3. Moti centrali

87
3. Moti centrali
Il moto nello spazio di un punto materiale soggetto ad una forza posizionale qualsiasi è in
genere non integrabile. Solo se il campo di forze ha particolari simmetrie, l’esistenza di
integrali primi consente di ricondurre a quadrature la soluzione. La simmetria per rotazione
caratterizza le interazioni coulombiana e gravitazionale ed il potenziale associato, detto
centrale, dipende solo dalla distanza dal centro di forze. La soluzione esatta delle equazioni
del moto obbedisce alle leggi di Keplero e costituisce il punto di partenza per molti problemi
di meccanica celeste e anche di fisica atomica, quando è lecita una trattazione classica.
3.1. COORDINATE POLARI
Un campo di forze è radiale se diretto come il vettore posizione
F(r) = f (r)
r
r
r = krk
(3.1.1)
L’annullarsi del momento della forza impone la conservazione del momento della quantità di
moto L. Il piano passante per il centro O del campo e che contiene un arco di traiettoria
infinitesima avente per estremi i punti P, P 0 ha come normale il vettore L. Infatti se
P −O = r e P 0 −O = r(t+dt) = r(t)+v(t)dt sono i vettori posizione degli estremi dell’arco,
che si identifica con la corda, il piano passante per O, P P 0 è quello cui appartengono i
vettori r(t) e v(t) e la sua normale è L(t) = mr × v(t). La conservazione di L implica che
l’orbita nello spazio delle configurazioni è piana.
Se l’intensità f della forza dipende solo dalla distanza r = krk dall’origine il campo si dice
centrale, vedi figura 3.1.1
r
(3.1.2)
F(r) = f (r)
r
88
c 88-08- 9820
3. Moti centrali
Un campo centrale è conservativo poiché F · dr è un differenziale esatto
F · dr =
f (r)
f (r) 2
f (r)
r · dr =
d(r · r) =
dr = f (r)dr
r
2r
2r
ed il suo potenziale è dato da
V (r) = −
Z
(3.1.3)
r
f (r 0 )dr 0
(3.1.4)
Ne segue che H = T + V è un integrale primo ed indicheremo con E il valore costante che
assume su ogni orbita.
Figura 3.1.1. Campo radiale (lato sinistro), campo centrale (lato destro).
Scegliendo l’asse z nella direzione di L, per condizioni iniziali assegnate, poniamo L = Lk
ed il piano xy diventa il piano dell’orbita, nel quale scegliamo un sistema di coordinate
polari φ, r
x = r cos φ
(3.1.5)
y = r sin φ
La trasformazione definita su r ≥ 0, −π ≤ φ ≤ π è invertibile ovunque tranne che per
r = 0 ove jacobiano si annulla. La trasformazione inversa è

se y > 0
 arc cos (x/r)
p
φ=
(3.1.6)
r = x2 + y 2

2π − arc cos (x/r)
se y < 0
ed è continua ponendo φ = 0 se x > 0, y = 0 e φ = π se x < 0, y = 0. Le curve su cui
φ e r assumono valore costante sono semirette e cerchi, vedi figura 3.1.2, e sono tra loro
ortogonali. I versori nr e nφ normali a queste curve
nr = i cos φ + j sin φ,
nφ = −i sin φ + j cos φ
(3.1.7)
formano una base ortonormale in ogni punto dello spazio. Se φ = φ(t), r = r(t) è la legge
del moto i vettori posizione, velocità ed accelerazione nella base (3.1.7) sono espressi da
r = rnr
v = ṙnr + r φ̇nφ
1 d 2
(r φ̇)
a = (r̈ − r φ̇2 )nr + nφ
r dt
(3.1.8)
c 88-08- 9820
3.1. Coordinate polari
y
y
nr
nφ
( r, φ )
P
r
89
φ
O
x
x
Figura 3.1.2. Coordinate polari (lato sinistro ), curve ortogonali (lato destro).
dnφ
come si verifica notando che r = rnr e che le derivate dei versori sono dnr = nφ ,
=
dφ
dφ
−nr . Da (3.1.8) segue che L = mr 2 φ̇k
Equazioni del moto
Nel caso del campo centrale l’equazione del moto, proiettata su nr ed nφ , diventa

 mr̈ − mr φ̇2 = f (r)
 d 2
(r φ̇) = 0
dt
(3.1.9)
La prima è l’equazione di un punto che si muove nel piano xy sulla semiretta OP che
ruota seguendo il punto nel suo moto; poiché tale sistema non è inerziale, alla forza f (r)
si aggiunge la forza centrifuga mr φ̇2 . La seconda equazione esprime la conservazione del
momento angolare.
L = mr 2 φ̇
(3.1.10)
L’equazione del moto per la coordinata radiale si separa da quella per la variabile angolare.
Il moto radiale è unidimensionale e le equazioni del primo ordine che lo determinano sono

 ṙ = vr
 mv̇ = f (r) + L2 = − dV eff
r
dr
mr 3
(3.1.11)
dove V eff , detto potenziale efficace, è la somma del potenziale della forza centrale e di
quella centrifuga
L2
+ V (r)
(3.1.12)
V eff (r) =
2mr 2
90
c 88-08- 9820
3. Moti centrali
L’integrale primo
mvr2
+ V eff (r)
(3.1.13)
2
è l’energia totale. Per un dato valore dell’energia il moto avviene in una regione delimitata
dai punti di inversione. Per il potenziale V = −α/r il ritratto di fase è indicato nella figura
2.6.5 ove appare anche il grafico di V eff (r) con L2 /m = 1. Se E < 0 si ha r1 ≤ r ≤ r2 e
supposto vr (0) > 0 la legge oraria fino al primo punto di inversione r2 è data da
H(r, vr ) =
t=
r
m
2
Z
r
r0
dr 0
p
,
E − V eff (r 0 )
r0 < r < r 2 ,
vr > 0
(3.1.14)
Dalla soluzione r = r(t), ottenuta invertendo la (3.1.14) e da (3.1.10) si ottiene la legge
oraria per l’angolo.
Z t
1
L
dt0
(3.1.15)
φ(t) = φ0 +
2
m 0 r (t0 )
Un campo radiale in genere non è conservativo. Le sua orbite sono piane ed il momento
della quantità di moto si conserva ma manca il secondo integrale primo H; le equazioni
del moto sono date ancora da (3.1.9) dove f = f (r, φ).
3.2. EQUAZIONE DELL’ORBITA
La legge del moto r = r(t), φ = φ(t) fornisce le equazioni parametriche dell’orbita nello
spazio delle configurazioni. È di norma più semplice ottenere direttamente la soluzione per
l’orbita nella forma r = r(φ); si noti che per (3.1.10) la funzione φ(t) è monotona e quindi
invertibile. L’equazione per l’orbita si ottiene derivando r(t) ≡ r(φ(t))
ṙ ≡ φ̇
dr
L dr
=
dφ
mr 2 dφ
(3.2.1)
r̈ ≡
L d
mr 2 dφ
L dr
mr 2 dφ
2
2
1
L
d
=− 2 2 2
r
m r dφ
ed usando la la variabile u = 1/r diventa
L2 2 d 2 u
dV eff (r)
2 d
u
=
−u
V eff (u−1 )
=
2
m dφ
dr
du
(2.3.2)
Tenendo conto che u > 0 l’equazione dell’orbita si semplifica in
dV eff
L2 d 2 u
=−
2
m dφ
du
(3.2.3)
c 88-08- 9820
3.2. Equazione dell’orbita
91
e l’integrale primo corrispondente è dato da
L2
H=
2m
du
dφ
2
+ V eff
1
u
(3.2.4)
Il punto libero
Se la forza è nulla l’equazione dell’orbita diventa
d2 u
+u=0
dφ2
e la soluzione si scrive
u≡
(3.2.5)
1
1
= cos(φ − φ1 )
r
b
(3.2.6)
P
Q
φ
b
φ
1
O
x
Figura 3.2.1. Retta in coordinate polari.
Questa è l’equazione di una retta, che dista b dall’origine e la cui normale, condotta
dall’origine, forma un angolo φ1 con l’asse delle x, vedi figura 3.2.1.
Orbite kepleriane
Se il potenziale è V (r) = −α/r l’ equazione del moto diventa
d2 u
mα
+u= 2
2
dφ
L
e la soluzione è quella di (3.2.5) cui si aggiunge la costante mα/L2
(3.2.7)
92
c 88-08- 9820
3. Moti centrali
u≡
mα 1
1
= 2 + cos(φ − φ1 )
r
b
L
(3.2.8)
Ponendo
L2
L2
=
,
p=
mαb
mα
si trova l’equazione di una conica, come si mostra nel prossimo paragrafo
r=
p
1 + cos(φ − φ1 )
(3.2.9)
(3.2.10)
Veff
u
Figura 3.2.2. Potenziale efficace V eff =L2 u2 /(2m)−αu per il campo gravitazionale.
Il punto di di minima distanza r1 = p(1+)−1 e di inversione per il moto radiale è raggiunto
per φ = φ1 . Per una analisi qualitativa notiamo che il potenziale efficace come funzione di
r è delineato nella figura 2.6.5, mentre come funzione di u è una parabola, come mostra la
figura 3.2.2. Quindi se E min < E < 0 si hanno due punti di inversione r1 , r2 e l’orbita è
contenuta in una corona circolare r1 ≤ r ≤ r2 ; se E > 0 c’è un solo punto di inversione r1
e l’orbita è esterna al disco di raggio r1 , vedi figura 3.2.3. Per E = E min ≡ −α2 m/(2L2 )
si ha un’orbita circolare di raggio r = L2 /(mα). L’ eccentricità dell’orbita è data da
=
2L2 E
1+
mα2
1/2
≡
1−
E
E min
1/2
Per verificarlo sostituiamo u = p−1 [1 + cos φ] in (3.2.4) ponendo H = E
#
" 2
α 2
αp
du
2
E=
+ u2 − u =
+ 1 + 2 cos φ − 2 − 2 cos φ =
2
dφ
p
2p
α
mα2
= (2 − 1)
= (2 − 1)
2p
2L2
Il valore di E determina l’eccentricità e quindi

E = E min


E min < E < 0
E

 =0
E>0
(3.2.11)
(3.2.12)
il tipo di conica secondo la seguente tabella
=0
<1
=1
>1
cerchio
ellisse
parabola
iperbole
c 88-08- 9820
3.2. Equazione dell’orbita
93
Se il potenziale è repulsivo V (r) = α/r l’equazione dell’orbita è data da (3.2.10) dove
p → −p; infatti il segno di non cambia poiché la relazione tra E e fa intervenire α 2 .
Utilizzando l’invarianza per lo scambio r → −r, φ → φ + π l’equazione diventa (3.2.12)
r=
p
1 − cos(φ − φ1 )
(3.2.13)
e rappresenta una iperbole, il cui asse forma un angolo φ1 con l’asse polare, poiché > 1.
E = E min
E min< E < 0
E>0
Figura 3.2.3. Orbite per V (r)=−α/r a diversi valori dell’energia.
Per un generico potenziale V (r) l’analisi qualitativa permette ancora di determinare le
caratteristiche salienti dell’orbita. La soluzione per l’equazione dell’orbita con condioni
iniziali φ(0) = φ0 , r(0) = u−1
0 , ottenuta mediante una quadratura, si scrive
L
φ = φ0 + √
2m
Z
u
u0
du0
q
E − V eff (u0 −1 )
(3.2.14)
Consideriamo ad esempio V (r) = −αr −β . Il corrispondente potenziale efficace, vedi figura
3.2.4 è stazionario in rc = u−1
c dove
u2−β
c
mαβ
,
=
L2
d2 V eff L2
(2 − β)
=
du2 u=uc
m
(3.2.15)
Il punto critico corrispondente è ellittico per β < 2, iperbolico per β > 2 e le orbite
circolari r = u−1
sono rispettivamente stabili e instabili. Per β < 2 le orbite nello spazio
c
delle configurazioni sono confinate in una corona circolare r1 ≤ r ≤ r2 se E < 0 e sono
esterne ad un disco r ≥ r1 se E > 0: nel primo caso il moto è confinato e si ha uno stato
legato, nel secondo caso il moto non è confinato e si ha un processo d’urto. Nella figura
3.2.5 mostriamo alcune orbite corrispondenti ad energie positive e negative nel caso β < 2
e β > 2. Le orbite per β < 2 sono molto simili a quelle kepleriane; la differenza saliente è
che per E < 0 le orbite, seppure confinate in un anello, non sono più chiuse. I potenziali
con orbite chiuse, sono eccezionali.
94
c 88-08- 9820
3. Moti centrali
V
V
eff
eff
u
u
Figura 3.2.4. Potenziale efficace V eff =L2 /(2m) u2 −αuβ con α>0 e β<2, (lato sinistro ), β>2 (lato destro).
Teorema di Bertrand. Nel campo centrale attrattivo V (r) = −αr −β le orbite chiuse
sono possibili solo per β = 1 e sono ellissi con un fuoco nel centro di forza. Nel campo
centrale attrattivo V (r) = αr β le orbite chiuse sono possibili solo se β = 2 e sono delle
ellissi il cui centro coincide con il centro del campo di forze.
Non diamo la dimostrazione del teorema ma ci limiteremo a mostrare che per il potenziale
della forza elastica V = αr 2 le orbite sono delle ellissi. Posto ω 2 = 2α/m, la soluzione
delle equazioni del moto in coordinate cartesiane ẍ + ω 2 x = 0 e ÿ + ω 2 y = 0 assume la
forma seguente
 




x
cos ωt
x0 ω −1 v0x
  = A
,

A=
(3.2.16)
−1
y
sin ωt
y0 ω v0y
Risolvendo il sistema lineare rispetto al vettore (cos ωt, sin ωt) e calcolando il quadrato
della sua norma otteniamo
X2
Y2
x
−1
= 2 + 2
1 = (x, y)B
(3.2.17)
y
a
b
dove B definita da
B = AÃ = R̃
a2
0
0
b2
R,
X
Y
x
=R
y
(3.2.18)
è una matrice positiva con autovalori a2 , b2 e R è la matrice di rotazione che la diagonalizza.
Pertanto a, b sono i semiassi dell’ellisse il cui centro coincide con l’origine del sistema di
coordinate e R è la matrice di rotazione che trasforma gli assi del sistema di coordinate
negli assi della ellisse.
c 88-08- 9820
3.3. Coniche in coordinate polari
E<0
β<2
E<0
β> 2
95
E>0
β <2
0 < E < E max
β> 2
Figura 3.2.5. Orbite per il potenziale efficace V eff =L2 u2 /(2m)−αuβ con α>0.
3.3. CONICHE IN COORDINATE POLARI
Proviamo in questo paragrafo che la soluzione del problema di Keplero è una conica con
uno dei due fuochi nel centro del campo di forze.
Ellisse
L’equazione di una ellisse in un riferimento cartesiano i cui assi x, y sono diretti come gli
assi dell’ellisse e passano per il centro si scrive
x2
y2
+
= 1,
a>b
a2
b2
La eccentricità e di una ellisse è definita da
√
a2 − b 2
=
a
(3.3.1)
(3.3.2)
96
c 88-08- 9820
3. Moti centrali
e ne misura lo schiacciamento. Si dicono fuochi dell’ellisse due punti F1 , F2 sull’asse maggiore dell’ellisse simmetrici rispetto al centro e distanti da questo a, vedi figura 3.3.1
p
CF1 = CF2 = a = a2 − b2
(3.3.3)
y
B1
Q
P
φ
A2
F2
C
B
F1
A
1
x
2
Figura 3.3.1. Parametri della ellisse.
Per un punto generico P = (x, y) il quadrato della distanza dal fuoco F1 = (a, 0) è
(P F1 )2 = (x − a)2 + y 2 = x2 + a2 2 − 2xa + b2 − x2
2 2
2
= x − 2ax + a = (a − x)
b2
=
a2
(3.3.4)
2
dove si è usata sia (3.3.1) sia (3.3.2). La distanza dal fuoco F1 vale
r = P F1 = a − x
(3.3.5)
In modo analogo si trova che P F2 = a + x e quindi
P F1 + P F2 = 2a
(3.3.6)
che è una delle proprietà geometriche salienti dell’ellisse: la somma delle distanze dai
fuochi è costante. Scelto un sistema di coordinate polari con origine in F1 ad asse polare
coincidente con l’asse maggiore si ha
x = a + r cos φ
(3.3.7)
e quindi la equazione della ellisse in coordinate polari diventa r = a − e(a + r cos φ) ossia
r=
p
,
1 + cos φ
p = a(1 − 2 )
(3.3.8)
Da (3.3.7) segue che i punti in cui l’asse x interseca l’ellisse hanno la minima e la massima
distanza dal fuoco ( per un pianeta sono il perielio e l’afelio)
r min =
p
,
1+
r max =
p
,
1−
r min + r max =
2p
= 2a
1 − 2
(3.3.9)
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3.3. Coniche in coordinate polari
97
Notiamo le relazioni seguenti
a=
p
,
1 − 2
b=a
p
p
1 − 2 = √
,
1 − 2
b=
√
ap
(3.3.10)
Iperbole
La equazione di una famiglia di iperbole in un sistema cartesiano i cui assi e centro coincidono con quelli della famiglia stessa si scrive
x2
y2
− 2 =1
a2
b
(3.3.11)
Le rette
b
(3.3.12)
y=± x
a
sono gli asintoti delle iperbole. L’altra famiglia di iperbole con stessi assi ed asintoti si
ottiene da (3.3.11) cambiando 1 in −1. Siano A1 , A2 e B1 , B2 punti simmetrici sugli assi
x e y distanti a e b dall’origine e consideriamo il cerchio√circoscritto al rettangolo con lati
paralleli agli assi passanti per A1 , A2 , B1 , B2 , di raggio a2 + b2 . Questo cerchio interseca
l’asse x in due punti simmetrici F1 ed F2 che si dicono fuochi della iperbole, vedi figura
3.3.2.
P
B1
φ
F2
A
2
C
A
1
F1
B2
Figura 3.3.2. Parametri della iperbole.
Definiamo eccentricità il rapporto tra la distanza dei fuochi F1 F2 e A1 A2
√
p
a2 + b 2
F1 F2
2
2
CF1 = CF2 = a + b ,
=
=
A1 A2
a
(3.3.13)
Ne segue che CF1 = a.
Il quadrato della distanza di un punto P sul ramo destro della iperbole dal fuoco F1 è
(P F1 )2 = (x − a)2 + y 2 = x2 + a2 2 − 2ax +
b2 2
x − b2 = x2 2 − 2ax + a2
a2
(3.3.14)
98
c 88-08- 9820
3. Moti centrali
Le distanze da F1 e F2 sono
P F1 = x − a,
P F2 = x + a
(3.3.15)
e la loro differenza è costante
P F2 − P F1 = 2a
(3.3.16)
Sull’altro ramo della iperbole x < 0 si trova
P F1 = −x + a,
P F2 = −x − a
(3.3.17)
Sul ramo destro delle iperbole si ha x = a + r cos φ e quindi da (3.3.17)
r = P F1 = x − a = a(2 − 1) + r cos φ,
=⇒
r=
a(2 − 1)
1 − cos φ
(3.3.18)
dove φ∗ < φ < 2π − φ∗ con cos φ∗ = −1 ; il punto più vicino all’origine ha φ = π e la
distanza è a( − 1).
Sul ramo sinistro della iperbole si trova x = r cos φ+a e quindi da (3.3.17) r = −r cos φ+
a(1 − 2 ) da cui
a(1 − 2 )
a(2 − 1)
r=
=−
(3.3.19)
1 + cos φ
1 − cos(φ + π)
dove π − φ∗ ≤ φ ≤ π + φ∗ e quindi corrisponde a (3.3.18) ove si cambi r → −r e si scelga
−φ∗ ≤ φ ≤ φ∗ .
3.4. IL PROBLEMA DI KEPLERO
I risultati ottenuti per il potenziale V = −α/r si riassumono nelle 3 leggi che per i moti
planetari, sono note come leggi di Keplero.
i) Le orbite sono ellissi con un fuoco nel centro di forza.
ii) La velocità areale è costante.
iii) Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore ed il quadrato del periodo è costante.
La prima prima legge è stata già provata. La seconda, valida per ogni campo radiale, segue
da (3.1.10); definendo la velocità areale dS/dt come l’area spazzata dal vettore posizione
per unità di tempo si ha infatti
1 dφ
L
dS
= r2
=
dt
2 dt
2m
(3.4.1)
Per provare la terza legge riesprimiamo dS/dt come rapporto tra l’area dell’ellisse ed il
periodo T usando (3.3.10) e (3.2.9)
dS
π ab
π
π 3/2 1/2
a3/2 L
p2
√
=
=
= a p
=π
αm
dt
T
T (1 − 2 )3/2
T
T
(3.4.2)
c 88-08- 9820
3.4. Il problema di Keplero
99
e confrontando con (3.4.1) si ha
a3
α
=
2
T
m(2π)2
(3.4.3)
La legge oraria
Per determinare la posizione di un punto sull’ellisse (o di un pianeta lungo la sua orbita)
occorre conoscere la legge oraria φ = φ(t). Da (3.4.1) e (3.4.2) segue che
r 2 dφ
π
p2
=
2 dt
T (1 − 2 )3/2
(3.4.4)
L’ equazione dell’orbita (3.2.10) permette di integrare la (3.3.4); scegliendo φ(0) = 0 si ha
2π
t
=
T (1 − 2 )3/2
Z
φ
0
dove
dφ0
∂
=
−
I(µ,
)
(1 + cos φ0 )2
∂µ
µ=1
I(µ, ) =
Z
φ
0
(3.4.5)
dφ0
µ + cos φ0
(3.4.6)
Per calcolare l’integrale si fa la seguente sostituzione
τ=
µ−
µ+
1/2
tan
φ
2
(3.4.7)
e si trova, vedi appendice A
2
I(µ, ) = p
2
µ − 2
Z
τ
0
0
dτ
2 arctan τ
2
p
= p
arctan
2 =
0
2
2
2
1+τ
µ −
µ − 2
"
µ−
µ+
1/2
#
φ
2
(3.4.8)
tan
Sostituendo (3.4.8) in (3.4.5) si ha
t
2π = 2 arctan
T
"
1−
1+
1/2
#
1/2
sin φ
φ
tan
− 1 − 2
2
1 + cos φ
(3.4.9)
Questa equazione implicita si risolve per via perturbativa, o con il metodo di Newton.
Sviluppando in serie di Taylor al primo ordine in si ottiene
2π
t
= φ − 2 sin φ + O(2 )
T
e l’inverso è dato da
φ = 2π
t
t
+ 2 sin 2π + O(2 )
T
T
(3.4.10)
(3.4.11)
100
c 88-08- 9820
3. Moti centrali
Anomalia media
Un utile parametro, usato in astronomia, è l’anomalia media ψ definita da
ψ
tan =
2
1−
1+
1/2
tan
φ
2
(3.4.12)
Attraverso quest’angolo la equazione (3.4.9) assume una forma assai più semplice
2π
t
= ψ − sin ψ
T
(3.4.13)
y
Q
F2
ψ
C
φ
F1
P
x
Figura 3.4.1. Significato geometrico della anomalia media ψ per una ellisse.
L’ anomalia media ψ è l’angolo che forma con l’asse x la semiretta CQ dove Q è un
punto sul cerchio circoscritto all’ellisse. Il punto Q è l’intersezione del cerchio con la retta
passante per il punto P dell’ellisse ed ortogonale all’asse x, vedi figura 3.4.1.
Infatti se si esprime cos φ attraverso tan(ψ/2) usando la (3.4.12) e lo si sostituisce nella
equazione dell’orbita scritta nella forma r = a(1 − 2 )[1 + cos φ]−1 , si trova
r = a − a cos ψ
(3.4.14)
x = a cos ψ
(3.4.15)
e da (3.3.5) segue che
Dalla equazione (3.3.1) della ellisse in coordinate cartesiane segue
y = b sin ψ
3.5. PRECESSIONE, ORBITE QUASI CIRCOLARI
(3.4.16)
c 88-08- 9820
3.5. Precessione, orbite quasi circolari
101
Tra i moti riconducibili a semplici quadrature consideriamo dapprima il potenziale centrifugo V = β/r 2 ; nel caso repulsivo β > 0 od attrattivo con −L2 /(2m) < β < 0 l’equazione
dell’orbita diventa
d2 u
2mβ
+ ω 2 u = 0,
ω2 = 1 + 2
(3.5.1)
2
dφ
L
La soluzione
u = u1 cos ω(φ − φ1 )
(3.5.2)
rappresenta un’orbita esterna al disco di raggio r1 = 1/u1 , avente per asintoti le rette
φ = φ1 ± π/(2ω). La legge oraria si ha integrando φ̇ = u2 Lm−1 con φ(0) = φ1
m
t=
Lu21
ed invertendo
Z
φ
φ1
dφ0
mr12
=
tan ω(φ − φ1 )
cos2 ω(φ0 − φ1 )
Lω
(3.5.3)
(3.5.4)
1
φ = φ1 + arc tan
ω
Lω
t
mr12
L’orbita, che descrive un processo d’urto, viene percorsa in un tempo infinito come mostra
la figura 3.5.1. Il punto di inversione per il moto radiale è r = r1 in cui la distanza
dall’origine è minima.
Veff
φ−φ
1
π
2ω
E
−
u
π
2ω
t
π
2ω
Figura 3.5.1. Orbita e legge oraria per il potenziale V =β/r 2 con β>−L2 /(2m).
Nel caso di potenziale attrattivo con β < −L2 /(2m), ponendo ω 2 = −1 − 2mβ/L2 la
soluzione si scrive
Lω
1
u = u1 ch ω(φ − φ1 ),
φ = φ1 + arc th
t
(3.5.5)
ω
mr12
L’orbita é interna al disco di raggio r1 ed in un tempo finito t∗ = mr12 /(Lω) il punto cade
spiraleggiando sul centro di forza come mostra la figura 3.5.2
102
c 88-08- 9820
3. Moti centrali
Precessione del perielio. Se il potenziale newtoniano è perturbato nella forma V (r) =
−α/r + β/r 2 la soluzione della equazione dell’orbita
d2 u
mα
+ ω2u = 2 ,
2
dφ
L
è data da
r=
2mβ
L2
(3.5.6)
L2 ω 2
mα
(3.5.7)
ω2 = 1 +
p
,
1 + cos ω(φ − φ1 )
p=
e rappresenta una ellisse il cui semiasse maggiore ruota descrivendo in un periodo T del
moto imperturbato un angolo
1
mβ
∆φ = 2π 1 −
= 2π 2 + O(β 2 )
(3.5.8)
ω
L
La prima correzione al potenziale newtoniano prevista dalla teoria della relatività generale
è di questa natura ed induce un moto di precessione sulle orbite dei pianeti. La precessione
osservata nell’orbita di Mercurio costituisce una delle conferme sperimentali piú importanti
per la teoria della gravitazione di Einstein.
φ −φ
Veff
u1
E
u
−t
1
*
t
*
t
Figura 3.5.2. Orbita e legge oraria per il potenziale V =β/r 2 con β<−L2 /(2m).
Orbite quasi circolari Quando il potenziale efficace ha un minimo in u = uc e l’energia
ha un valore E min uguale ad esso, le orbite sono cerchi percorsi con velocità angolare
costante. Per energie E prossime a E min è lecita una approssimazione quadratica a V eff
1
V eff = E min + (u − uc )2 V 00eff + . . .
2
(3.5.9)
dove V 00eff indica la derivata seconda rispetto a u calcolata in uc e la equazione dell’orbita
diventa
mV 00eff
d2 u
2
2
+
ω
(u
−
u
)
=
0,
ω
=
(3.5.10)
c
dφ2
L2
c 88-08- 9820
3.5. Precessione, orbite quasi circolari
103
La soluzione data da
A2 =
u = uc + A cos ω(φ − φ1 ),
2m
E − E min
(E − E min ) = 2
2
2
ω L
V 00eff
(3.5.11)
è confinata in una corona circolare e rappresenta una curva, che è chiusa se ω è un numero
razionale, e che riempie densamente la corona se ω è irrazionale, vedi figura 3.5.3.
1
1
y
-1
-1
y
x
1
-1
-1
1
x
√
Figura 3.5.3. Orbite quasi circolari: ω=3/4 razionale a sinistra, ω= 2 irrazionale a destra.
Vettore di Runge–Lenz Le orbite ellittiche del potenziale V = −α/r indicano che esiste,
oltre L, un altro vettore costante R diretto secondo il semiasse maggiore. Tale vettore,
detto di Runge e Lenz è dato da
R = v × L − αnr
(3.5.12)
Per verificare che R è costante deriviamo rispetto a t
dR
α nr
=− 2
× mr 2 φ̇ k − αφ̇nφ = 0
dt
r m
(3.5.13)
Orientando l’asse polare secondo R, moltiplicando scalarmente la (3.5.12) per r e detto φ
l’angolo tra r e R, otteniamo
L2
− αr
(3.5.14)
Rr cos φ =
m
da cui si ricava la equazione della ellisse di eccentricità = R/α.
104
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3. Moti centrali
3.A. APPENDICE AL PROBLEMA DI KEPLERO
Deriviamo le formule scritte nel paragrafo 4 per la legge oraria nel problema di Keplero.
Calcolo dell’integrale I(µ, )
Con il cambiamento di variabile φ → τ , definito da (3.4.7), si ha
µ+ 2
1 + τ2
µ − τ
=
(µ
+
)
µ+ 2
µ+
1 + µ − τ2
µ − τ
φ
1−
1 − tan2 2
=µ+
µ + cos φ = µ + φ
1+
1 + tan2 2
(3.A.1)
e calcolando il differenziale di τ
dτ =
µ−
µ+
1/2
dφ
=
φ
cos2 2 2
1
µ−
µ+
1/2 φ
1 + tan
2
2
dφ
2
(3.A.2)
si trova
dφ =
µ+
µ−
1/2
2 dτ
µ+
1 + µ − τ2
(3.A.3)
L’integrale I(µ, ) assume la seguente espressione
I(µ, ) =
Z
φ
0
2
dφ0
= 2
0
µ + cos φ
(µ − 2 )1/2
Z
τ
0
dτ 0
2
arctan τ =
2 =
2
0
(µ − 2 )1/2
1+τ
(3.A.4)
=
(µ2
2
arctan
− 2 )1/2
"
µ−
µ+
1/2
tan
φ
2
#
Il calcolo della derivata rispetto a µ fornisce
"
µ−
µ+
#
φ
tan
+
2
1/2
1
1
φ µ+
2
2
tan
+ 2
=
2
1/2
µ
−
φ
2
2 µ−
(µ + )2
(µ − ) 1 +
2
tan
µ+
2
µ−
µ+
1/2
∂I
2µ
arctan
=− 2
∂µ
(µ − 2 )3/2
2µ
arctan
=− 2
(µ − 2 )3/2
"
1/2
(3.A.5)
#
φ
tan 2
φ
2
tan
+ 2
2
µ − 2 µ + + (µ − ) tan2 φ
2
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3.A. Appendice al problema di Keplero
105
Sostituendo nella espressione che dà la legge oraria si ha il risultato finale
"
#
1/2
1
−
∂I
t
φ
= 2 arctan
2π = −(1 − 2 )3/2
tan
−
T
∂µ µ=1
1+
2
2 1/2
− (1 − )
= 2 arctan
"
φ
2 tan 2
=
φ
1 + + (1 − ) tan2 2
1−
1+
1/2
(3.A.6)
#
sin φ
φ
− (1 − 2 )1/2
tan
2
1 + cos φ
Sviluppo perturbativo
Calcolando la derivata rispetto a del lato destro di (3.4.9) e valutandola in in = 0 si
ottiene lo sviluppo di Taylor al primo ordine in φ
tan 2
t
− sin φ + O(2 ) = φ − 2 sin φ + O(2 )
2π = φ − 2
φ
T
1 + tan2 2
(3.A.7)
Allo stesso risultato si giunge più semplicemente sviluppando al primo ordine in entrambi
i lati di (3.4.5). Il lato sinistro diventa 2πt/T + O(2 ), mentre il lato destro si valuta
scrivendo l’integrando 1 − 2 cos φ0 + O(2 ). Dopo una integrazione elementare si ritrova
(3.A.7).
Anomalia media
Usando le formule trigonometriche
φ
2 tan 2
,
sin φ =
2 φ
1 + tan 2
φ
1 − tan2 2
cos φ =
φ
1 + tan2 2
(3.A.8)
riesprimiamo t/T in funzione dell’anomalia media definita da (3.4.12)
t
2π = ψ − T
1−
1+
1/2
ψ
φ
2 tan 2
2 tan 2
== ψ − = ψ − sin ψ (3.A.9)
1 − tan2 φ
2 ψ
1+ 1
1
+
tan
+
2
2
106
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3. Moti centrali
Significato geometrico della anomalia media
Partendo dalla equazione dell’ellisse in coordinate polari (3.3.8) riesprimiamo r in funzione
della anomalia media. Usando le formule trigonometriche (3.A.8) si ha
2 φ
2
(1 − ) 1 + tan 2
a(1 − 2 )
1 − 2
=a
=
r=
=a
φ
φ
1 + cos φ
1 + + (1 − ) tan2 2
1 − tan2
2
1+
2 φ
1 + tan
2
φ
1 + tan2 ψ
1+ 1
1 + tan2 2
(3.A.10)
−
2 =
= a(1 − )
= a(1 − )
φ
ψ
1 − tan2
1+ 1
1 + tan2 2
+
2
ψ
1 − + (1 + ) tan2 2
1 − tan2
=a
= a − a
ψ
1 + tan2 2
1 + tan2
ψ
2 = a − a cos ψ
ψ
2
Passaggio a coordinate cartesiane
Per determinare l’equazione di un’orbita corrispondente alle condizioni iniziali x(0) =
x0 , y(0) = y0 , ẋ(0) = vx0 , ẏ(0) = vy0 occorre dapprima riesprimere i parametri dell’ellisse
p, attraverso gli integrali primi L, E.
1/2
α
2L2 E
m 2
L2
2
, = 1+
L = x0 vy0 − y0 vx0 , E = (vx0 + vy0 ) − 2
p=
2
mα
mα2
(x0 + y02 )1/2
(3.A.11)
Per determinare la fase φ1 dell’orbita corrispondente all’angolo che il semiasse maggiore
forma con l’asse x è conveniente usare il vettore di Runge-Lenz le cui componenti sono
αx0
αy0
Rx = L vy0 − 2
,
R
=
−L
v
−
(3.A.12)
y
x0
2
2
(x0 + y0 )1/2
(x0 + y02 )1/2
Il modulo del vettore è legato all’eccentricità R = α mentre φ1 è la fase di R definita da
(3.1.6) ove x, y, r sono sostituite da Rx , Ry , R. La equazione dell’orbita in coordinate polari
è (3.2.10) ed il passaggio a coordinate cartesiane è definito da (3.1.5). Per determinare la
legge oraria occorre usare
2π
mα2
t
= f (φ) − f (φ0 ),
=
(1 − 2 )3/2
(3.A.13)
3
T
T
L
dove φ0 è la fase del punto iniziale (x0 , y0 ) data da (3.1.6), T è il periodo e f (φ) è la
funzione definita dal lato destro di (3.4.9). Invertendo (3.A.13) con il metodo di Newton,
sostituendo in (3.2.10) si ottiene, tramite (3.1.5), la legge oraria in coordinate cartesiane
x = x(t), y = y(t).
2π