SUI PUNTI REGOLARI NELLE CURVE DI JORDAN

B. KNASTER (Warszawa - Polonia)
SUI PUNTI REGOLARI NELLE CURVE DI JORDAN
Un punto a di una curva E si chiama, secondo K. MENGER (l), regolare,
se esiste in ogni insieme A, aperto rispetto ad E e contenente il punto medesimo, un insieme finito D dividente (2) E fra a ed E—A. Se per ogni tale A
contornante il punto fisso a esiste un D costituito esattamente di n punti, il
punto regolare a viene chiamato di ordine n; altrimenti esso si chiama regolare d'ordine crescente (*).
Gli stessi termini e definizioni si potrebbero enunciare per un continuo E
qualsiasi.
Se tutti i punti di E sono regolari, E è una curva (continuo 1-dimensionale) e
si chiama pure < curva regolare >. Ogni curva regolare è un continuo di JORDAN
(imagine continua del segmento rettilineo).
J
MENGER ha posto (*) e poi risolto ( ) il seguente problema : Se in ogni
curva regolare E, un punto arbitrario a è sempre una estremità
comune
di archi semplici indipendenti
(cioè senz'altri punti comuni) contenuti in E,
il numero di questi archi è uguale ano
infinito, a secondo che il punto a
è di ordine n o crescente; in quest'ultimo
caso il diametro degli archi
tende allo zero.
La risposta al problema è positiva. Rimane da sapere se essa sussiste tale
nel caso generale, cioè supponendo che E sia un qualsiasi continuo di JORDAN.
Sia (31) il teorema di MENGER generalizzato così.
Consideriamo ora il seguente teorema, segnalato nel 1927 dal N. E. RUTT ( 4 ):
Essendo a e b due punti (distinti) di qualsiasi continuo di JORDAN E e n
il massimo numero di archi semplici indipendenti
esistenti in E fra a e b,
esiste in E un insieme D costituito esattamente da n punti e dividente E
fra a e b.
(1) K. MENGER, Grundzuege einer Theorie der Kurven, Math. Ann. 95, p. 277.
(2) Cioè: E—D — M-\-N, M non contiene punti-limiti di N ne N quelli di M, M contiene
a e N contiene
E—A.
(3) K. MENGER, Zur allgemeinen Kurventheorìeì
Fundamenta Mathematicae, X, p. 96.
(4) N. E. RUTT, Bull, of the Amer. Math. Soc. 33 (1927), p. 411 (abstract).
Atti del Congresso.
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COMUNICAZIONI .
Non è pervenuta finora aUa mia conoscenza la dimostrazióne completa (per
gU spazi m ^ 2-dimensionaU) deU'autore del suo teorema, riferito però recentemente dal J. R. KLINE neUa sua interessantissima memoria : « Separation
the&i*ems and their relation to recent developments in Analysis situs » (1).
Il teorema di N. E. RUTT vi è quahficato « un complemento interessante al
risultato di MENGER ».
Mi propongo di dimostrare qui che, precisamente, il teorema (M) risulta
da quello di N. E. RUTT ; la dimostrazione può farsi appunto mediante una
deUe più faciU appUcazioni del procedimento di decomposizioni semi-continue,
trattato neUa precedente comunicazione.
Sia infatti a un punto di un continuo di JORDAN E ed A un contorno aperto
di a, abbastanza piccolo affinchè ogni insieme D dividente E fra a ed E—A
contenga almeno n suoi punti (se un tale A non vi fosse, l'ordine del punto a
sarebbe inferiore ad n). Dimostreremo aUora che:
(P) il punto a è un'estremità co?nune di almeno n archi semplici indipendenti con estremità opposte giacenti sulla frontiera di tale insieme A
e, salvo esse, contenuti in A.
Supponiamo il contrario, cioè che non esista più di k<n tali archi; per altro
c'è da osservare che in ogni caso ne esiste almeno uno, poiché E è un continuo
di JORDAN e contiene in seguito a ciò un arco sempUce fra ogni due suoi punti,
sia fra a ed un punto di E—A: basta dunque prendere la porzione di tale arco
da a fino aUa frontiera di A, ch'esso deve attraversare.
Consideriamo la decomposizione di E in insieme chiuso E—A, preso integralmente, ed in insiemi costituiti da tutti i singoU punti di A. Questa decomposizione di E è semi-continua; inoltre essa trasforma A per omeomorfia.
Indicando b l'elemento deU'iperspazio H che corrisponde a E—A, l'insieme H
è un continuo di JORDAN e contiene, secondo la supposizione nostra, esattamente
k archi indipendenti fra (a) e b poiché le proprietà « continuo di JORDAN » ed
« indipendenza » sono invarianti rispetto aUe decomposizioni semi-continue ed
« arco semplice » è un invariante deU' omeomorfia.
Secondo il teorema di RUTT vi sono dunque in H—((a) + b), cioè pure nell'imagine di A, k<n elementi, il cui insieme divide H fra (a) e b. Pertanto lo
insieme D dei k punti corrispondenti in E divide E fra a ed E—A, essendo
la divisione pure un invariante deU'omeomorfia.
Ciò contradice le ipotesi ammesse da noi su A. La proposizione (P) si trova
quindi dimostrata ; il teorema (M) ne segue quasi immediatamente.
Osserviamo da ultimo che non essendo nel ragionamento nostro la regolarità del punto a in alcun modo presunta dall'ipotesi « almeno di ordine n », la
O Ibid. 34 (1928), p. 155.
B.
KNASTER:
Sui punti
regolari
nelle curve di Jordan
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tesi del teorema (M) rimane vaUda anche per i punti non-regolari di un continuo
di JORDAN E; tuttavia il teorema in generale non si estende oltre i continui
di JORDAN, sia pure sui punti regolari, come lo dimostrano opportuni esempii (*).
(*) Una modificazione (riduzione al singolo punto del primo strato) del continuo irriducibile fra i punti (0, 0) e (1, 0) costruito da me e descritto dal KURATOWSKI, Fund
Math. X, p. 260.