Fuoco e direttrice di una parabola nel caso

Fuoco e direttrice di una parabola nel caso generale
Francesco Daddi
Settembre 2009
Una parabola generica1 può essere scritta nel modo seguente:
k 2 x2 + 2 kxy + y 2 + wx + hy + s = 0
con (kh − w) = 0
(1)
vogliamo determinare le coordinate del fuoco F e l’equazione cartesiana della direttrice d. Sia
F (a ; b) e d : x = m y + q ; poiché la parabola è il luogo dei punti (x ; y) equidistanti da F e da d,
abbiamo:
2
|x
−
m
y
−
q|
|x
−
m
y
−
q|
2
2
√
(x − a)2 + (y − b)2 = √
⇒ (x − a) + (y − b) =
;
1 + m2
1 + m2
moltiplicando tutto per (1 + m2 ) otteniamo:
(1 + m2 )(x2 − 2 a x + a2 + y 2 − 2 b y + b2 ) = x2 − 2 m xy − 2 q x + m2 y 2 + 2 m q y + q 2 ;
portando tutto a sinistra e ordinando ricaviamo:
m2 x2 + 2 m x y + y 2 + (2 q − 2 a − 2 m2 a)x+
+(−2 m q − 2 m2 b − 2 b)y + a2 + m2 a2 + b2 + m2 b2 − q 2 = 0 ;
uguagliando con l’equazione (1) troviamo il seguente sistema nelle incognite a, b, m, q:
⎧ 2
m = k2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2m = 2k
⎪
⎨
2 q − 2 a − 2 m2 a = w
⎪
⎪
⎪
⎪
−2 m q − 2 m2 b − 2 b = h
⎪
⎪
⎪
⎩ 2
a + m2 a2 + b2 + m2 b2 − q 2 = s
da cui
⎧
⎧
m=k
⎪
m
=
k
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
w
⎪
⎪
w
2
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎨ q = 2 + a(1 + k )
⎨ q = + a(1 + k )
2
;
⇒
w
kw + 2ka + 2ak 3 + h
2
2
⎪
⎪
⎪
⎪
+
a(1
+
k
−2
k
)
−
2
b(1
+
k
)
=
h
b=−
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2(1 + k 2)
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2
w
⎪
⎪
⎪
⎩ (1 + k 2 )(a2 + b2 ) −
⎩ (1 + k 2 )(a2 + b2 ) − w + a(1 + k 2 ) = s
+ a(1 + k 2 ) = s
2
2
1
è escluso solo il caso della parabola con asse parallelo all’asse delle y
Fuoco e direttrice di una parabola nel caso generale
- Francesco Daddi
in definitiva, svolgendo i calcoli, si trovano le seguenti soluzioni:
⎧
m=k
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
4sk 2 − h2 + 4s − w 2
⎪
⎪
⎪
q
=
⎪
⎪
4(kh − w)
⎪
⎨
4sk 2 − 2kwh − h2 + 4s + w 2
⎪
a
=
⎪
⎪
4(1 + k 2 )(kh − w)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−4sk 3 − kh2 + kw 2 − 4sk + 2wh
⎪
⎪
⎩ b=
4(1 + k 2 )(kh − w)
.
Esempio 1. Determiniamo il fuoco e la direttrice della parabola seguente:
4 x2 + 4 x y + y 2 − 4 x − 6 y + 1 = 0 .
Ponendo k = 2, w = −4, h = −6, s = 1 nelle formule (2), abbiamo:
a=
quindi risulta:
1
3
; b=
; m=2 ; q=1;
5
5
F
3 1
;
5 5
Figura 1: Il fuoco è F
; d : x = 2y +1 .
3 1
;
5 5
e la direttrice è d : x = 2 y + 1.
2
(2)
Fuoco e direttrice di una parabola nel caso generale
- Francesco Daddi
Esempio 2. Determiniamo il fuoco e la direttrice della parabola seguente:
−3 x2 + 6 xy − 3 y 2 − 9 x + 6 y − 6 = 0 ;
dividiamo tutto per il coefficiente della y 2, cioè per −3:
x2 − 2 xy + y 2 + 3 x − 2 y + 2 = 0 ;
ponendo k = −1, w = 3, h = −2, s = 2 nelle formule (2), abbiamo:
a=−
quindi risulta:
9
1
3
; b=
; m = −1 ; q = − ;
8
8
4
9 1
3
F − ;
; d : x = −y − .
8 8
4
9 1
3
Figura 2: Il fuoco è F − ;
e la direttrice è d : x = −y − .
8 8
4
3
Fuoco e direttrice di una parabola nel caso generale
- Francesco Daddi
Esempio 3. Determiniamo il fuoco e la direttrice della parabola seguente:
x = −y 2 − 2 y + 3 ;
possiamo utilizzare la nota formula oppure è possibile riscrivere l’equazione nella forma (1)
y2 + x + 2 y − 3 = 0
ed applicare le formule (2) con k = 0, w = 1, h = 2, s = −3, trovando:
a=
15
17
; b = −1 ; m = 0 ; q =
;
4
4
quindi risulta:
F
15
; −1
4
Figura 3: Il fuoco è F
; d:x=
15
; −1
4
4
17
.
4
e la direttrice è d : x =
17
.
4