La parabola - TED

La parabola
In figura è tracciato il grafico di una parabola con asse di simmetria verticale. Si vede subito dal
grafico che:
• la curva è simmetrica rispetto al suo asse di simmetria
• il suo punto più in basso♣ è il vertice
• il vertice è posto esattamente a mezza altezza tra un punto detto fuoco e una retta detta direttrice
• la direttrice e l’asse di simmetria sono perpendicolari
Una proprietà non evidente ma importantissima racchiusa nel grafico è la seguente:
OGNI PUNTO DELLA PARABOLA È EQUIDISTANTE DAL
FUOCO E DALLA DIRETTRICE
La parabola è definita infatti come luogo di punti in questo modo:
LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE
NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.
♣
nel caso la parabola abbia concavità verso il basso il vertice diventa il punto più in alto
La Parabola pag.1
Equazione della parabola
y
P (x ; y)
PF = PH
F (h ; k)
direttrice: y = d
H
x
O
Nella figura qui sopra:
• P (x ; y) è un punto qualsiasi della parabola
• F (h ; k) è il fuoco (h e k sono le sue coordinate)
• y = d è l’equazione della direttrice ( d è l’altezza cui si trova la direttrice)
• i parametri k e d sono diversi tra loro perché il fuoco non deve stare sulla direttrice, quindi
abbiamo che k ≠ d ovverosia k − d ≠ 0
• H è il punto della direttrice che ne dà la distanza dal punto P
• la condizione di equidistanza ci dice che PF = PH
Quel che faremo ora è ricavare l’equazione della parabola, espressa come y = f ( x ) , a partire da
queste proprietà.
PF =
PF = PH
( x − h )2 + ( y − k )2
implica dunque che
( x − h ) 2 + ( y − k )2
PH = y − d
♣
= y−d
Per eliminare sia la radice che il valore assoluto eleviamo al quadrato da entrambe le parti e otteniamo così:
( x − h )2 + ( y − k )2 = ( y − d )2
x 2 − 2hx + h 2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2
x 2 − 2hx + h 2 + k 2 − d 2 = 2ky − 2dy
x 2 − 2hx + h 2 + k 2 − d 2 = 2 y (k − d )
Possiamo ora dividere per 2(k − d ) ricavando y e ottenendo infine:
y=
♣
1
h
h2 + k 2 − d 2
x2 −
x+
(k − d )
2(k − d )
2(k − d )
y − d è il valore assoluto di y − d
La Parabola pag.2
L’equazione ottenuta sembra molto complicata, riscriviamola:
y=
1
h
h2 + k 2 − d 2
x2 −
x+
(k − d )
2(k − d )
2(k − d )
Possiamo renderla più semplice sostituendo i parametri h , k , d con tre nuovi parametri a , b , c definiti nel modo seguente:
a=
1
2(k − d )
b=−
h
k −d
c=
h2 + k 2 − d 2
2(k − d )
In questo modo otteniamo :
l’equazione standard della parabola
y = ax 2 + bx + c
•
I parametri a , b , c sono calcolati dai parametri h , k , d forniti dal fuoco e dalla direttrice.
•
In particolare a ≠ 0 assicura che l’equazione di una parabola è sempre di 2° grado.
…………………………………………………………………………………………………………
Da fuoco e direttrice all’equazione
Utilizzando le formule di sostituzione (che NON vanno ricordate a memoria) siamo già in grado di
risolvere un problema di questo tipo:
scrivere l’equazione di una parabola partendo dalla conoscenza di fuoco e direttrice.
Risolviamo questo problema per la parabola il cui grafico era riportato all’inizio di pag.1.
Dal disegno qui a fianco si determinano facilmente le coordinate del fuoco F e l’equazione
della direttrice d, quindi i tre parametri h, k, d
Il fuoco è F (3 ; -1) quindi h = 3 e k = −1
La direttrice ha equazione
y = −3 quindi d = −3
La Parabola pag.3
L’equazione standard della parabola è y = ax 2 + bx + c
Dato che conosciamo h, k, d possiamo calcolare tramite le formule di sostituzione i valori dei tre parametri a, b, c e sostituirli infine nell’equazione standard.
1
1
1
a=
=
=
2(k − d ) 2(− 1 + 3) 4
b=−
h
3
3
=−
=−
k −d
−1+ 3
2
Abbiamo quindi calcolato i tre parametri:
a=
1
4
L’equazione della nostra parabola sarà: y =
b=−
3
2
c=
c=
h2 + k 2 − d 2 9 + 1 − 9 1
=
=
2(k − d )
2(− 1 + 3) 4
1
4
1 2 3
1
x − x+
4
2
4
È istruttivo costruire una tabella di valori x, y e confrontare le coordinate dei punti ottenuti da tale
tabella con quelli riportati nel grafico.
A tale scopo assegniamo a x i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e calcoliamo i corrispondenti valori di y :
x=0
y=
1
3
1 1
⋅0 − ⋅0 + =
4
2
4 4
 1
ossia il punto A 0 ; 
 4
x =1
y=
1
3
1 1 3 1 1− 6 +1
= −1
⋅1 − ⋅1 + = − + =
4
2
4 4 2 4
4
ossia il punto B (1 ; − 1)
x=2
y=
1
3
1
1
7
⋅4 − ⋅2 + =1− 3+ = −
4
2
4
4
4
7

ossia il punto C  2 ; − 
4

x=3
y=
1
3
1 9 9 1 9 − 18 + 1
= −2
⋅9 − ⋅3+ = − + =
4
2
4 4 2 4
4
ossia il punto V (3 ; − 2 )
x=4
y=
1
3
1
1
7
⋅ 16 − ⋅ 4 + = 4 − 6 + = −
4
2
4
4
4

ossia il punto C'  4 ; −

x=5
y=
1
3
1 25 15 1 25 − 30 + 1
= −1
⋅ 25 − ⋅ 5 + =
− + =
4
2
4 4
2 4
4
ossia il punto B' (5 ; − 1)
x=6
y=
1
3
1
1 1
⋅ 36 − ⋅ 6 + = 9 − 9 + =
4
2
4
4 4
 1
ossia il punto A'  6 ; 
 4
7

4
Posizionate i punti nel grafico e notate la loro simmetria .
La Parabola pag.4
Formule importanti per le posizioni di fuoco e direttrice
La conoscenza dell’equazione di una parabola comporta il conoscere potenzialmente tutte le sue
proprietà, quindi anche la posizione del fuoco e della direttrice. Dal punto di vista dei calcoli questo
significa calcolare i valori dei parametri h, k, d ricavandoli dalla conoscenza dei parametri a, b, c.
Le formule di sostituzione (da NON memorizzare) :
1
a=
2(k − d )
h
b=−
k −d
h2 + k 2 − d 2
c=
2(k − d )
costituiscono un sistema di tre equazioni in cui le tre incognite sono ora h, k, d.
Risolvendo tale sistema con calcoli molto laboriosi, che omettiamo, otterremo le formule che ci servono:
b
h=−
2a
1− ∆
k=
4a
−1− ∆
d=
4a
In queste formule ∆ = b 2 − 4ac è l’usuale discriminante dell’equazione di 2° grado.
…………………………………………………………………………………………………………
DA MEMORIZZARE
• Equazione standard parabola:
• Coordinate del fuoco F:
• Equazione della direttrice d :
y = ax 2 + bx + c
 b 1− ∆ 
;
F−

 2a 4a 
−1− ∆
y=
4a
…………………………………………………………………………………………………………
La Parabola pag.5
Siamo ora in grado di risolvere il problema inverso al precedente e cioè partendo
dall’equazione della parabola ricavare la posizione di fuoco e direttrice.
Utilizziamo la stessa parabola del problema precedente, che aveva equazione: y =
Abbiamo quindi:
a=
1
4
b=−
3
2
c=
1 2 3
1
x − x+
4
2
4
♣
1
4
•
Calcoliamo l’ascissa del fuoco:
3
3
−
b
3
xF = −
= − 2 = + 2 = ⋅2=3
1
1 2
2a
2⋅
4
2
• Calcoliamo l’ordinata del fuoco:
9
1 1
9 1
1− + 4⋅ ⋅
1− +
2
1 − ∆ 1 − b + 4ac
4
4 4=
4 4 = 4 − 9 + 1 = −1
yF =
=
=
1
4a
4a
1
4
4⋅
4
Quindi il fuoco è:
•
F (3 ; − 1)
Ricaviamo l’equazione della direttrice:
9
1 1
9 1
−1− + 4⋅ ⋅
−1− +
− 1 − ∆ − 1 − b 2 + 4ac
4
4 4=
4 4 = − 4 − 9 + 1 = −3
y=
=
=
1
4a
4a
1
4
4⋅
4
Quindi l’equazione della direttrice è:
y = −3
…………………………………………………………………………………………………………
♣
Per tale parabola conosciamo già fuoco e direttrice; il ritrovare gli stessi valori sarà una conferma che le formule che
stiamo usando sono corrette.
La Parabola pag.6
Asse di simmetria e vertice della parabola
•
L’equazione dell’asse di simmetria della parabola è molto semplice. Si tratta della retta
verticale che passa per il fuoco F e dunque la sua equazione sarà data da :
x = xF
•
x=−
b
2a
L’ascissa del vertice è la stessa del fuoco e quindi
xV = −
•
e quindi
b
2a
L’ordinata del vertice è la media aritmetica tra l’ordinata del fuoco e l’altezza della diret-
trice, avremo quindi:
yV =
1
(k + d ) = 1 ⋅  1 − ∆ + − 1 − ∆  = 1 ⋅  1 − ∆ − 1 − ∆  = 1 ⋅  − 2∆  = − ∆
2
2  4a
4a  2 
4a
4a
 2  4a 
yV = −
∆
4a
• Coordinate del vertice V:
• Equazione dell’asse di simmetria:
∆
 b
V−
;− 
4a 
 2a
b
x=−
2a
…………………………………………………………………………………………………………
Come esercizio lo studente diligente calcoli le coordinate del vertice per la parabola del problema
1
3
1
precedente, la cui equazione era y = x 2 − x + .
4
2
4
La Parabola pag.7
PAGINA RIASSUNTIVA SULLA PARABOLA CON ASSE VERTICALE
• Equazione standard parabola:
• Coordinate del vertice V:
• Equazione dell’asse di simmetria:
• Coordinate del fuoco F:
• Equazione della direttrice d :
y = ax 2 + bx + c
∆
 b
V−
;− 
4a 
 2a
x=−
b
2a
 b 1− ∆ 
F−
;

 2a 4a 
−1− ∆
y=
4a
La Parabola pag.8