Ripasso: Forza gravitazionale

Ripasso: Forza gravitazionale
E’ la forza che agisce fra ogni coppia di corpi
G = 6.67259 10-11 N m2/kg2
mA mB
FAB= - G ---------- r^AB forza con cui A attrae B (segno -)
r2
rAB = rB- rA
A
B
r=|rAB| distanza da A a B
FAB
mB mA
FBA= - G ---------- r^BA forza con cui B attrae A (segno -)
r2
A
FBA
B
Energia potenziale gravitazionale
mM
forza gravitazionale
U=-G ------r
U=mgh
dove si è definito U(r→∞)=0
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Leggi di Keplero
Per lo sviluppo della gravitazione, la forza fondamentale più debole,
fu fondamentale il modello copernicano del sistema solare.
Dalle osservazioni di Ticho Brahe, astronomo olandese del 1500, le
posizioni dei pianeti erano note con precisione.
Keplero, allievo di Brahe, formulò sulla base delle misurazioni
le seguenti tre leggi empiriche:
Prima legge) Le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono
ellissi in cui il Sole occupa uno dei fuochi (anno 1609);
Seconda legge) Il raggio vettore che congiunge il centro del Sole
col centro di ogni pianeta spazza aree proporzionali ai tempi
impiegati a descriverle (anno 1609);
Terza legge) I quadrati del periodi di rivoluzione (T) sono
proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite ellittiche (anno 1619).
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Prima di Newton si riteneva che i corpi celesti e quelli sulla Terra
fossero governati da leggi differenti. Infatti i corpi celesti continuano a muoversi
mentre i corpi sulla Terra si fermano (a causa degli attriti!).
Inoltre le orbite dei pianeti erano curve regolari e chiuse.
Newton intuì che le leggi erano invece le stesse. La quantità differente era la distanza
dalla Terra, la forza gravitazionale dipende dalla distanza r. Vediamo come siano
ricavabili le leggi di Keplero (nella 3a legge assumeremo che la forza dipende dalla
distanza come 1/r2):
2a legge) la forza gravitazionale è centrale, quindi il momento della quantità di moto
del corpo (polo sul Sole) si conserva l=r×mv=cost e in modulo |l|=rm(ωr)=mωr2;
l’area spazzata in un tempo Δt è la somma dell’area dei 2 triangoli (½)r (rΔθ)+ (½)r
Δθ Δr da cui (ΔA/Δt)= (½)r (Δθ/Δt)+(½)r (Δθ /Δt) Δr ma per Δt→0 si ha Δr →0 e
Δθ /Δt → ω da cui (dA/dt)=(1/2) r2ω = ½ l /m quindi proporzionale a |l| che è
costante.
Δr
r+Δr
Δθ
Δr
r
r
~ang.retto
r+Δr
rΔθ
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3a legge) nell’ipotesi di orbite ellittiche con eccentricità nulla (circonferenze)
l’equazione di moto nella direzione radiale vale -GmM/ r2=-m ω2r ⇒ GM/ω2=r3 ;
(GM/4π2)T2 =r3 ; viceversa se si parte dalla conoscenza della 3a legge si ricava che la
forza deve dipendere dalla distanza come r-2
1a legge) dalla conservazione del momento angolare la traiettoria è
piana e giace sul piano individuato dal vettore l.
Assumiamo che
^ il piano dell’orbita sia quello xy. Il momento angolare vale
l=mωr2 ^k.
Scriviamo la velocità in coordinate polari
v=(dr/dt) ^r+ r (dϑ/dt)v^ ϑ
v2=(dr/dt)2+r2 (dϑ/dt) 2=(dr/dt) 2+r2 ω2
La forza gravitazionale è conservativa e si ha conservazione dell’energia
E=K+U=(1/2)m v2+U(r)=(1/2)m(dr/dt)2+(1/2)mr2 ω2 +U(r)=
(1/2)m(dr/dt)2+Veff(r)=costante dove il potenziale efficace è definito come
Veff (r)= (1/2)mr2 ω2 +U(r)=(l2 / 2mr2)+ U( r) con l il modulo del
momento angolare (costante).
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Per il moto radiale Veff ( r) è il potenziale da usare e per
mM
U=-G ------- la forma di Veff ( r) è E
~1/r2
r
mostrata nella figura a fianco.
Per piccole distanze il potenziale
r
è diverge a +∞ a causa del termine
~ -1/r
2
2
centrifugo l / 2mr . Invece a grande
distanza (r→∞) l’andamento è quello
dell’energia potenziale coulombiana.
Osserviamo che la velocità angolare dipende dalla distanza
attraverso la conservazione del momento angolare
quindi con l’artificio di considerare Veff ( r) possiamo trattare il
problema come se fosse unidimensionale nella sola coordinata
radiale, nonostante il moto sia in un piano. In particolare si può
analizzare ove sono le regioni premesse al moto per ogni energia.
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Per un’energia E=Emin(<0) l’orbita è a r*=costante (circolare);
per Emin <E<0 orbite ellittiche tra r1 e r2,
per E=0 orbita parabolica;
per E>0 orbita iperbolica;
la distanza minima viene detta
perielio (ed esiste sempre)
e afelio quella maggiore nel
caso ellittico.
Si dice che il sistema è legato
se il corpo non può abbandonare
il centro di attrazione
(stato legato del sistema).
E
~r-2
r1 r* r2
~r-2
r
Emin
Traiettoria (rossa continua)
confinata tra le
circonferenze di raggi r1 e r2
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Per dimostrare quale sia la forma dell’orbita consideriamo come fatto finora
l’approssimazione che la massa del Sole sia M>>m in moda da trascurare il moto
dei due corpi attorno al centro di massa comune (il centro di massa di un sistema
verrà definito successivamente).
E=(1/2)m(dr/dt)2+(1/2)mr2 ω2 –GmM/r e l=mωr2 sono costanti
ω=dθ/dt=l/mr2 supponendo r=r(θ) e θ=θ(t) in modo da eliminare t si ha
dr/dt=(dr/dθ) (dθ/dt) =(dr/dθ)ω= (dr/dθ) l/mr2 ,
2E+ 2GmM/r = (l2/mr4 )(dr/dθ)2+ (l2/mr4)r2 = (l2/mr4) ((dr/dθ)2+ r2 )
Cambiamo variabile w=r-1, (dw/dθ)=(dw/dr)(dr/dθ)=-(1/r2) )(dr/dθ)
cioè (dr/dθ)=- r2(dw/dθ)
2E+2GMm w= (l2/m)(dw/dθ)2+ (l2/m)w2 da cui
(dw/dθ)2+ w2 –2 (GM m2 /l2 )w= 2(Em/l2) completiamo il quadrato
(dw/dθ)2+ w2 –2 (GM m2 /l2 )w+ (G2M2 m4 /l4 ) = 2(Em/l2)+ (G2M2 m4 /l4 )
Il secondo membro è una costante positiva H2,
(dw/dθ)2+ (w –GM m2 /l2 )2 = H2, cambiamo variabile u= (w –GM m2 /l2 )
(du/dθ)=(dw/dθ) e quindi (du/dθ)2+ u2 = H2,
(du/dθ) = ±√(H2-u2) separando le variabili e scegliendo il segno +
∫du/ √(H2-u2) = ∫dθ si ottiene u=Hcos(θ- θi) (col meno u=H sen(θ- θi) ma solo la
condizione iniziale sarebbe diversa).Sostituendo a ritroso per tornare alla variabile
r si ottiene
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w= (GM m2 /l2 )+ √[2(Em/l2)+ (G2M2 m4 /l4 )]cos(θ- θi)=
(GM m2 /l2 )(1+ √[1+2(Em/l2)/ (G2M2 m4 /l4 )]cos(θ- θi)
infine
r=(l2 /GM m2 )/(1+ √[1+2(E l2)/ (G2M2 m3 )]cos(θ- θi))
Ricordiamo che l’equazione delle coniche è del tipo
r=A/(1+ e cos(θ)) con e eccentricità (e=0 circonferenza, 0<e<1 ellisse, e=1
parabola, e>1 iperbole) e= √1+2(E l2 / (G2M2 m3 )]
L’energia minima si ha nel punto r*, dVeff ( r*) /dr=0 da cui r*= l2 / GMm2 e
Emin=E(r*)=- G2M2 m3 /(2 l2) (la velocità radiale è nulla poiché r=r*=costante)
Con tale energia e=0 orb.circolare, per valori maggiori negativi 0<e<1orb.ellittica.
---------------------------------------------------------------------------------------------------Se un corpo ha un’energia (totale) negativa rispetto ad un pianeta non può
abbandonarlo perché a distanza finita la velocità radiale si annullerebbe. Per liberare
il corpo è necessaria un’energia positiva e se il corpo parte da una certa distanza dal
pianeta, occorre imprimergli una velocità pari a quella di fuga. In particolare, la
velocità di fuga è quella minima per portare all’infinito il corpo con energia nulla
E=K+U=0. Per la Terra, partendo dalla superficie, RT raggio della Terra,
(1/2)m v2+U(RT)=0 da cui ___________
MT = 5.98 x 1024 kg
vf =√2G MT / RT
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Eccentricità:
Per le orbite ellittiche può essere calcolata come distanza tra l'apoasse (distanza maggiore, per
orbite attorno al Sole afelio, per orbite attorno alla Terra apogeo) A e il periasse (distanza
minore, per Sole perielio, per Terra perigeo) P:
e= (A-P)/(A+P) [A-P è anche la distanza fra i fuochi dell’ellisse].
dove: P è il raggio di pericentro, A è il raggio di apocentro. Per e=0 orbite circolari,
0<e<1 orbite ellittiche, e=1 orbite paraboliche, e>1 orbite iperboliche.
Per esempio,
l'eccentricità dell'orbita
della Terra oggi è
0.0167. Nel tempo,
l'eccentricità
dell'orbita terrestre varia
lentamente, passando da
quasi 0 a circa 0.05
come risultato
dell'attrazione
gravitazionale tra i
pianeti.
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Parametri dei pianeti del sistema solare
Mercury
diameter
0.382
(Earth=1)
4878
diameter (km )
mass (Earth=1)
0.055
mean dist
0.39
from Sun (AU)
orb. period
0.24
(Earth years )
orbital
0.2056
eccentr.
mean orb. vel
47.89
(km/ sec )
rotation period
58.65
(in Earth days )
inclination of
0
axis (degrees )
mean temp. at
-180 to 430
surface (C )
gravity at
0.38
equat (Earth=1)
escape vel
4.25
(km/ sec )
mean density
5.43
(water=1)
Venus
Earth
Mars
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptune
Pluto
0.949
1
0.532
11.209
9.44
4.007
3.883
0.18
12104
0.815
12756
1
6787
0.107
142800
318
120000
95
51118
15
49528
17
2300
0.002
0.72
1
1.52
5.2
9.54
19.18
30.06
39.44
0.62
1
1.88
11.86
29.46
84.01
164.8
247.7
0.0068
0.0167
0.0934
0.0483
0.056
0.0461
0.0097
0.2482
35.03
29.79
24.13
13.06
9.64
6.81
5.43
4.74
-243
1
1.03
0.41
0.44
-0.72
0.72
-6.38
177.4
23.45
23.98
3.08
26.73
97.92
28.8
122
-150
-170
-200
-210
-220
465 -89 to 58
-82 to 0
0.9
1
0.38
2.64
0.93
0.89
1.12
0.06
10.36
11.18
5.02
59.54
35.49
21.29
23.71
1.27
5.25
5.52
3.93
1.33
0.71
1.24
1.67
2.03
Le eccentricità sono sempre <<1, orbite quasi circolari
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