 1=D20 ;4 = 1=24 = 1=16
Confrontando questa risposta con quelle degli esercizi precedenti si nota che la probabilita di rispondere
esattamente ad un quesito a risposta chiusa e molto piu bassa se si ignora il numero di risposte corrette.