1 Forma di Jordan
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1 Forma di Jordan
1 Forma di Jordan Sia V uno spazio vettoriale complesso a dimensione finita e T : V −→ V un’applicazione lineare. In questa nota vogliamo brevemente spiegare come sia possibile, scegliere una base di V in modo che la matrice associata ad f in tale base sia in una forma particolarmente semplice: la Forma di Jordan. In base a cio’ che abbiamo studiato sulle applicazioni lineari e sulle matrici ad esse associate una volta fissata una base di V , l’affermazione precedente equivale al fatto che ogni matrice a coefficienti complessi e’ simile ad una matrice in forma di Jordan. Vediamo l’enunciato di tale risultato, per la dimostrazione completa si faccia riferimento al testo di Lang “Algebra”. Teorema 1.1. (Teorema di Jordan). Sia A ∈ Mn (C). Allora esiste una matrice invertibile P ∈ Mn (C) (corrispondente al cambio di base) tale che J1 . . . 0 .. P −1AP = ... . 0 . . . Jr ove Ji sono matrici quadrate del tipo: λi 1 . . . 0 .. .. . . λi Ji = . .. 0 1 0 ... λi λ1 . . . λr sono gli autovalori di A (non necessariamente distinti). Le matrici Ji si dicono blocchi di Jordan. Inoltre tale forma e’ unica a meno dell’ordine dei blocchi di Jordan. Corollario 1.2. 1. Siano A, B ∈ Mn (C). B e’ simile ad A se e solo se ha la stessa forma di Jordan (a meno dell’ordine in cui appaiono i blocchi di Jordan). 2. Sia V spazio vettoriale complesso di dimensione n. Se T : V −→ V e’ una applicazione lineare associata ad A in una base fissata (la stessa in dominio e codominio) allora esiste una base B in cui la matrice associata all’applicazione T e’ in forma di Jordan. 1 Non procederemo alla dimostrazione di questo risultato, di cui il corollario e’ una conseguenza abbastanza immediata, ma ci concentreremo invece sul problema concreto di come trovare la forma di Jordan di una matrice data e la matrice P (cambio di base) dell’enunciato del teorema. Esiste un algoritmo preciso per trovare P e la forma di Jordan, ma vogliamo capire prima con alcune osservazioni e qualche esempio come si arriva a tale algoritmo una volta che assumiamo il teorema di Jordan. Sia A ∈ Mn (C) e sia T : Cn −→ Cn l’applicazione lineare associata ad A fissata la base canonica. Il teorema di Jordan ci garantisce l’esistenza di una base B = {v1 , . . . , vn } con la seguente proprieta’: T (v1 ) = λ1 v1 T (vr1 +1 ) = λ2 vr1 +1 T (v2 ) = λ1 v2 + v1 T (vr1 +2 ) = λ2 vr2 +2 + vr1 +1 .. . .. . T (vr1 ) = λ1 vr1 + vr1 −1 ... T (vr2 ) = λ2 vr2 + vr2 −1 Concentriamo la nostra attenzione su di un blocco di Jordan, cioe’ supponiamo che A abbia la forma di Jordan che consiste di un solo blocco (il caso generale sara’ una piccola variazione). Se λ e’ l’autovalore, allora stiamo cercando una base B = {v1 , . . . , vn } tale che T (vi ) = λvi + vi−1 cioe’ (T − λI)vi = vi−1 Vediamo cosa implica questa catena di uguaglianze. (T − λI)v1 = 0, cioe’ v1 ∈ Ker(T − λI). (T − λI)v2 = v1 , da cui (T − λI)2 v2 = (T − λI)v1 = 0, dunque v2 ∈ Ker(T − λI)2 . Si noti che anche v1 ∈ Ker((T − λI)2 ). Continuando a procedere nello stesso modo arriviamo vn ∈ Ker((T − λI)n = Cn . A questo punto, scegliamo vn a piacere, purche’ vn ∈ / span{v1 , . . . , vn−1 } (v1 , . . . , vn dovranno formare una base!) e troviamo gli altri vettori della base B tramite la formula (T −λI)vi = vi−1 . Il teorema di Jordan ci garantisce che questo procedimento, qualora vi sia un solo blocco di Jordan, ci da’ la base B in cui la matrice associata a T e’ in forma di Jordan. Vediamo concretamente come si procede con un esempio. 2 Esempio 1.3. Sia 2 −3 A= 3 −4 Abbiamo un unico autovalore λ = −1 e l’autospazio V−1 = span{(1, 1)}. 0 0 3 −3 2 . , (A + I) = A+I = 0 0 3 −3 Scegliamo v2 = (1, 0) (ogni altra scelta con v2 ∈ / span{(1, 1)} e’ accettabile) e a questo punto dobbiamo prendere v1 = (A + I)v2 = (3, 3). Notiamo che prendere v1 = (1, 1) non e’ corretto! Infatti ogni multiplo di (1, 1) e’ autovettore di autovalore 2, tuttavia solo (3, 3) = (A + I)v2 . Notiamo inoltre che (A + I)v2 risulta automaticamente un autovettore: cio’ ci e’ garantito dal teorema di Jordan. La forma di Jordan di A e’ pertanto data da: 3 1 2 −3 0 1/3 −1 1 = 3 0 3 −4 1 −1 0 −1 Vediamo cosa accade nel caso in cui sia presente piu’ di un blocco di Jordan con autovalori distinti per ciascun blocco. Il procedimento e’ del tutto analogo. Esempio 1.4. Consideriamo la matrice: 2 0 0 0 −1 2 0 0 A= −3/2 0 −1/2 1/2 3/2 0 −1/2 −3/2 Il suo polinomio caratteristico e’: det(A − λI) = (λ + 1)2 (λ − 2)2 Per ciascun autovalore abbiamo dim(ker(A − λI)) = 1. Osserviamo pero’ che dim(ker(A + I)2 ) = 2 cioe’ tale dimensione coincide con la molteplicita’ algebrica dell’autovalore λ = −1. Dal teorema di Jordan sappiamo che tale molteplicita’ algebrica e’ proprio la dimensione del blocco di Jordan di autovalore λ = −1 (nell’ipotesi di autovalori distinti per ciascun blocco). Pertanto procediamo per l’autovalore −1 come in precedenza e calcoliamo: Ker(A + I)2 = span{(0, 0, −2, 0)} Ker(A + I) = span{(0, 0, 1, −1)}, 3 prendiamo v2 = (0, 0, −2, 0) e per v1 = (A + I)v2 = (0, 0, 1, −1). Analogamente dim(ker(A − 2I)2 ) = 2, e 2 e’ proprio la molteplicita’ algebrica dell’autovalore λ = 2, cioe’ la dimensione del blocco di Jordan di λ = 2. Come prima calcoliamo: Ker(A − 2I) = span{(0, 1, 0, 0)}, Ker(A − 2I)2 = span{(−2, 0, 1, −1)} e prendiamo v4 = (−2, 0, 1, −1) e per v3 = (A − 2I)v4 = (0, 2, 0, 0). ove Abbiamo ottenuto che: −1 1 0 0 0 −1 0 0 = P −1 AP 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 −2 0 0 2 0 P = 1 −2 0 1 −1 0 0 −1 Ragionando su questi esempi siamo in grado di dare l’algoritmo per trovare la base B, e dunque la matrice del cambio di base P , e la forma di Jordan di una matrice A nel caso particolare in cui gli autovalori di blocchi di Jordan diversi siano diversi. Algoritmo per trovare la forma di Jordan: caso particolare di autovalori distinti per blocchi di Jordan distinti Sia A ∈ Mn (C). 1. Calcoliamo gli autovalori λ1 , . . . , λr di A, con le rispettive molteplicita’ algebriche m1 , . . . , mr , m1 + · · · + mr = n, ciascuno di molteplicita’ geometrica 1 (il fatto che la molteplicita’ geometrica sia 1 equivale al fatto che blocchi distinti hanno autovalori distinti). 2. Sia λ un autovalore con molteplicita’ algebrica m. Calcoliamo Ker(A− λI)k per k = 1, 2 . . . m. 3. Scegliamo vm ∈ Ker(A−λI)m , vm ∈ / Ker(A−λI)k , ∀k < m. Definiamo la base B = {vm , vm−1 = (A−λI)vm , vm−2 = (A−λI)2 vm , . . . v1 = (A−λI)m−1 vm } 4 4. La forma di Jordan di A e’ P −1 AP ove P e’ la matrice del cambio di base tra la base canonica e B ed ha per colonne le coordinate dei vettori v1 = (A − λI)m−1 vm , v2 = (A − λI)m−1 vm , . . . , vm . Nella prossima sezione discutiamo l’algoritmo nella sua generalita’. 2 Algoritmo per costruire la forma di Jordan di una matrice data Cominciamo con un esempio per spiegare quali possano essere le complicazioni nel caso che si abbia uno stesso autovalore che appare in blocchi di Jordan diversi. Esempio 2.1. Sia 2 4 −8 4 A = 0 0 0 −1 4 Abbiamo un unico autovalore λ = 2 e l’autospazio V2 = span{(1, 0, 0), (0, 2, 1)}. Il fatto che Ker(A − 2I) abbia dimensione 2 ci fa immediatamente capire che l’autovalore 2 appartiene a due blocchi di Jordan distinti. Poiche’ Ker(A − 2I)2 = 0 possiamo scegliere v3 a piacere (purche’ linearmente indipendente con i vettori di V2 perche’ dovranno formare una base!). Ad esempio prendiamo v3 = (0, 1, 0). Abbiamo allora: 0 4 −8 0 4 (A − 2I)v3 = 0 −2 4 1 = −2 0 −1 2 0 −1 Definiamo v2 = (4, −2, −1). Si noti che v2 ∈ V2 come infatti la teoria ci garantisce. Infine prendiamo v1 = (1, 0, 0), scegliendolo in V2 linearmente indipendente con v2 . Abbiamo pertanto la seguente forma di Jordan per A: −1 2 0 0 2 4 −8 1 4 0 1 4 0 0 2 1 = 0 −2 1 0 0 4 0 −2 1 0 0 2 0 −1 4 0 −1 0 0 −1 0 5 Algoritmo per trovare la forma di Jordan: caso generale Sia A ∈ Mn (C). 1. Calcoliamo gli autovalori λ1 , . . . , λr di A, con le rispettive molteplicita’ algebriche m1 , . . . , mr e molteplicita’ geometriche n1 . . . nr (dunque ci saranno n1 blocchi di Jordan per λ1 , n2 per λ2 etc.). 2. Sia λ un autovalore con molteplicita’ algebrica m e geometrica r. Questo autovalore corrisponde a r blocchi di Jordan. Per costruirli calcoliamo Vλk =def Ker(A − λI)k per k0, 1, . . . fino a che dim(Ker(A − λI)s = m. In generale s < m, perche’ s = m se e solo se abbiamo un solo blocco di Jordan. 3. Sia {v1 , . . . vm } base di Ker(A − λI)s . Definiamo la base: B = {v1 , (A − λI)v1 , . . . (A − λI)s−1 v1 , v2 , (A − λI)v2 , . . . (A − λI)s−1 v2 , . . . vm , (A − λI)vm , . . . (A − λI)s−1 vm } [Nota: non necessariamente si hanno tutti i termini sino a (A−λI)s−1 vi , si veda l’esempio precedente.] 4. La forma di Jordan di A e’ data da P −1AP ove P e’ la matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori della base B. 6