La parabola
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La parabola
La parabola La parabola è una conica ed è anche il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice che non lo contiene. N.B. Il fuoco e la direttrice non appartengono al luogo geometrico Parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate Equazione canonica y Vertice P(x,y) Asse di simmetria Fuoco Fuoco Asse di simmetria x Vertice Direttrice Direttrice H a>0 y = ax 2 + bx + c b 4ac − b 2 V ≡ − , 4a 2a b 4ac − b 2 + 1 , F ≡ − 4a 2a b x=− 2a 4ac − b 2 − 1 y= 4a Casi particolari a<0 y = ax2 + bx c=0 y = ax2 b=c=0 y = ax2 + c b=0 Tangenti alla parabola uscenti da un punto P( x0 , y0 ) 1) Se il punto P(x0 , y0 ) appartiene alla parabola y = ax2 + bx + c allora in P esistono due tangenti coincidenti (oppure una tangente doppia) e il coefficiente angolare si calcola con la seguente formula: m = 2ax0 + b Esempio: y = x2 - 5x Dati: P(1, -4) coefficiente della tangente (retta che passa per un punto e con un certo coefficiente angolare) m = 2ax0 + b = 2 * 1*1 - 5 = -3 equazione della tangente: y = -3 x - 1 y + 4 = -3 * (x - 1) 2) Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla parabola y = ax2 + bx + c, ma è esterno ad esse, allora in P esistono due tangenti distinte e per la ricerca dei loro coefficienti angolari si deve applicare la condizione di tangenza tra il fascio di rette per P e la parabola: Esempio: y = x2 - 6x + 5 Dati: P(0, -5) (fascio di rette che passa per P) y + 5 = m * (x) (intersezione tra la parabola e il fascio) y = x 2 − 6x + 5 y = mx − 5 x2 - 6x + 5 = mx - 5 x2 - (m + 6)x + 10 = 0 Condizione di tangenza ∆=0 (m + 6)2 - 4 * 1 * 10 = 0 m = -6 ± 2√10 equazioni delle tangenti: y = (-6 ± 2√10) x - 5 3) Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla parabola y = ax2 + bx + c, ma è interno ad esse, allora in P non esistono tangenti, ma solo secanti. Ricerca dell’equazione della parabola La curva y = ax2 + bx + c dipende dai tre parametri a, b, c, quindi è necessario impostare un sistema in tre equazioni nelle tre incognite a, b, c. Osserva lo schema: La parabola deve soddisfare le condizioni: Passa per tre punti A, B, C dati; Sono dati il vertice V e la direttrice; Sono dati il fuoco F e il vertice V; E’ dato il vertice V e passa per un punto P; Allora si pone: • Si applica la condizione di appartenenza di A, B, C alla curva. • Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa e dell’ordinata del vertice uguagliate al loro valore e l’equazione della direttice uguagliata al suo valore. • Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa del vertice e della direttice uguagliate al loro valore e la condizione di appartenenza del vertice (come punto) alla curva. • Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa e dell’ordinata del vertice e dell’ordinata del fuoco uguagliate al loro valore. • Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa del vertice e dell’ordinata del fuoco uguagliate al loro valore e la condizione di appartenenza del vertice (come punto) alla curva. • Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa e dell’ordinata del vertice uguagliate al loro valore e la condizione di appartenenza del punto alla curva. • Si mettono a sistema l’equazione dell’ascissa del vertice uguagliata al suo valore e le condizioni di appartenenza del vertice e del punto alla curva. • Si applica la condizione di appartenenza alla curva di V, P e di P’, dove P’(-b/a, c) è il simmetrico di P rispetto all’asse di simmetria. Sono dati il fuoco F e la direttrice; È data l’equazione della retta tangente e le <condizione1> e <condizione2>. (N.B. la conoscenza dell’equazione della tangente vale per una condizione) È data l’equazione della retta tangente e le coordinate del punto di contatto P(...,...) inoltre è data la <condizione1>. (N.B. la conoscenza dell’equazione della tangente vale per una condizione e quella delle coordinate del punto di contatto per un’altra condizione) • Si applica la definizione della curva come luogo geometrico. • Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa e dell’ordinata del fuoco uguagliate al loro valore e l’equazione della direttice uguagliata al suo valore. • Prima di impostare il sistema risolvente, si mette a sistema l’equazione data della tangente con l’equazione generica della curva e si impone la condizione di tangenza (nell’equazione parametrica di secondo grado): questa condizione è l’equazione da usare nel sistema risolvente insieme alle <condizione1> e <condizione2>. • La condizione di tangenza, da usare nel sistema risolvente, varia rispetto alla precedente perchè si può usare la formula m = 2ax0 + b, insieme alla condizione di appartenenza di P(...,...) alla curva e alla <condizione1>.