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Analisi Matematica (Biotecnologie) – 28/02/2012
Cognome e nome:
Numero di matricola:
Anno di Corso: 1o 2o 3o oltre
Presenze ai Laboratori: 08/11 15/11 22/11 29/11 06/12
Firma:
Tempo a disposizione: 2h:30
Punteggi: L’esercizio n. 5 vale 10 punti, tutti gli altri 5 punti
Esercizi 1-4 e 8: Scrivere le soluzioni nei riquadri. Non vengono assegnati punteggi parziali.
Esercizi 5-7: Per ogni esercizio risolto: riportare il procedimento e la soluzione su un foglio allegato. Possono essere assegnati punteggi parziali ma non vengono assegnati punti se manca
il procedimento.
Esercizi 9-11: Barrare la risposta corretta. Non vengono assegnati punteggi parziali.
Spazio riservato alla commissione.
Punti. 1-4.
5-7.
8-11.
Totale.
1. Ricordando che, se z è un numero complesso, z z̄ è un numero
reale, scrivere nella forma a + ib il numero complesso
100 + 225i
4 − 3i
2. Dire quali valori di x ∈ R soddisfano la disequazione
e2x
2 −3x
<
1
.
e
3. Sia
2
f (x) = 2(x + 1)e2x , x ∈ R.
Calcolare (f −1)0(0).
4. Risolvere il seguente problema di Cauchy:
0
y (x) − 6y(x) + 9 = 0
y(0) = 0 .
Spazio riservato alla commissione
Punti:
1.
2.
3.
4.
Tot.
5. Data la funzione
f (x) = x2e−x ,
a) precisare il dominio massimale e discutere il segno;
b) dire se è pari o dispari e calcolare i limiti agli estremi del
dominio;
c) studiare crescenza, decrescenza ed estremi relativi;
d) studiare concavità, convessità e flessi;
e) tracciarne il grafico.
6. In 10 anni una popolazione aumenta del 15%. Sapendo che la
crescita è esponenziale, calcolare il numero degli individui a un
istante iniziale sapendo che il numero di individui dopo 100 anni
è di 10 000 unità.
7. Rappresentare in scala semilogy (in base 10) i grafici delle
seguenti funzioni:
x
1
y = 103x
y=2
.
1000
Dire inoltre qual è la funzione y = f (x) il cui grafico in scala
semilogy (in base 10) è la retta z = −4x + 2.
Spazio riservato alla commissione
Punti:
5.
6.
7.
Tot.
8. Volendo comprare uno Shampoo ed un Balsamo, il negozio A
offre la sequente promozione: Balsamo di Tigre scontato del 30%
a fronte dell’acquisto dello Shampoo Belli Capelli scontato del
20%. Il negozio B offre invece il Balsamo di Tigre scontato del
35% e lo shampoo a prezzo intero. Se il prezzo intero del Balsamo
di Tigre è 3 euro e il prezzo intero dello Shampoo Belli Capelli è
2 euro, calcolare la differenza tra la spesa più alta e la più bassa.
1
Z
2
xe−x dx. Allora 2eI + 1 è uguale a
9. Posto I =
0
a
e
2
b e
c 2e
d nessuna delle precedenti.
10. Sia f una funzione derivabile due volte che ha in π un punto
di massimo assoluto. Allora
a f 00(π) ≥ 0
b f 00(π) ≤ 0
c f 0(π) > 0
d f 00(π) = 0.
11. Sia f una funzione reale continua in [0, +∞). Allora
a
b
c
d
f
f
f
f
ha minimo
è derivabile
è integrabile in (99, 1000)
è limitata in [99, ∞) .
Spazio riservato alla commissione
Punti:
8.
9.
10.
11.
Tot.