Fasci di curve - Elisa Garagnani

Fasci di curve
Prof.ssa Elisa Garagnani
ISIS Archimede, San Giovanni in Persiceto (BO)
Famiglie di curve
Abbiamo già osservato che, se in un’equazione compaiono coefficienti non numerici ma letterali, detti parametri, l’equazione stessa rappresenta non una sola curva, una sola funzione,
un solo grafico, bensì infinite curve, cioè una famiglia di curve. Per esempio, l’equazione
2x − 3y + 1 = 0 rappresenta una retta, mentre l’equazione 2kx − 3y + 1 = 0 rappresenta una
famiglia di rette, tutte quelle che si ottengono assegnando al parametro k dei valori reali.
Ad esempio, la retta di equazione 2x − 3y + 1 = 0 appartiene a questa famiglia perché la si
ottiene per k = 1.
Analogamente i parametri potrebbero essere più di uno e variare indipendentemente tra
loro, ognuno in un certo insieme di valori reali. Ad esempio l’equazione 2kx − 3y + h = 0
rappresenta tutte le rette che si ottengono assegnando ai parametri h e k dei valori numerici.
Ad esempio per h = 7 e k = −2 otterremmo l’equazione:
2(−2)x − 3y + 7 = 0
→
−4x − 3y + 7 = 0.
Quesito. La famiglia di rette di equazione 2hx − y = 1 è un sottinsieme della famiglia di
equazione 2hx − ky = 1. Quante rette vi sono in più nella seconda famiglia rispetto alla
prima?
Al variare del parametro (o eventualmente dei parametri) che compare nell’equazione
di una famiglia di curve, si possono analizzare e osservare le caratteristiche geometriche e
analitiche che accomunano tutte le curve della stessa famiglia. Ad esempio la famiglia di
rette di equazione x + y + k = 0 ha la proprietà di contenere rette tra loro parallele.
Vi sono alcune famiglie di curve che hanno caratteristiche particolari e che studieremo
più in dettaglio...
Fasci di curve
Definizione. Si chiama fascio di curve una famiglia di curve ottenuta da due curve particolari, dette generatrici, mediante combinazione lineare delle loro equazioni in forma implicita.
Cioè se consideriamo due curve:
γ1 di equazione f1 (x; y) = 0
γ2 di equazione f2 (x; y) = 0,
si chiama fascio di generatrici γ1 e γ2 l’insieme di curve di equazione quella che si ottiene
sommando tra loro le due equazioni, ciascuna moltiplicata per un parametro di primo grado:
αf1 (x; y) + βf2 (x; y) = 0
dove α e β sono due numeri reali. Al variare di α e β si ottengono infinite curve.
Osservazione. Osserviamo esplicitamente che le generatrici sono due curve appartenenti al
fascio. Infatti si ottiene γ1 per β = 0 e si ottiene γ2 per α = 0.
Siccome però lavorare con due parametri è complicato si preferisce scrivere il fascio in
modo diverso. Posto ad esempio α 6= 0 si può dividere per esso, ottenendo l’equazione:
f1 (x; y) +
β
f2 (x; y) = 0
α
1
e, posto k =
β
α,
f1 (x; y) + kf2 (x; y) = 0
Questa seconda espressione del fascio presenta il vantaggio di essere scritto con l’ausilio di
un unico parametro, però nella vita le comodità costano ed il prezzo da pagare è quello di
non comprendere più la seconda generatrice γ2 , che si otteneva per α = 0.
Dunque il fascio di equazione f1 (x; y) + kf2 (x; y) = 0 contiene tutte le curve generate da
γ1 e γ2 , tranne γ2 , che chiameremo generatrice esclusa. Riassumendo:
Osservazione. Le due forme αf1 (x; y) + βf2 (x; y) = 0 e f1 (x; y) + kf2 (x; y) = 0 di una combinazione lineare differiscono dunque solo per un’unica curva. Ciò significa che nella rappresentazione di un fascio tramite un unico parametro rimane esclusa una delle due generatrici,
che perciò bisogna ricordarsi di considerare a parte.
Come riconoscere le generatrici di un fascio?
Esempio. Trovare le generatrici del fascio di equazione x2 + (k − 1)x + (3 − k)y − 2k = 0.
Svolgimento. L’equazione rappresenta in effetti un fascio in quanto il parametro k compare
solo di primo grado. Mettiamo in evidenza le equazioni delle generatrici raccogliendo k:
x2 +kx−x+3y−ky−2k = 0 → x2 −x+3y+kx−ky−2k = 0 → x2 −x+3y+k(x−y−2) = 0.
Abbiamo così ottenuto un’equazione del tipo f1 (x; y) + kf2 (x; y) = 0. Le generatrici hanno,
quindi, equazioni:
x2 − x + 3y = 0 e
x − y − 2 = 0.
1
1
La prima rappresenta una parabola di equazione in forma esplicita y = − x2 + , e la si
3
3
ottiene per k = 0, mentre la seconda generatrice è una retta ed è la generatrice esclusa (cioè
quella che non si ottiene per nessun valore del parametro),
Vediamo ora le caratteristiche di un fascio.
Punti base di un fascio
La prima caratteristica di un fascio è che, se un punto P è comune alle due generatrici, lo è
anche a tutte le curve del fascio. Vale, in altre parole, il seguente teorema:
Teorema. Tutte le curve di un fascio passano per gli eventuali punti comuni alle due
generatrici. Tali punti sono detti punti base del fascio.
Dimostrazione. Supponiamo che entrambe le generatrici passino per uno stesso punto P0
di coordinate (x0 ; y0 ). Queste coordinate devono soddisfare le equazioni di entrambe le
generatrici, cioè f1 (x0 ; y0 ) = 0 e f2 (x0 ; y0 ) = 0. Ma allora anche una qualunque curva
del fascio di equazione f1 (x; y) + kf2 (x; y) = 0 passa per P0 , perché, se sostituiamo le sue
coordinate alla x e alla y del fascio otteniamo f1 (x0 ; y0 ) + kf2 (x0 ; y0 ) = 0 + k0 = 0. Quindi
le coordinate del punto soddisfano anche l’equazione del fascio.
Viceversa:
Teorema. Se due curve del fascio hanno un punto in comune, allora anche le generatrici
del fascio passano per quel punto.
Dimostrazione. Supponiamo che esistano due curve distinte del fascio entrambe passanti
per un certo punto P (x0 ; y0 ).
Essendo queste ultime curve del fascio, esse si otterranno per differenti valori assegnati al
parametro. Indichiamoli rispettivamente con k1 e k2 . Il passaggio per P , della prima curva,
implica che
f1 (x0 ; y0 ) + k1 f2 (x0 ; y0 ) = 0
2
e, della seconda curva, che
f1 (x0 ; y0 ) + k2 f2 (x0 ; y0 ) = 0.
Sottraendo membro a membro queste equazioni si ottiene (k1 − k2 )f2 (x0 ; y0 ) = 0. Per la
legge di annullamento del prodotto deve essere
k1 − k2 = 0
∨
f2 (x0 ; y0 ) = 0.
Ma se si annullasse il primo fattore vorrebbe dire che k1 = k2 , che non è possibile altrimenti
le due curve coinciderebbero 1 .
Dunque, poiché k1 − k2 6= 0, deve risultare nullo il secondo fattore: f2 (x0 ; y0 ) = 0,
cioè il punto P appartiene necessariamente anche alla seconda generatrice. Sostituendo la
condizione trovata ad una delle equazioni iniziali si ricava che deve anche essere f1 (x0 ; y0 ) = 0,
cioè P sta anche sulla prima generatrice.
Come immediata conseguenza si ha il seguente corollario.
Corollario. Se le generatrici non hanno punti in comune, nessuna curva del fascio può
averne.
Potremmo riassumere dicendo che la combinazione lineare mantiene le intersezioni tra le
curve, cioè le curve del fascio si intersecano in tutti e soli i punti base. È proprio questo fatto
a motivare il particolare interesse delle famiglie che vengono chiamate fasci!
Come si trovano i punti base di un fascio?
Esempio. Dato il fascio di curve di equazione: x2 +(k −1)x+(3−k)y −2k = 0, determinarne
i punti base.
Svolgimento. Abbiamo dimostrato che i punti base sono i punti di intersezione tra due curve
qualsiasi del fascio. Basta quindi risolvere il sistema formato dall’equazione di due distinte
curve del fascio. Solitamente si intersecano le generatrici.
Per prima cosa determiniamo le generatrici, che si ottengono come abbiamo già visto
sviluppando tutti i calcoli e raccogliendo il parametro (fatto nell’esempio precedente):
x2 − x + 3y = 0 e
x − y − 2 = 0.
Le due generatrici sono quindi una retta ed una parabola. Intersecandole:
(
(
x−y−2=0
y =x−2
→
2
x − x + 3y = 0
x2 − x + 3(x − 2) = 0
le cui soluzioni sono A(−1 −
√
7; −3 −
√
7) e B(−1 +
√
7; −3 +
√
7).
Fasci di rette
Osservazione. Se le due generatrici sono rette, il fascio che si ottiene contiene solo rette.
Infatti ogni combinazione lineare di polinomi di primo grado in x e y è ancora un polinomio
con le stesse caratteristiche.
Per quanto riguarda i fasci di rette si possono presentare due casi:
• Se le due generatrici sono incidenti, cioè si incontrano in un punto (punto base) tutte le
rette del fascio passano per tale punto e il fascio si dice proprio ed il punto base viene
anche chiamato centro del fascio.
• Se le generatrici sono parallele, tutte le rette del fascio sono parallele e il fascio si dice
improprio.
1 È proprio in questo passaggio che risulta fondamentale l’appartenenza ad un fascio e non ad una generica
famiglia parametrica di curve. Infatti se considerassimo parametri non più solo di primo grado, come ad
esempio nella famiglia di curve hf1 (x; y) + k2 f2 (x; y) = 0, arriveremmo ad un fattore del tipo k12 − k22 che
potrebbe anche annullarsi per curve differenti (basta assegnare a k valori opposti!).
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Come si può capire se un fascio di rette è proprio o improprio?
Per capire se il fascio di rette è proprio o improprio occorre controllare i coefficienti angolari
delle due generatrici oppure calcolare il coefficiente angolare della generica retta del fascio:
se esso dipende dal parametro al variare di questo il coefficiente angolare cambierà e le rette
non saranno parallele tra loro. Si tratterà allora di un fascio proprio.
Esempio. Stabilire se i seguenti fasci di rette sono propri o impropri.
(1)
3(k − 1)x + 5ky − 2k + 1 = 0
(2)
(2 − 4k)x − (2k − 1)y − 1 = 0
Applicazioni dei fasci
Arrivati qui non abbiamo ancora risposto alla fatidica domanda: ma a cosa servono i fasci?
Una delle prime applicazioni che vi mostro è relativa allo svolgimento di un esercizio
che sapete già risolvere... Ma se lo sappiamo già risolvere, a cosa servono i fasci? Giusta
obiezione... Risposta: vediamo un metodo alternativo che ci permetterà di fare meno calcoli
(e già vi vedo più sorridenti) e soprattutto offre uno svolgimento più elegante... iniziate
ad abituarvi: ai matematici piace trovare sempre la soluzione più elegante e più bella, non
sempre i matematici si accontentano di un contenuto corretto ma ricercano anche la forma
più elegante... e la vostra insegnante la pensa così. Vediamo...
Esempio. Trova l’equazione della retta passante per il punto A(1; 2) e per il punto di
incidenza delle rette di equazione y = −x − 1 e 3x − 2y − 1 = 0.
Svolgimento. Senza utilizzare i fasci, si potrebbe calcolare le coordinate del punto B di
intersezione delle due rette (mettendole a sistema) e poi trovare l’equazione della retta AB...
a voi i noiosi calcoli...
Metodo alternativo. Potremmo ripensare il problema in questi termini equivalenti: tra
tutte le rette del fascio proprio generato dalle rette di equazione y = −x − 1 e 3x − 2y − 1 = 0,
trovare quella che passa per A(1; 2).
Come si procede? Scriviamo l’equazione del fascio, dopo aver riscritto la prima retta in
forma implicita:
x + y + 1 + k(3x − 2y − 1) = 0.
Per comodità utilizziamo un solo parametro, però nella consapevolezza che sto escludendo dal
fascio la generatrice 3x − 2y − 1 = 0! E se fosse proprio questa la retta che stiamo cercando?
Controllo! Sostituendo le coordinate di A all’equazione della retta esclusa mi accorgo che
non è quella cercata.
Rimane ora da determinare il valore del parametro k della retta che sto cercando. Impongo
dunqe il passaggio per il punto A sostituendo alla x e alla y del fascio le coordinate di A.
1 + 2 + 1 + k(3 − 2 · 2 − 1) = 0
→
4 − 2k = 0
→
k = 2.
L’equazione della retta cercata la si trova in corrispondenza di tale valore che sostituiremo
all’equazione del fascio:
x + y + 1 + 2(3x − 2y − 1) = 0
→
7x − 3y − 1 = 0.
... in pochi passaggi abbiamo trovato la risposta!
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