LA SEZIONE AUREA

LA SEZIONE AUREA
“La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l'altro è la divisione
di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a
una certa quantità d'oro, e definire il secondo una pietra preziosa”
Giovanni Keplero
La più antica testimonianza sul rapporto aureo ci viene da Euclide, nei suoi Elementi (300
a.C.) La sezione area, o rapporto aureo, numero aureo o proporzione divina, indica un
rapporto b/a tra due grandezze a e b diseguali (con a<b), tali che la minore delle due, cioè
a, sia media proporzionale tra l’altra, ossia b, e la loro differenza: b : a = a : (b-a)
Risolvendo questa proporzione si trova:
√
Dato un segmento AB, prendiamo su di esso un punto C e poniamo CB=a e AB=b; si dice
che CB=a è sezione aurea di AB=b se CB è medio proporzionale tra AB e AC:
Sostituiamo nella proporzione:
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi:
Risolviamo l’equazione :
Prendendo l’unica soluzione positiva, si ha:
( )
( )
√
√
Il valore del numero aureo o divino è circa pari a: 1,6180339887..
Esso è un numero irrazionale, cioè non è esprimibile come rapporto tra numeri interi, ma è
algebrico, cioè è soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti interi, rappresentata
dall’equazione sopra scritta, da cui si deduce una delle proprietà del numero aureo:
Se si considera la successione di Fibonacci, il valore di è approssimato, sempre meglio
al crescere di n, dal rapporto tra due termini successivi a n+1 e an della
successione:
Fu il matematico Mark Barr a introdurre l'uso di indicare tale rapporto con la lettera greca
(phi, in minuscolo), dall'iniziale dello scultore greco Fidia (in greco Φειδίας), il quale
avrebbe usato il rapporto aureo per creare le sculture del Partenone. Il rapporto aureo si
trova in molti elementi della natura che ci circonda e in molte opere d’arte.
√
La soluzione negativa dell’equazione, presa in valore assoluto, ossia
, è circa uguale
0.618...; questo valore viene contrassegnato con la lettera greca Φ (Phi, in maiuscolo) e
viene chiamato anche numero d’argento. Osserviamo che esso è pari al reciproco del
√
numero aureo:
√
ossia
√
IL RETTANGOLO AUREO
Un rettangolo ABCD si dice rettangolo aureo se il rapporto
tra i suoi lati è pari a :
(
)
(
√
)
Da cui si ottiene:
ossia
Immaginando poi di sottrarre a questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore,
la parte di figura restante sarà a sua volta un rettangolo aureo. Le dimensioni di
quest’ultimo sono perciò minori del rettangolo di partenza di un fattore pari a phi.
Tracciando poi due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli (quello di
partenza e quello che ne deriva), si trova che tutte le diagonali passano per il medesimo
punto. Si può quindi affermare che una serie geometrica di
rettangoli aurei sempre più piccoli converga intorno a quel
punto, senza mai raggiungerlo. Ispirandosi alle proprietà
divine attribuite a phi, il matematico Clifford A. Pickover ha
chiamato tale punto “l’occhio di Dio”. Interessante notare,
poi, come non soltanto le diagonali vere e proprie si
intreccino in questo particolare punto del rettangolo aureo,
ma anche altre rette colleganti ulteriori punti notevoli di
questo vorticoso accentramento.
DECAGONO E SEZIONE AUREA
Determiniamo ora alcune relazioni che ci serviranno nell’analisi matematica dei poliedri
regolari e semiregolari.
Dimostriamo innanzitutto che il lato del decagono inscritto è sezione aurea del raggio della
circonferenza in cui il poligono regolare è inscritto. Se indichiamo con AB il lato del
decagono regolare inscritto e con OA=OB=r il raggio della circonferenza circoscritta al
decagono regolare, dimostriamo che si ha:
√
La corda AB insiste su un angolo al centro di 36° (essendo
Poiché
, il triangolo AOB, di
base AB, è isoscele e quindi gli angoli alla base di tale
triangolo sono di 72°. Un triangolo con gli angoli che
misurano 72°, 72°, 36° è chiamato proprio triangolo aureo.
Tracciamo la bisettrice AP dell’angolo ̂ .
L’angolo ̂
e quindi per differenza di angoli,
̂
l’angolo
.Il triangolo PAB è isoscele sulla base
BP e quindi AB=AP. Anche il triangolo APO è isoscele,
perché gli angoli alla base ̂
AP=PO.
̂
, e quindi
risulta
Il triangolo BAP è simile al triangolo ABC (per il I criterio di
similitudine dei triangoli, avendo i due triangoli gli angoli
congruenti).Posso mettere in proporzione i lati
Ma
ossia AB è medio proporzionale tra OB=r e PB=r-AB, cioè è
sezione aurea del raggio.
√
Per il Teorema della corda
√
; ma
√
espressioni si ottiene
, per cui uguagliando le due
√
√
√
Grazie alla prima identità fondamentale si ricava:
√
E ora, grazie alle formule di duplicazione, posso calcolare la cotangente di 36°, angolo al
centro della circonferenza circoscritta al pentagono, su cui insiste il lato del pentagono
stesso.
√
(
√
√
√
√(
√
√
√ )(
√ )
√
√
√
√
√
√
√
√
)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
PENTAGONO E SEZIONE AUREA
Anche il pentagono è legato alla sezione aurea: il lato DB del pentagono è la parte aurea
della diagonale AD. Quindi: AB: DB=DB:BC.
Infatti all’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali un triangolo dagli
angoli con misura 72°, 72°, 36°, cioè un triangolo aureo. Perciò, per quanto dimostrato
prima, DB è parte aurea della diagonale AD, e quindi il rapporto di AD con DB è ancora
una volta pari a phi.
√
Il pentagono stellato (o pentagramma o pentalfa o
pentacolo) era un antico simbolo esoterico usato dagli Egizi
per raffigurare Horus, il Sole. Rappresentava la materia
prima alchemica, sorgente inesauribile di vita, fuoco sacro,
germe universale di tutti gli esseri.
In seguito divenne uno dei simboli esoterici della scuola dei
pitagorici, e veniva detto “cinque alfa”, perché
rappresentava i cinque elementi: Aria, Acqua, Terra, Fuoco
(già convalidati da Empedocle) e Spirito (aggiunto da
Pitagora). Se tracciamo tutte le diagonali di un pentagono,
si ottiene una stella a cinque punte al cui interno ritroviamo
un secondo pentagono, e così via. Il fatto di poter creare una serie di pentagoni e
pentagrammi inseriti gli uni dentro gli altri proseguendo all’infinito può essere usato per
dimostrare che la diagonale e il lato del pentagono sono incommensurabili, ovvero che il
rapporto delle loro lunghezze, pari a phi, non può essere espresso come rapporto tra
numeri interi: phi perciò si rivela essere uno dei primi numeri irrazionali scoperti.