Soluzioni Triennio 2016 1. In Olanda Soluzione [ Un mulino
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Soluzioni Triennio 2016 1. In Olanda Soluzione [ Un mulino
Soluzioni Triennio 2016 1. In Olanda π3 Soluzione [ π2 ] Un mulino lavorando per una sola ora al giorno produce n (1/n) (1/n) (1/n) = 1/n2 quintali di farina. Di conseguenza m mulini lavorando per m ore al giorno producono in m giorni 1/n2 (m)(m)(m) = m3/n2 2. Quale volume? Soluzione [192 cm3] Indicando con a, b, c le misure delle tre dimensioni del parallelepipedo rettangolo, si ha: π β π = 32, π β π = 24, π β π = 48 Pertanto (ππ) β (ππ) β (ππ) = 32 β 24 β 48 π2 π 2 π 2 = 25 β (3 β 23 ) β (3 β 24 ) e π = πππ = 3 β 26 = 192 cm3 3. I pappagalli gialli Soluzione [5] A B C 1A 1B(g) 1C(g) 1ABC(g) 1ABC(g) 1ABC(g) 1AC(g) 1AB 1AC(g) 1AB 1BC(g) 1BC(g) 2 gialli 3 gialli 4 gialli I pappagalli gialli sono in totale 5 4. Premio di produzione Soluzione [800 β¬] Indicando con x numero dipendenti con figli a carico e y numero dipendenti senza figli (a carico) si ha x + y = 19 e (600 + p)x + py = 20000 si ottiene p = (20000 - 600x)/19 = 200(100 - 3x)/19; ma (100 - 3x) deve essere multiplo di 19 per cui si ottiene x = 8 y = 11 p = 800 β¬ 5. Le strane mediane A N P per ipotesi AM β₯ CN (il triangolo AGC è rettangolo) G B C M Ricordando che: a) in un triangolo rettangolo la mediana relativa allβipotenusa è uguale alla metà dellβipotenusa stessa b) le tre mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto e si dividono in parti tali che quella che contiene il vertice è doppia dell'altra, si ha AC = 2 AP = 2 PG = BG = 2/3 BP AG = 2/3 AM CG = 2/3 CN AC=2/3 BP E poiché il triangolo AGC è rettangolo verificheranno la relazione pitagorica anche AM, CN e PB 6. In giro in moto π£ 1 Soluzione [π£1 = 2] 3 Dati: π£1 · π‘ π£2 β (π‘ β 1) π£3 β (π‘ β 1) π£2 π£3 = 2 3 π£3 β (π‘ β 1) = π£1 β π‘ { π£2 β (π‘ β 1 + 2) = π£1 β (π‘ + 2) {2 π£3 β (π‘ β 1) = π£1 β π‘ π£ 3 3 β (π‘ + 1) = π£1 β (π‘ + 2) π£1 π£3 {π£1 π£3 = = π‘β1 π‘ 2(π‘+1) 3(π‘+2) Uguagliando i secondi membri si ottiene 2π‘ (π‘ + 1) = 3(π‘ β 1)(π‘ + 2) cioè l'equazione risolvente π‘ 2 + π‘ β 6 = 0 che ha come soluzione accettabile π‘ = 2. Pertanto π£1 π£3 = 1 2 7. Le tre aree Soluzione [area (ABCD) = X+Y +2βXY] D C area (DCE) = X area (ABE) = Y K E H A B area (ADC) = area (BCD) (stessa base DC e stessa altezza) area (ADE) = area (BCE) = a X= ½ DE · CH Y= ½ EB ·AK area (BCE) = ½ EB · CH area (ADE) = ½ DE · AK da cui EB/DE = area (BCE)/X = a/X da cui EB/DE = Y/area(ADE) = Y/a Pertanto a/X= Y/a ovvero XY = a2 quindi a =βXY e area (ABCD) = X+Y +2βXY 8. Differenza di cubi m, n = m + 1 (π + 1)3 β π3 = π3 + 1 + 3π2 + 3π β π3 = 3π(π + 1) + 1 Poiché 3π(π + 1) è pari per ogni m β 0 pertanto il successivo 3π(π + 1) + 1 è dispari e non è divisibile per 2; poiché 3π(π + 1) è un multiplo di 3 pertanto il successivo 3π(π + 1) + 1 non è divisibile per 3 9. Numeri triangolari, numeri quadrati Il numero triangolare n-esimo è a) π(π+1) + (π+1)(π+2) 2 π(π+1) b) 8 β 2 2 = π(π+1) 2 2π2 +4π+2 2 ; il numero quadrato n-esimo è π2 = π2 + 2π + 1 = (π + 1)2 + 1= 4π2 + 4π + 1 = (2π + 1)2 10. La pecora nel prato π 3β3 Soluzione [π = 2 β π ] La lunghezza della corda è uguale al raggio R di un settore circolare avente lβangolo al centro corrispondente di 60° e di area pari alla metà di quella del triangolo. Area del triangolo = π2 β3 4 Area settore circolare = Pertanto ππ 2 6 1 π2 β3 =2β 4ππ 2 = 3β3π 2 ππ 2 6 4 π 3β3 e π = 2β π