Orbite ellittiche

Orbite ellittiche
L’equazione dell’ellisse si può ottenere riscrivendo il
secondo principio della dinamica, usando la formula
di Poisson per i versori delle coordinate polari
d"ˆ r ˆ
= # $ " = %#rˆ
dt
r
dv
Mm
Mm d"ˆ
Mm 2 d"ˆ
m
= %G 2 rˆ = G 2
=G
dt
r
r # dt
p dt
2
d& r
Mm ˆ )
"+=0
( mv % G
dt '
p
*
!
"ˆ
rˆ
!
!
La quantità in parentesi rappresenta quindi un vettore
costante, che possiamo indicare come
p r ˆ
v " # = eˆj
GMm
Misuriamo gli angoli in modo che quando " = 0, ˆj # rˆ = 0
e moltiplichiamo scalarmente per
vettori. Avremo:
l’eguaglianza tra
!
"ˆ
p
p
p2
v" #1 =
r$ #1 =
#1 = ecos "
!
GMm
GMm
rGMm 2
!
che risolta rispetto a 1/r è l’equazione di una conica
di eccentricità e
!
1 GMm2
=
(1+ e cos" )
r
p2
che rappresenta un cerchio per e=0, una ellisse per
!
0<e<1, una parabola
per e=1 e una iperbole per e>1.
Si noti che per e>1 c’è un angolo limite superiore
In ogni caso, " = 0 corrisponde al perielio,
rp =
p2
GMm 2 (1+ e)
!
!
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Energia totale e geometria dell’orbita
•
Calcolando l’energia totale al perielio, si può
ritrovare la corrispondenza tra segno dell’energia e
natura delle orbite. Al perielio, r˙ = 0
e il potenziale efficace coincide con l’energia totale
2
2
2 3
p2
Mm G M m (1+ e!
) " G 2 M 2 m 3 (1+ e) = G 2 M 2 m 3 (e 2 "1)
E=
"
G
=
2mrp2
rp
2 p2
p2
2 p2
Ritroviamo così le relazioni tra forma dell’orbita,
eccentricità e energia totale:
!
•
orbita ellittica (chiusa)
e<1
E<0
•
orbita parabolica
e=1
E=0
•
orbita iperbolica
e>1
E>0
Come si vede, l’eccentricità dipende dalle costanti del
moto p ed E:
2 p2 E
e = 1+ 2 2 3
G M m
!
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alcune conseguenze
•
forma a disco delle galassie: la attrazione
gravitazionale può contrarre la galassia solo nella
direzione di p, mentre sul piano di rotazione la
barriera centrifuga contrasta la contrazione
P
•
aumento dell’energia per contrazione: un corpo in
rotazione che perda energia (per attrito,
irraggiamento ecc.) aumenta paradossalmente la
sua energia cinetica: infatti, diminuendo il momento
angolare, il sistema si sposta verso raggi minori,
ossia verso valori del potenziale gravitazionale
maggiori in modulo. Quindi K=-V/2 aumenta.
Una nuvola di gas in rotazione che perde
energia per irraggiamento si contrae, aumentando la
sua energia cinetica (e quindi la sua temperatura),
meccanismo che può innescare la combustione
stellare.
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