FM - Relatività Ristretta - Dai postulati alle - IIS Severi
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FM - Relatività Ristretta - Dai postulati alle - IIS Severi
La Relatività Ristretta Dai postulati alle trasformazioni di Lorentz Liceo Scientifico “F. Severi” - Milano Alcune premesse • La teoria si occupa solo dei sistemi di riferimento inerziali, cioè quei sistemi in cui è verificato il principio di inerzia • Il fallimento dell’esperimento di Michelson e Morley sembra suggerire che la propagazione della luce avvenga a velocità costante per osservatori inerziali diversi • Ciò è in contraddizione con le leggi di trasformazione di Galileo I postulati della teoria • Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (Principio di Relatività) • La velocità della luce nel vuoto è costante, indipendentemente dalla velocità della sorgente luminosa o dell’osservatore Concentriamoci sugli eventi localizzati lungo l’asse x. Un evento siffatto è rappresentato nel sistema K dall’ascissa x e dal tempo t, nel sistema K’ dall’ascissa x’ e dal tempo t’ Scopo di questa presentazione è determinare le equazioni che esprimono le coordinate x’ e t’ in funzione delle coordinate x e t Segnali di luce Un segnale luminoso, che procede nel verso positivo dell’asse x del sistema K, si propaga secondo l’equazione x=ct, oppure: x−ct=0 Lo stesso segnale luminoso, per il postulato della costanza della velocità della luce, deve propagarsi anche rispetto a K’ con la velocità c, secondo una formula analoga: x’−ct’=0 Un po’ di matematica ... I punti spazio-temporali (eventi) devono soddisfare contemporaneamente le due equazioni evidenziate, per cui: x’−ct’=𝜆(x−ct) Applicando lo stesso ragionamento a un segnale luminoso che si propaga nel verso negativo di x e x’, otteniamo la condizione: x’+ct’=μ(x+ct) ... ancora un po’ di matematica ... Sommando e sottraendo le ultime due equazioni otteniamo: 2x’=(𝜆+μ)x− (𝜆−μ) ct −2ct’=(𝜆−μ)x− (𝜆+μ) ct Ora definiamo le costanti a e b nel modo riportato qui sotto e scriviamo il sistema di equazioni risultante: a= b= +µ 2 µ 2 ⇢ x0 = ax ct0 = act bct bx [1] ... ancora un po’ e poi basta ... [1] ⇢ x0 = ax ct0 = act bct bx Certo, se conoscessimo i valori di a e b avremmo già risolto il problema. Ora ci arriviamo, ancora un po’ di pazienza! L’origine di K’ ha permanentemente coordinata x’=0. Pertanto, secondo la prima delle equazioni del sistema [1], avremo: bc x= t a Sappiamo anche che la velocità con cui l’origine di K’ si muove rispetto a K (velocità relativa dei sistemi) è v: bc v= a [2] E il Principio di Relatività? Se osservata dal sistema K, la lunghezza di un regolo-campione in quiete nel sistema K’ deve essere esattamente identica alla lunghezza, giudicata da K’, di un regolo-campione in quiete nel sistema K Per vedere come appaiono i punti dell’asse x’ visti da K, dobbiamo soltanto prendere “una istantanea” di K’ da K; ciò significa che dobbiamo assegnare a t (tempo di K) un valore particolare, per esempio t=0. Per questo valore di t otteniamo allora dalla prima delle equazioni [1]: x’=ax Due punti dell’asse x’ che, se misurati nel sistema K’ hanno tra loro la distanza Δx’=1, avranno dunque nella nostra fotografia istantanea la distanza: 1 x= a [3] Se prendiamo “una istantanea” di K da K’ (con t’=0), eliminiamo t dalle equazioni [1] e teniamo conto della [2]: ✓ 0 2 x =a 1 ◆ v x 2 c Da ciò concludiamo che due punti situati sull’asse x separati dalla distanza 1 (rispetto a K) avranno, nella nostra istantanea, la distanza: [4] 0 ✓ x =a 1 2 v c2 ◆ Ma, da quanto si è detto, le istantanee debbono essere identiche; pertanto Δx nella [3] deve essere uguale a Δx’ nella [4], così: [5] 1 2 a = 1 v2 c2 Le equazioni [2] e [5] determinano le costanti a e b. Inserendo nelle [1] i valori di queste costanti otteniamo, finalmente: Le trasformazioni di Lorentz 8 x vt 0 p > x = > 2 /c2 ) > 1 (v > > <y 0 = y 0 > z =z > > > t > 0 :t = p 1 v x 2 c (v 2 /c2 ) Bibliografia Il contenuto della presentazione è liberamente tratto dal libro: Albert Einstein RELATIVITÀ: ESPOSIZIONE DIVULGATIVA Universale Scientifica Boringhieri L’edizione originale è del 1916