è una sunzione positiva e decrescente allora f(k) converge ⇒ f(t)dt

soluzioni V prova scritta: test A.
1. Sia (xn ) la successione denita per ricorrenza da
xn+1 = x2n − 2xn + 2
x0 = 3/2
Allora
lim xn = 1
n→+∞
2.
3x + 1
= 3.
lim √
x→+∞
2 + x2
3.
1
1
−
= −2/3.
2
x→0 x
arctan2 x
lim
4.
Z
+∞
−∞
x2
dx
= π/4
− 6x + 25
5. Criterio del confronto integrale (per la convergenza di serie numeriche).
Se f : [1, +∞[→ R è una sunzione positiva e decrescente allora
+∞
X
k=0
f (k) converge
Z
+∞
⇐⇒
f (t)dt converge .
k=0
6. Le soluzioni dell'equazione u00 − 6u0 + 9u = 0 sono le funzioni del tipo
u(t) = (a + bt)e3t , con a, b ∈ R.
Soluzioni V prova scritta: test B.
1. Sia (xn ) la successione denita per ricorrenza da
xn+1 = 4xn − x2n − 2
x0 = 3/2
Allora limn→+∞ xn = 2.
2.
2x + 1
lim √
=2
3 + x2
x→+∞
.
3.
1
1
−
= −1/3
2
x→0 x
sin2 x
lim
.
4.
Z
+∞
−∞
x2
dx
= π/3
− 8x + 25
5. Criterio di Leibnitz per la convergenza di serie a termini alterni.
Se an è una successione decrescente
ed infinitesima allora la
P+∞
n
serie a termini alterni
n=0 (−1) an è convergente.
6. Le soluzioni dell'equazione u00 + 4u0 + 4u = 0 sono le funzioni della
forma u(t) = (a + bt)e−2t con a, b ∈ R.