6. Pitagora - Euclide -Similitudine

Liceo Scientifico “G. Galilei” Trebisacce
Anno Scolastico 2012-2013
Prova di Matematica : Pitagora + Euclide + Similitidine
30.04.2013
prof. Mimmo Corrado
Alunno: ________________________________________________ Classe: 2 C
1. è uno degli infiniti triangoli aventi la base sulla retta e il terzo vertice
in un punto qualunque della retta parallela a e passante per . Fra gli
infiniti triangoli descritti sopra, quali hanno la stessa area di ?
soltanto il triangolo ’ , simmetrico di rispetto all’asse di soltanto il triangolo isoscele di base soltanto il triangolo rettangolo in e il triangolo rettangolo in tutti gli infiniti triangoli di base 2. Nella figura è rappresentato un cubo il cui spigolo misura 1 .
Quanto misurano i lati del triangolo ABC?
3. Occorre confezionare una tenda da sole per il balcone in figura. La tenda deve
essere fissata al muro a 3 m di altezza dal pavimento del balcone, che è largo
1 m. La tenda deve sporgere 0,5 m dalla ringhiera che è alta 1 m.
Determina la lunghezza della tenda.
4. La dimensione di un televisore è la misura della diagonale dello schermo espressa in pollici (1 pollice = 2,54 cm). Nei televisori
telev
di
nuova generazione il rapporto tra la larghezza e l’altezza dello schermo è 16:9.
! ...
a. Se la larghezza dello schermo di uno di questi televisori è circa 57,5 cm, qual è all’incirca la sua altezza ?
b. Da quanti pollici è il televisore ?
Numero pollici = . . .
5. In ciascuna delle seguenti figure, determina il valore incognito
x
12
27
15
40
6
x
4
3
30
x
6. Risolvi i seguenti problemi sui triangoli.
12 e Il trapezio ABDE ha una superficie di
Nel triangolo rettangolo ABC, AB
20 . Determina l’area del triangolo 192 cm . Sapendo che le basi misurano
BC
20 e 12 , determina
rettangolo .
l’area del triangolo .
In un triangolo rettangolo il rapporto fra un
"
cateto
to e la sua proiezione sull’ipotenusa è .
#
Sapendo che il perimetro del triangolo è
480 ,, determina l’area del triangolo.
7.. Un trapezio rettangolo è circoscritto a una circonferenza. Sapendo che l’altezza del trapezio misura 6 cm e la base minore misura 4
cm, calcola la misura del perimetro del trapezio.
6 e l’ipotenusa 8. Un triangolo rettangolo avente il cateto 10 è circoscritto a un semicirconferenza. Determina
la misura del raggio ?
Valutazione
Punti
Voto
0-3
2
4-8
3
9 - 13
3½
Esercizio
Punti
14 - 19
4
A1
2
20 - 25
4½
A2
3
26 - 31
5
A3
4
32 - 37
5½
A4
6
A5
15
38 - 43
6
44 - 49
6½
A6
30
50 - 55
7
A7
10
56 - 61
7½
A8
10
62 - 67
8
Totale
80
68 - 72
8½
73 - 76
9
77 - 80
10
Soluzione
1. è uno degli infiniti triangoli aventi la base sulla retta e il terzo
vertice in un punto qualunque della retta parallela a e passante per .
Fra gli infiniti triangoli descritti sopra, quali hanno la stessa area di ?
tutti gli infiniti triangoli di base 2. Nella figura è rappresentato un cubo il cui spigolo misura 1 .
Quanto
uanto misurano i lati del triangolo ABC?
1 ∙ √2 √2 &
' ()√2* ' 1 √1 ' 2 √3 3. Occorre confezionare una tenda da sole per il balcone in figura. La tenda
deve essere fissata al muro a 3 di altezza dal pavimento del balcone, che
è largo 1 . La tenda deve sporgere 0,5
5 dalla ringhiera che è alta 1 .
&2 ' 1,5 &4 ' 2,25 &6,25
&
2,5 4. La dimensione di un televisore è la misura della diagonale dello schermo espressa in pollici (1 pollice = 2,54 cm). Nei televisori
tele
di
nuova generazione il rapporto tra la larghezza e l’altezza dello schermo è 16:9.
a. Se la larghezza dello schermo di uno di questi televisori è circa 57,5 cm, qual è la sua altezza ?
b. Da quanti pollici è il televisore?
!
9
∙ 57,5 32,34375
16
, &57,5 ' 32,34 &4352
4352,37 0 66 5.. In ciascuna delle seguenti figure, determina il valore di 27
66
123344 0 26 123344 .
2,54
15
40
30
x
- ∶ - - ∶ -
- ∙ - 3 ∙ 40
- 30
-
4
Matematica
6
x
4
3
x
12
- ∶ -/ -/ ∶ -
-/ √- ∙ - √39 ∙ 12 √468 6√13
www.mimmocorrado.it
- ∶ - - ∶ -
5 ' 1566 ∶ 6 36 ∶ ∙ 55 ' 156
15 6 ∙ 36
' 15
7 216 0
- 9
2
20 . Determina l’area del triangolo
6.1. Nel triangolo rettangolo a lato, 12 e rettangolo .
Soluzione 1
Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha:
&
7 &20 7 12 √400
7 144 √256 16 √
12 ∙ 16
∙ 9,6 20
Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha:
&
7 &12 7 59,66 &144 7 92,16 &51,84 7,2 ∙ 7,2 ∙ 9,,6
-89:;92:
=>?@ 34,56 .
2
2
Soluzione 2
&
Applicando il T. di Pitagora: 7 √20 7 12 √400 7 144 √256
256 16 ∙ 12 ∙ 16
=>@A 96 .
2
2
] 90° ) si ha:
Dalla similitudine
imilitudine dei triangoli ABC e ABH ( Z 4; 2W;8 8 [ ≅ 96 ∙ 144 =>@? ∶ =>@A ∶ ;
=>@? ∶ 96 12 ∶ 20 ;
=>@? 34,56 400
6.2. Il trapezio ABDE ha una superficie di 192 cm . Sapendo che le basi misurano 20 e 12 , determina l’area
del triangolo .
Soluzione
E’:398FF: ,83 9:18F42 è:
Ponendo ⇒
∙HIJKL >@ MNO
' 12
∙^_
PM^
12 .
x
] 8 [ ≅ Z 90° ) si ha:
Dalla similitudine dei triangoli rettangoli ABC e CDE ( Z ≅ ∶ ∶ ;
20 ∶ 12 5 ' 126 ∶ ;
20 12 ∙ 5 ' 126 ;
144
20 12 ' 144 ;
8 144 ;
18
8
518 ' 126 30 .
Pertanto: 18 ⇒
L’area è: =>@A >@ ∙>A
P∙QP
300 .
6.3. In un triangolo rettangolo il rapporto fra un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa è
480 , determina l’area del triangolo.
D 1>@A 480 A
U
T
T " #
I
, con dominio di variabilità: a 0 , si ha:
Ponendo 1134:;,2 43 1° / ,4 W34,8 4 !::
Y
&
7 ∙ 60 7680;
Matematica
. Sapendo che il perimetro del triangolo è
" #
⇒
25 25
16 16
625 25 625 7 400 225 15
7
Y
Y
.
256
16
256
256
16
Utilizzando il perimetro 1 480 si ottiene:
' 480 ;
' #
=>@A ?
Soluzione
X;2398:
"
15
5
25
'
' 480 ;
16
4
16
128 .
128
⇒
15 ' 25 ' 20 7680
www.mimmocorrado.it
3
cW4;,4:
5
∙ 128 160 4
-89:;92 3 d :8: ,83 94:;e232 è:
=>@A 15
∙ 128 120 16
1
1
g ∙ 120 ∙ 160h 9600 .
⋅ ∙ 2
2
7. Un trapezio rettangolo è circoscritto a una circonferenza. Sapendo che
l’altezza del trapezio misura 6 cm e la base minore misura 4 cm, calcola la
misura del perimetro del trapezio.
Soluzione
Ponendo ' 4 .
⇒
Ricordando che un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se la
somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due lati, si ha:
' ' ;
' 4 ' 4 ;
6 ' Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo si ha:
' ;
5 ' 26 6 ' ;
8 , Pertanto 12 ,
' 2
' 4 ' 4 36 ' ;
10 ' 512 ' 10 ' 4 ' 66 32 .
21 ' ' 4 32 ;
8.
6 e l’ipotenusa 10 è
8. Un triangolo rettangolo avente il cateto circoscritto a un semicirconferenza. Determina la misura del raggio ?
Soluzione
Determiniamo la misura dell’altro cateto:
√35 7 21 √1225 7 441 √784 8 .
&
7 Ponendo il raggio i ij
⇒
6 7 8 7 .
j
e
con 0 < < 6
Dalla similitudine dei due triangoli i ~ ji si ha:
∶ ∶ ij i
j ;
48 7 6 7 8 ' ;
Pertanto il raggio Matematica
#
m
.
56 7 6 ∶ ∶ 58 7 6;
14 48;
56 7 658 7 6 ;
48 24
;
7
14
www.mimmocorrado.it
4