problemi sulla similitudine

Modulo 11 – Unità 2. Similitudine: Problemi
N. 92
Posto AB=h e CD=k, dalla similitudine dei triangoli rettangoli
CDA e DAB si ricava la seguente proporzione:
AD : AB = DC : AD e di conseguenza AD2 = kh e AD = √kh. Per
BC si applica il teorema di Pitagora al triangolo CH (disegnare
l'altezza da C...) ottenendo CB = √(h2 + k2 – kh).
Area = …... perimetro = …......
N. 93
Posto OP = x, dalla similitudine dei triangoli
rettangoli O'Q'P e OPQ si ricava la
proporzione: O'Q' : OQ = O'P : OP.
Sostituendo i valori noti O'Q'=R e OQ=r si
ottiene l'equazione:
R : r = (x+R+r) : (x+r) che risolta rispetto a x
dà come soluzione
x=
r2
R− r
N. 95
Con riferimento alla figura, si pone
AH=x
CH=y
CD=2r
I triangoli rettangoli ACH e AHD sono simili e si può scrivere la
seguente proporzione:
CH : AH = AH : HD da cui sostituendo:
y : x = x : (2r – y).
Ricordato che per ipotesi AB + CH =CD e quindi 2x + y = 2r
si risolve il sistema di 2° grado:
 x 2 = y ( 2r − y )

 2 x + y = 2r
esplicitando y dalla seconda equazione e risolvendo rispetto a x l'equazione risolvente di 2° grado,
si ricavano le soluzioni x1=0 e x2 = 4r/5 , di cui solo la seconda è accettabile. Infine CH=y=...2r/5.
Altri problemi
Sezione aurea di un segmento
Dato un segmento AB, si dice sua sezione aurea il segmento AC, con C
interno ad AB, che risulta medio proporzionale tra AB e BC. Detto in
altre parole, si tratta di dividere un segmento in due parti, tali che la
maggiore sia media proporzionale tra l'intero segmento e la parte
rimanente.
Supposta l la lunghezza di AB, per determinare la lunghezza della sua sezione aurea basta risolvere
l'equazione:
l : x = x : (l – x)
→
x2 + lx – l2 = 0
che ha come soluzioni:
x=
− l± l 5
. Scartata la soluzione negativa, si conclude che la lunghezza cercata è
2
(
)
5 − 1l
≅ 0.62l
2
Per la costruzione della sezione aurea con riga e compasso vedi il libro di testo a pag. 72 – Esercizio
svolto (N.B. La costruzione richiede di applicare il teorema “della secante e della tangente” di
pag. 61).
Rettangolo aureo
Si definisce tale un rettangolo in cui un lato è la sezione aurea dell'altro;
in figura, AD è la sezione aurea di AB. Se sul lato minore AD si
costruisce un quadrato interno al rettangolo, si ottiene un nuovo
rettangolo che è ancora aureo (perché...?). Ripetendo il procedimento sul
nuovo rettangolo aureo se ne otterrà un altro, e così via...
Una proprietà notevole dei rettangoli aurei ottenuti in questo modo è che
tracciando in ogni quadrato un quarto di circonferenza, si ottiene una
curva detta spirale logaritmica, la cui proprietà è che allungandosi
mantiene sempre la stessa forma.
Triangolo aureo
Si definisce tale un triangolo isoscele con l'angolo al vertice di 36°, e quindi con gli angoli alla base
di 72°. In tale triangolo la bisettrice di uno degli angoli alla base divide il lato opposto in due parti,
tali che quello che contiene il vertice è la sezione aurea del lato obliquo del triangolo (perché...);
inoltre esso è congruente alla base del triangolo isoscele (perché...)
Poligoni in cui è possibile trovare triangoli aurei:
decagono regolare (vedi figura)
pentagono regolare e stellato (vedi figura)