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Analisi Matematica (Biotecnologie) – 21/02/2011 Cognome e nome: Numero di matricola: Firma: Tempo a disposizione: 2h:30 Punteggi: L’esercizio n. 5 vale 10 punti, tutti gli altri 5 punti Esercizi 1-4 e 8: Scrivere le soluzioni nei riquadri. Non vengono assegnati punteggi parziali. Esercizi 5-7: Per ogni esercizio risolto: riportare il procedimento e la soluzione su un foglio allegato. Possono essere assegnati punteggi parziali ma non vengono assegnati punti se manca il procedimento. Esercizi 9-11: Barrare la risposta corretta. Non vengono assegnati punteggi parziali. Spazio riservato alla commissione. Punti. 1-4. 5-7. 8-11. Totale. 1. Dire quali valori di x ∈ R soddisfano la disequazione 2x 2 −3 ≤ 4x . 2. Scrivere nella forma a + ib il numero complesso 3 + 4i . 5+i 3. Data la funzione f (x) = (x + 1)3 ln(x + 1) , scrivere il suo polinomio di Taylor di grado 2 intorno al punto x0 = 0. 4. Risolvere il seguente problema di Cauchy: 0 y − 6y + 9 = 0 y(1) = 2 . Spazio riservato alla commissione Punti: 1. 2. 3. 4. Tot. 5. Data la funzione r f (x) = x3 , x+1 a) precisare il dominio massimale e discutere il segno; b) dire se è pari o dispari e calcolare i limiti agli estremi del dominio; c) studiare crescenza, decrescenza ed estremi relativi; d) sapendo che f 00 ha lo stesso dominio di f 0 e che f 00 è sempre positiva nel suo dominio, tracciare il grafico y = f (x). 6. Una sostanza radioattiva ha decadimento esponenziale e il suo tempo di dimezzamento è 3 465 anni. Calcolare la percentuale di sostanza ancora presente dopo 1 505 anni. 7. Rappresentare in scala semilogy (in base 10) i grafici delle seguenti funzioni: y = 103x y = 100 · 103x. Dire inoltre qual è la funzione y = f (x) il cui grafico in scala semilogy (in base 10) è la retta z = 2 − 3x. Spazio riservato alla commissione Punti: 5. 6. 7. Tot. 8. Siano A una soluzione all’8% e B una soluzione al 15%. Qual è il rapporto fra il numero `B di litri di B e il numero `A di litri di A che si devono mescolare per ottenere una soluzione al 10%? (cioè: calcolare k = `B /`A) Z 9. L’integrale indefinito 0 1 1 dx (1 − x)1/2 a diverge b è uguale a 1 d nessuna delle precedenti. c è uguale a 2 ex 10. Siano f (x) = 1 − x e g(x) = . Dire quali delle seguenti x affermazioni è corretta: a c lim g(f (x)) = −∞ b lim g(f (x)) = −∞ d x→+∞ x→−∞ lim g(f (x)) = 0 x→+∞ lim g(f (x)) = 0. x→−∞ 11. Sia f : [a, b] → R una funzione reale continua in [a, b] e derivabile in (a, b) tale che f (a) < 0 e f (b) > 0. Allora a b c d ha minimo assoluto in x = a e massimo assoluto in x = b esiste c ∈ [a, b] tale che f 0(c) = 0 f 0 è sempre positiva nessuna delle precedenti. Spazio riservato alla commissione Punti: 8. 9. 10. 11. Tot.