4. Limite infinito per x che tende all`infinito

4. Limite infinito per x che tende all’infinito
Esprimiamo ora con rigore la crescita indefinita di una funzione verso valori positivi, quando la variabile
indipendente tende verso valori positivi infinitamente grandi:
Definizione: Sia f (x ) una funzione con dominio illimitato superiormente; si
f (x )
dice che:
M
lim f (x ) = +∞
x →+∞
se:
∀M > 0
∃ kM > 0
tale che se
x > kM
allora:
f (x ) > M
kM
x
e quello di crescita indefinita verso valori positivi, quando la variabile indipendente tende verso valori
negativi infinitamente grandi in valore assoluto:
Definizione: Sia f (x ) una funzione con dominio illimitato inferiormente; si
f (x )
dice che:
M
lim f (x ) = +∞
x →−∞
se:
∀M > 0
∃ kM > 0
tale che se
x < −kM
allora:
f (x ) > M
x
−kM
Analogamente si può esprimere con rigore la decrescita indefinita verso valori sempre più negativi, quando
la variabile indipendente tende verso valori positivi infinitamente grandi:
kM
Definizione: Sia f (x ) una funzione con dominio illimitato superiormente; si
x
dice che:
lim f (x ) = −∞
x →+∞
se:
∀M > 0
∃ kM > 0
tale che se
allora:
f (x ) < −M
x > kM
−M
f (x )
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e quello di decrescita indefinita verso valori sempre più negativi, quando la variabile indipendente tende
verso valori negativi infinitamente grandi in valore assoluto:
x
Definizione: Sia f (x ) una funzione con dominio illimitato inferiormente; si
−kM
dice che:
lim f (x ) = −∞
x →−∞
se:
∀M > 0
∃ kM > 0
tale che se
−M
x < −kM
allora:
f (x )
f (x ) < −M
Esempio
Verificare che:
lim (2x 2 − x ) = +∞
x →+∞
La disuguaglianza 2x 2 − x > M deve essere soddisfatta in un intorno
di +∞ :
2x 2 − x − M > 0
⇒
x=
1 ± 1 + 8M
4
+
−
+
1 − 1 + 8M
1 + 1 + 8M
4
4
Come si vede un intorno di +∞ è sicuramente contenuto all’interno della soluzione, e si ha
1 + 1 + 8M
kM =
,quindi il limite è verificato. In questo caso particolare, la disuguaglianza risulta vera
4
1 − 1 + 8M
, e quindi abbiamo anche dimostrato che
anche in un intorno di −∞ , con −kM =
4
lim (2x 2 − x ) = +∞ .
x →−∞
Ref Tomo C1 pp47-49; es p327 da 77 aa 90
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5. Limite destro e sinistro in un punto
In molti casi la definizione di limite, finito od infinito, in un punto x 0 , non risulta verificata in un intero
intorno di x 0 , ma soltanto in un intorno destro, cioè un insieme della forma (x 0 ; x 0 + δ ) , oppure in un
intorno sinistro, cioè un insieme della forma (x 0 − δ; x 0 ) . Ad esempio la funzione definita a tratti:
2


se x < 0
x
f (x ) = 


2 se x = 1



2
1
tende a 0 quando x si avvicina a 0 da sinistra, mentre non
esiste il limite da destra non essendo possibile l’avvicinamento
da quella direzione.
Analogamente la funzione:
f (x ) =
3x − 1
2x + 3
−32
tende a +∞ quando ci si avvicina a − 3 2 da sinistra, mentre
tende a −∞ quando ci si avvicina a − 3 2 da destra.
In tutti questi casi diremo che esiste il limite destro oppure che esiste il limite sinistro nel punto x 0 .
Definizione: Si dice che:
1) Il limite per x che tende ad x 0 da sinistra è ℓ ,
e si scrive lim− f (x ) = ℓ , se:
x →x 0
∀ε > 0
ℓ
ℓ−ε
∃δε | se x 0 − δε < x < x 0
allora f (x ) − ℓ < ε
x 0 − δε
x0
2) Il limite per x che tende ad x 0 da destra è ℓ ,
e si scrive lim+ f (x ) = ℓ , se:
x →x 0
∀ε > 0
∃δε | se x 0 < x < x 0 + δε
ℓ+ε
ℓ
allora f (x ) − ℓ < ε
x 0 x 0 + δε
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3) Il limite per x che tende ad x 0 da sinistra è
+∞ (oppure − ∞) , e si scrive
lim f (x ) = +∞ (−∞) , se:
x 0 x 0 + δM
x →x 0−
∀M > 0
∃δM | se x 0 − δM < x < x 0
allora f (x ) > M (f (x ) < −M )
−M
M
4) Il limite per x che tende ad x 0 da destra è
+∞ (oppure − ∞) , e si scrive
lim f (x ) = +∞ (−∞) , se:
x →x 0+
∀M > 0
x 0 − δM
x0
∃δM | se x 0 < x < x 0 + δM
allora f (x ) > M (f (x ) < −M )
Esempio
y = ln x
Verificare che:
← 0+
lim ln x = −∞
x →0+
0
1
Come si evince anche dal grafico, il limite della funzione logaritmo naturale non
esiste avvicinandosi a zero da sinistra, essendo il suo dominio solo l’insieme dei
reali positivi. La verifica consiste nel dimostrare che la disequazione ln x < −M è
soddisfatta in un intorno destro di 0 . Procediamo sfruttando l’identità a = ln ea :
ln x < −M
⇒
ln x < ln e −M
passiamo dai logaritmi ai numeri mantenendo il verso della disequazione, dato che la base del logaritmo è
maggiore di 1 :
x < e −M
d’altronde il domino della funzione è ℝ +0 : facendo l’intersezione con la soluzione trovata abbiamo:
0 < x < e −M
che come si vede è proprio un intorno destro di 0 , con δM = e −M
Tomo C1 pp 42-44; es p325 da 47 a 60
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