Tra tutti i triangoli rettangoli di data ipotenusa a , trovare quello di

Tra tutti i triangoli rettangoli di data ipotenusa a , trovare quello di area massima.
Soluzione 1
Posto AB  x
si ha:
AC  a 2  x 2
con 0  x  a .
La funzione da rendere massima è:
S x  
1
x  a2  x 2
2
Agli estremi x  0
S I x  

1
2
e
x  a il triangolo degenera nell’ipotenusa a .

 2x
 1  a 2  x 2  x 

2 a2  x 2



1  2  a2  x 2  2 x 2 
1  2 a2  2 x 2  2 x 2 







 
2 
2  2 a 2  x 2



2 a2  x 2
1 a2  2 x 2

.
2 a2  x2
2
S I x   0 ;
a
non accettabile
2
a
x
2
x
2
1 a  2x

0 ;
2
a2  x 2
a2  2 x 2  0 ;
Essendo:
1
0  a2  0 2  0
2
1
S a   a  a 2  a 2  0
2
S 0  
Il Massimo assoluto è M 

2
assunto nel punto x 
2
 a 
1 a
 a 
a
S 
 a 2  
 
 

2 2
4
 2
 2
a2
4
a
2
2
a
a2
a
a2
a
a
 a 
1 a
 a 
a2
Infatti: S 
 a 2  
 a2 





 
 
2
2
2 2
4
2 2
2 2
2 2
2
 2
 2
a
Per x 
l’altro cateto: AC  a 2  x 2 
2
 a 
a  

 2
2
Pertanto, fra tutti i triangoli rettangoli di data ipotenusa
Matematica
2

a2 
a2

2
a2
a

2
2
a , quello di area massima è il triangolo rettangolo isoscele.
www.mimmocorrado.it
1
Soluzione 2
Posto AB  x
si ha:
AC  a 2  x 2
con 0  x  a .
La funzione da rendere massima è:
S x  
1
x  a2  x 2
2
Agli estremi x  0
S I x  

1
2
e
x  a il triangolo degenera nell’ipotenusa a .



 2x 
1  2  a2  x 2  2 x 2 
1  2 a2  2 x 2  2 x 2 


 1  a 2  x 2  x 





 
2 
2  2 a 2  x 2
2 a 2  x 2 
2 a2  x 2



1 a2  2 x 2

.
2 a2  x2
S I x   0 ;
1 a2  2 x 2

0 ;
2
a2  x 2
S x   0 ;
1 a2  2 x2

0 ;
2 a2  x2
I
NO
a2  2 x 2  0 ;
x
a
.
2
a
a
x
2
2
x  DS ( x )
a2  2 x 2  0

a2  x 2  0
a
2
0
S I x 
a

a
a
x
2
2
NO

+
S x 
Il punto di massimo si ha per: x 
Per x 
a
.
2
a
l’altro cateto: AC  a 2  x 2 
2
 a 
a 2  

 2
Pertanto, fra tutti i triangoli rettangoli di data ipotenusa
Matematica
2

a2 
a2

2
a2
a

2
2
a , quello di area massima è il triangolo rettangolo isoscele.
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