Le trasformazioni geometriche

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Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Le trasformazioni geometriche
Definizione
Una trasformazione geometrica dei punti del piano è una corrispondenza biunivoca tra i punti del
piano: ad ogni punto P del piano corrisponde uno e un solo punto P’ del piano e viceversa.
Studieremo alcune importanti trasformazioni geometriche quali isometrie, similitudini e affinità.
ISOMETRIE
(o movimenti rigidi)
Le isometrie (   uguale ,   misura ) sono le trasformazioni geometriche che
conservano la distanza tra i punti cioè se A e B sono una qualunque coppia di punti del piano e A’
e B’ sono le loro immagini (i punti trasformati di A e B ) allora si ha che
AB  A' B '
Traslazione

E’ l’isometria in cui, fissato un vettore v , tutti i punti del piano si

spostano secondo il vettore v (vedi figura).


Indicheremo la traslazione di vettore v con il simbolo t ( v ) .
Si può facilmente dimostrare che se una retta r si trasforma in r ' si ha che r // r ' .
114
- Le trasformazioni geometriche Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale , possiamo anche determinare l’equazione


della traslazione di vettore v (a, b) (a e b coordinate di v considerando il suo primo estremo
nell’origine): si osserva che P x, y   P'  x  a, y  b  e quindi possiamo scrivere
 x'  x  a
t (v ) 
 y'  y  b

Traslazione di una curva di equazione assegnata
Come possiamo trovare l’equazione di una curva di data equazione traslata

secondo una traslazione t ( v ) ?
Esempio
Consideriamo per esempio la retta r : y  2 x  1 e la traslazione t (3,1) .
Sappiamo quindi che le equazioni della traslazione sono
 x'  x  3

 y'  y  1
Per poter scrivere l’equazione di r ' occorre ricavare x e y dalle equazioni della traslazione e
sostituire nell’equazione di r .
Abbiamo
 x  x'3

 y  y '1
Sostituendo: y '1  2   x'3)   1  y '  2 x'4
Se poi chiamiamo di nuovo x e y le coordinate abbiamo che
l’equazione di r’ risulta y  2 x  4 (come si può verificare dal
disegno).
115
Composizione di traslazioni
Comporre due trasformazioni significa farle agire “in successione” .




In particolare se P è un punto del piano e t ( v 1 ) , t ( v 2 ) sono due traslazioni di vettori v 1 e v 2 , la


composizione t ( v 2 )  t ( v 1 ) agirà così:


t( v1)
t( v 2 )
P  P'  P' '



Attenzione: quando si scrive t ( v 2 )  t ( v 1 ) si intende che agisca prima t ( v 1 ) : in questo caso però


non cambia niente se faccio t ( v 1 )  t ( v 2 ) e si dice che la composizioni di traslazioni gode della
proprietà commutativa.


Come risulta la trasformazione t ( v 2 )  t ( v 1 ) ?
(vedi scheda relativa del laboratorio di informatica).
116
Rotazione
Una rotazione è individuata dal centro di rotazione O e dall’ampiezza dell’angolo (orientato)
 della rotazione: la indicheremo con R (O,  ) .
R (O ,  )
Nel caso della rotazione esiste un punto del piano che viene trasformato in se stesso (il centro di
rotazione) e viene detto punto “unito”.

Osserviamo invece che nella traslazione t ( v ) non c’è nessun punto unito.
R ( 0 , )
Si può dimostrare che se
r  r ' le rette r e r’ formano un angolo uguale ad  .
Rotazione in cui il centro coincide con l’origine del sistema di riferimento
Ricaviamo l’equazione della rotazione R (O,  ) (O = origine del sistema di riferimento).
Osservando la figura si ha:




 x'  OP'  cos(   )  OP  cos   cos   sen  sen   OP  cos   cos   OP  sen  sen

 y '  OP'  sen     OP  ( sen  cos   cos   sen )  OP  cos   sen  OP  sen  cos 
Ma
x  OP  cos 
y  OP  sen



 x '  x  cos   y  sen

 y '  x  sen  y  cos 
e quindi
117

- Le trasformazioni geometriche All’equazione della rotazione R (O,  ) si può quindi associare la “matrice”
 cos 

 sen
 sen 

cos  
Esempio
Scriviamo le equazioni della rotazione di centro O e angolo   45 .
Avremo:
1

 x'  2  x  y 
R(O,45)
 y'  1 x  y 

2
Rotazione con centro diverso dall’origine del sistema di riferimento
Se il centro C della rotazione è diverso dall’origine O del sistema di riferimento, basta
considerare che rispetto ad un sistema di riferimento di origine C le coordinate di P sarebbero
x  xC e y  y C e le coordinate di P’ x' xC e y ' y C e quindi avremo:
 x' xC   x  xC   cos    y  y C   sen
 x'   x  xC   cos    y  y C   sen  xC


 y ' y C   x  xC   sen   y  y C   cos 
 y '   x  xC   sen   y  y C   cos   y C
118
Rotazione di una curva di equazione assegnata
Come si ottiene l’equazione di una curva ruotata secondo una data rotazione
R (O,  ) ?
Esempio
Consideriamo per esempio l’iperbole x 2  y 2  1 e applichiamo la rotazione R (O,45) .
Abbiamo visto che le equazioni della rotazione sono:
1

 x'  2  x  y 

 y'  1 x  y 

2
Ma per ottenere l’equazione dell’iperbole ruotata dobbiamo ricavare (come avevamo fatto
nell’esempio della traslazione nel caso della retta) la x e la y.
Dopo qualche passaggio otteniamo:
1

 x  2  x' y '

 y   1  x' y '

2
Nota
Possiamo evitare di fare troppi calcoli per ricavare x,y in funzione di x’,y’ pensando che la
trasformazione che porta P'  x' , y '  P x, y  è la trasformazione “inversa” e cioè in questo caso
la rotazione RO,45 che ha equazioni:
1
1

x
x'
y'

 x  cos(45) x' sen(45) y '
2
2



 y  sen(45) x' cos(45) y '  y   1 x' 1 y '

2
2
che è proprio quello che avevamo trovato.
Se quindi
otteniamo :
sostituiamo
nell’equazione
x2  y2  1
1
1
1
2
2
  x' y '    y ' x'  1  .....  x' y ' 
2
2
2
Quindi l’equazione dell’iperbole ruotata risulta x  y 
119
1
.
2
Simmetria assiale
La simmetria rispetto ad una retta r (asse della simmetria) (e che indicheremo con S r ) trasforma
tutti i punti come mostrato in figura con PH  P' H .
Tutti i punti della retta r sono fissi (punti “uniti”).
Osservazione: componendo una simmetria assiale con se stessa si trova la situazione iniziale (si
dice che si ottiene la trasformazione identica indica con id ):
S r  S r  id
Nota
La rotazione di centro O e angolo   180 viene anche detta simmetria centrale (di centro O)
ed ha la stessa proprietà della simmetria assiale cioè R (O,180)  R (O,180)  id .
120
Nel piano cartesiano vediamo come risulta l’equazione della simmetria assiale rispetto alla retta r.
Vediamo solo alcuni semplici casi.
a) Se r coincide con l’asse x le equazioni sono chiaramente le seguenti
 x'  x

 y'   y
b) Se r coincide con l’asse y le equazioni sono chiaramente le seguenti
 x'   x

 y'  y
c) Se r coincide con la bisettrice del primo e terzo quadrante le equazioni sono:
 x'  y

 y'  x
121
Composizione di due simmetrie assiali
Quale trasformazione si ottiene componendo due simmetrie assiali?
Componendo due simmetrie assiali con assi paralleli si ottiene una traslazione di vettore
perpendicolare alle rette e di modulo doppio della distanza tra le rette.
Componendo due simmetrie assiali con assi incidenti si ottiene si ottiene una rotazione intorno al
punto di intersezione delle due rette e di angolo doppio dell’angolo formato dalle due rette.
Vedi scheda del laboratorio di informatica.
E’ importante l’ordine in cui si eseguono le trasformazioni: infatti se per esempio S r2  S r1 dà una
data traslazione , S r1  S r2 dà la traslazione opposta.
Osservazione importante
La traslazione e la rotazione conservano “l’orientamento” di una figura mentre la simmetria
assiale non conserva “l’orientamento” della figura e: se percorriamo la figura F in senso
antiorario, la sua trasformata F’ viene percorsa in senso orario (passando dai punti
corrispondenti).
Per questo traslazioni e rotazioni vengono dette isometrie “dirette” e la simmetria assiale viene
detta isometria “inversa”
122
Le isometrie sono solo traslazioni, rotazioni e simmetrie assiali ?
Consideriamo due figure
F e F’(per
semplicità
prendiamo
due
triangoli)
congruenti: vediamo che è possibile
trasformare F  F ' con al massimo tre
simmetrie assiali.
Se A  A' cominciamo a portare
A  A' con la simmetria rispetto a r1 =
asse del segmento AA’.
Se il lato AB non va a coincidere con
A’B’ e si ha un segmento A’ B’’ allora
si esegue la simmetria rispetto a
r2 =bisettrice dei lati A’B’ e A’B’’ in
modo che B ' '  B '
Se il terzo vertice del triangolo non
coincide ancora si esegue l’ultima
simmetria rispetto alla retta r3 = retta per
A’ e B’.
123
- Le trasformazioni geometriche Quindi le isometrie possono essere:

una simmetria assiale;

la composizione di due simmetrie assiali  traslazione o rotazione;

la composizione di tre simmetrie assiali
Vediamo quindi quest’ultimo caso.
a)
Se i tre assi sono incidenti in O viene una simmetria: infatti se a,b,c sono le tre rette e
dobbiamo determinare S c  S b  S a poiché la
composizione S b  S a è una rotazione intorno a

O di un angolo 2  ab possiamo sostituire alla
coppia a,b la coppia r,c prendendo r tale che


rc  ab (vedi figura).
Allora avremo che :
Sc  (Sb  S a )  Sc  (Sc  S r )  (Sc  Sc )  S r  S r
b)
Se i tre assi sono paralleli viene una simmetria poiché possiamo sostituire la coppia di rette
a,b con le rette r,c con r retta parallela a c e alla stessa distanza di a da b cioè
d (a, b)  d (r , c) e abbiamo:
S c  (S b  S a )  S c  (S c  S r )  (S c  S c )  S r  S r
124
c) Se due assi sono incidenti e il terzo asse è parallelo ad uno dei due oppure è incidente a
entrambi ma non nello stesso punto , consideriamo per esempio le tre rette a,b,c in figura: poiché
la rotazione che si ottiene componendo S b  S a si può ottenere componendo le simmetrie rispetto
ad un’altra coppia passante per il loro punto di intersezione e formante lo stesso angolo scegliamo
la coppia a’,b’ con b’ perpendicolare a c.
Possiamo a questo punto sostituire la coppia b1 ,c (che dà una rotazione di 180) con un’altra
coppia di rette perpendicolari b2 , c1 con b2 parallela a a1 e in conclusione abbiamo:
S c  ( S b  S a )  S c  ( S b1 S a1 )  ( S c  S b1 )  S a1  ( S c1  S b2 )  S a1 
S c1  t 
v

con v // c’
125

La composizione di una simmetria di asse r con una traslazione di vettore v// r viene detta
“simmetria con scorrimento” o “glissosimmetria” (da glisser che in francese significa
scivolare).
Osservazioni
Osserviamo che l’ordine in cui si applica simmetria e traslazione è indifferente e che il punto
medio di due punti corrispondenti appartiene all’asse di simmetria.
In conclusione le isometrie sono solo traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali, glissosimmetrie.
Se un’isometria è diretta è una traslazione o una rotazione, se è inversa è una simmetria assiale o
una glissosimmetria.
126
Esempi
Esempio 1
Dati triangoli F e F’ in figura qual è l’isometria che
trasforma F  F ' ?
Si tratta di un’isometria “diretta” perché l’orientamento della figura è conservato e quindi dal
momento che non è chiaramente una traslazione non può che essere una rotazione.
Per determinare il centro di rotazione possiamo pensare che i punti A e A’ hanno la stessa
distanza dal centro e lo stesso accade per B e B’: il centro O di rotazione è quindi l’intersezione

degli assi di AA’ e BB’ e l’angolo di rotazione è   AOA' .
127
Esempio 2
Determina l’isometria tale che F  F '
Poiché questa volta si tratta di un’isometria inversa si può trattare di una simmetria assiale o di
una glisso simmetria e dal momento che l’asse di AA’ non coincide con quella di BB’ vuol dire
che si tratta di una glisso simmetria e quindi si può procedere ricordando che il punto medio di
punti corrispondenti appartiene all’asse di simmetria e quindi l’asse di simmetria sarà la retta r
passante per i punti medi di coppie di punti corrispondenti, per esempio M(A,A’) e M(B,B’) , e si
individuerà poi facilmente il vettore traslazione parallelo a r.
128
Esercizi sulle isometrie
1) Determina l’isometria che
trasforma F  F ' .

[glisso simmetria di asse r : y   x  5 e traslazione di vettore v (4;4) ]
2) Determina l’isometria che trasforma F  F ' .
[ RO' 3;6 ;90 ]
3) Componi la rotazione di centro O e angolo 90° con la traslazione di vettore (2;2): scrivi le
equazioni della trasformazione composta. Di quale trasformazione si tratta?
Si ottiene la stessa cosa applicando prima la traslazione e poi la rotazione cioè eseguendo
R(O,90)  t (2;2) ?
Suggerimento:  x; y    y; x    y  2; x  2  quindi…
Dopo aver osservato che deve essere una rotazione poiché risulta un’isometria diretta in
quanto composizione di isometrie dirette e non può essere una traslazione, per determinare il
centro O’ della rotazione ricordiamo che O’ è l’unico punto “unito”…..
 x'   y  2
[ 
R(O' (0;2),90) ; no]
 y'  x  2
129
- Le trasformazioni geometriche 4) Componi la rotazione RO;90 con la simmetria rispetto alla retta y  x : scrivi le equazioni
della trasformazione composta. Di cosa si tratta?
Se consideri invece R O;90   S y  x cosa ottieni?
 x'  x
 x'   x
[ S assex 
; S assey 
]
 y'   y
 y'  y
5) Come si trasforma la retta di equazione y  3 x  1 applicando la traslazione t (1,4) ?
Scrivi le equazioni della trasformazione.
 x'  x  1
[ 
y  3x  2 ]
 y'  y  4
6) Come si trasforma la parabola di equazione y  x 2 applicando la traslazione t (1,2) ?
[ y  x 2  2x  1 ]
7) Come si trasforma l’iperbole di equazione x 2  y 2  4 applicando R (O;45) ?
Scrivi le equazioni della trasformazione.
1

 x'  2  x  y 
[
x y  2 ]
1
 y' 
x  y 

2
8) Considera la composizione t 1;2   S assex e scrivi le equazioni della trasformazione composta.
Come si trasforma la curva y  2 x applicando questa trasformazione composta?
 x'  x  1
[
y  2 x 1  2 ]
 y'   y  2
9) Considera l’esercizio precedente. Si ottiene lo stesso risultato applicando prima la traslazione e
poi la simmetria ? Come risulta l’equazione della curva trasformata da S assx  t (1;2) ?
[no ; y  2 x 1  2 ]
 
10) Applica alla curva y  senx la traslazione t  ;0  . Come risulta l’equazione della curva
2 
traslata? A cosa corrisponde?


[ y  sen x   ; y   cos x ]
2

130
SIMILITUDINI
Cominciamo con lo studio dell’omotetia.
Omotetia
Si chiama omotetia di centro C e rapporto k (con k numero reale diverso da zero) e la
indicheremo con  C, k  , quella trasformazione geometrica tale che se


P  P' si ha CP'  k CP
Proprietà dell’omotetia
Consideriamo una semplice figura, per esempio un triangolo, e vediamo come si trasforma
applicando un’omotetia: osserviamo che l’omotetia ingrandisce o riduce il triangolo a seconda che
k  1 o k  1 , lasciandone inalterata la forma.
Naturalmente se k=1 si ha la trasformazione identica.
Vediamo alcuni esempi ( il centro dell’omotetia è stato indicato con O).
 (O ,2)
131
1
 (O, )
3
1
 (O, )
3
Più precisamente:

una retta viene trasformata in una retta ad essa parallela e quindi si conservano le


ampiezze degli angoli cioè per esempio BAC  B ' A' C ' ecc.;

il rapporto tra segmenti corrispondenti è uguale a k cioè A' B'  k  AB ;

se k  0 due punti corrispondenti si trovano sulla stessa semiretta di origine C mentre se
k  0 punti corrispondenti appartengono a semirette opposte di origine il centro
dell’omotetia.
132
Le equazioni dell’omotetia nel piano cartesiano
a) Se il centro C  O
(origine del sistema di riferimento) , dal momento che se


P x; y   P'  x' ; y ' si ha OP'  k OP , per il teorema di Talete dovrà essere x'  kx e y '  ky e
quindi abbiamo:
 x'  kx
 O, k 
 y '  ky
Nota
Se k  1 si ha l’identità, mentre se k  1 si ha la simmetria rispetto all’origine (o rotazione di
180° rispetto a O ) di equazioni
 x'   x
 O,1
 y'   y
133
b) Se il centro C dell’omotetia non coincide con O (origine del sistema di riferimento) possiamo
pensare di traslare il sistema di riferimento portando l’origine in C: le coordinate di P nel sistema
di riferimento traslato risultano x  xC ; ; y  y C  e quelle di P’  x' xC ; y ' y C  e quindi abbiamo:
 x'  k   x  xC   xC
 x' xC  k   x  xC 
 C , k 

 y ' y C  k   y  y C   y '  k   y  y C   y C
 x'  kx  kxC  xC
 x'  kx  p

Se sviluppiamo abbiamo 
 y '  ky  q
 y '  ky  kyC  y C
 x'  kx  p
Quindi le equazioni dell’omotetia  C, k  si presentano in genere nella forma 
 y '  ky  q
dove k è il rapporto di omotetia, ma come si determina il centro ?
Possiamo ricavarlo ricercando il punto “unito” della trasformazione (il punto cioè che si trasforma
in se stesso).
 x'  2 x  1
Facciamo un esempio: per trovare il centro dell’omotetia di equazioni 
 y'  2 y  4
2 x  1  x
 x  1
possiamo risolvere 

e quindi si tratta dell’omotetia di rapporto k  2 e
2 y  4  y
y  4
centro C  1;4  .
Composizione di omotetie
Componendo due omotetie di rapporti k1 e k 2 e aventi lo stesso centro C si ottiene un’omotetia
dello stesso centro e di rapporto k1  k 2 .
Infatti se consideriamo per semplicità C  O
1
2
x; y k1 x, k1 y k2 k1 x , k2 k1 y   k1  k2  x, k1  k2  y 
Componendo due omotetie di rapporti k1 e k 2 ma aventi centri diversi prova a dimostrare che si
ottiene un’omotetia (rispetto ad un altro centro) quando k1  k 2  1 o una traslazione se k1  k 2  1 .
134
Similitudine
Si chiama similitudine la trasformazione ottenuta componendo un’omotetia con una isometria.
Se A  A' e B  B ' si ha A' B'  k AB con k  0 .
k è chiamato rapporto di similitudine ( corrisponde al valore assoluto del rapporto di omotetia
dell’omotetia associata).
Come l’omotetia anche la similitudine conserva il rapporto tra le lunghezze, conserva l’ampiezza
degli angoli.
Osservazioni
Le omotetie sono quindi particolari similitudini.
Le isometrie possono essere considerate particolari similitudini ( k  1 ).
Esempio
Consideriamo la similitudine ottenuta componendo un’omotetia di centro O(0;0) e rapporto k  2
con la simmetria rispetto all’asse x.
Avremo:

s assex
x; y  2 x;2 y   2 x;2 y 
 x'  2 x
In conclusione le equazioni di questa similitudine saranno: 
 y '  2 y
Vediamo per esempio come viene trasformato il triangolo in figura.
135
AFFINITA’
Fissato un sistema di riferimento le equazioni di un’affinità sono del tipo:
 x'  ax  by  c
con a  b' a ' b  0

 y '  a ' x  b' y  c '
a b
 .
Nota: a  b' a 'b viene chiamato determinante della matrice M  
 a ' b' 
Quando il determinante della matrice M è diverso da zero, considerando le equazioni dell’affinità
come un sistema in x e y, possiamo ricavare x e y in funzione di x’ e y’ cioè esiste anche la
trasformazione inversa P'  x' ; y '  P x; y  e quindi si tratta di una corrispondenza biunivoca.
Si può dimostrare che rette parallele vengono trasformate in rette parallele e che inoltre
k  ab'a ' b corrisponde al rapporto tra le aree di figure corrispondenti cioè se
F  F '
areaF '
k
areaF
Infatti
se
consideriamo
per
semplicità
x
'

ax

by

( le equazioni generali si ottengono

 y '  a ' x  b' y
componendo questa trasformazione con una
traslazione (c;c’) che non cambierà l’area)
osserviamo che il quadrato di lati OA e OB con
O(0;0)
A(1;0) B(0;1) viene trasformato nel
parallelogramma di lati O' A' , O' B' con O’(0;0)
A’(a;a’) B’(b;b’) che ha area proprio ab'a ' b
(prova a dimostrarlo…).
Si può osservare inoltre che la condizione che il determinante della matrice associata sia diverso
a a'
da zero corrisponde alla condizione ab'  a ' b 
cioè al fatto che i vettori a; a', b; b'

b b'
non siano paralleli.
Se a  b' a ' b  0 viene conservato l’orientamento della figura e l’affinità si dice diretta, mentre
se a  b' a ' b  0 viene invertito l’orientamento della figura e l’affinità si dice inversa.
136
Esempio
 x'  2 x  y
Consideriamo l’affinità di equazioni 
 y'  x  y
 2  1
 e il suo determinante ab' a ' b  2  1  0 .
La matrice associata è 
1 1 
Se trasformiamo il quadrato ABCD con l’affinità si ottiene il parallelogramma A’B’C’D’ in
figura. Osserviamo che si tratta di una affinità diretta poiché ab' a ' b  3  0 (infatti
l’orientamento della figura viene conservato) e che il rapporto tra le aree delle due figure è uguale
a ab' a ' b  3 .
137
Esercizi
Similitudini e affinità
1) Considera la similitudine ottenuta componendo l’omotetia  O,2 , con O=origine del sistema
di riferimento, con la traslazione t 
v 1; 2 

traslazione di vettore v 1;2  .
a) Scrivi le equazioni della similitudine

b) Trasforma il triangolo ABC con A2;2 B6;4 C 1;4 . Come risulta l’area di A’B’C’
rispetto a quella di ABC ?
 x'  2 x  1
[ 
 y'  2 y  2
A' 5;6 B' 13;10 C ' 3;10 ; area (A’B’C’) = 4  area (ABC) ]
2) a) Determina le equazioni dell’omotetia di centro O’(2;2) e rapporto 2.
 1
b) Componi l’omotetia precedente con   O,  . Come risulta la trasformazione composta?
 2

 x'  2 x  2
[ 
; t  traslazione di vettore v  1;1 ]
v
 y'  2 y  2
 x'  3x  4
3) Considera l’omotetia di equazioni 
. Qual è il suo centro?
 y'  3 y  2
[ (2;1) ]
4) Considera la similitudine ottenuta componendo l’omotetia di centro O e rapporto 3 con la
simmetria rispetto alla retta y  x .
a) Determina le equazioni della similitudine.
b) Trasforma il quadrato ABCD con A(1;1) B(3;2) C(4;0) D(2;-1). Come risulta l’area di
A’B’C’D’ rispetto a quella di ABCD ? L’orientamento della figura viene conservato?
 x'  3 y
[
; area(A’B’C’D’) = 9  area (ABCD) ; no ]
 y'  3x
5) Considera la similitudine ottenuta componendo RO;90   O,2  .
a) Determina le equazioni della similitudine.
b) Trasforma il triangolo ABC con A(3;1) B(3;3) C(2;1). L’orientamento della figura viene
conservato?
 x'  2 y
[ 
; A’(-2;6) B’(-6;6) C’(-2;4) ; sì ]
 y'  2 x
138
 x'  x  2 y
6) Considera l’affinità di equazioni 
.
 y'  3x  y
Determina come si trasforma il quadrato ABCD con A(1;1) B(2;1) C(2;2) D(1;2) applicando
l’affinità. Come risulta l’area di A’B’C’D’ rispetto all’area di ABCD? Si conserva
l’orientamento?
[ A’(3;4) B’(4;7) C’(6;8) D’(5;5) ; area(A’B’C’D’) = 5  area(ABCD) ; no ]
 x'  2 x
. Come si trasforma la circonferenza di equazione
 y'  y
x2  y2  1 ?
x2
[ ellisse
 y2  1 ]
4
 x'  2 x  1
. Come si trasforma la parabola di equazione
 y'  y  2
y  x2 ?
[y
1 2 1
7
x  x ]
4
2
4
 x'  2 x
9) Considera la composizione tra l’affinità di equazioni 
con la simmetria rispetto
 y'  3 y
all’asse x.
a) Scrivi le equazioni della trasformazione composta. Di quale trasformazione si tratta?
b) Trasforma il triangolo ABC con A(1;1) B(2;1) C(1;3) con la trasformazione considerata. Come
risulta l’area di A’B’C’ rispetto a quella di ABC? L’orientamento della figura viene conservato?
 x'  2 x
[
 y '  3 y
; area(A’B’C’)= 6  area(ABC) ; no ]
10) Componi l’affinità dell’esercizio precedente con la rotazione RO,90 .
a) Scrivi le equazioni della trasformazione composta.
b) Trasforma il triangolo dell’esercizio precedente. L’orientamento della figura viene conservato?
 x'  3 y
[
; sì ]
 y'  2 x
139
Esercizi di ricapitolazione
Trasformazioni geometriche

1) Considera la traslazione di vettore v 2;1 , Scrivi le equazioni della traslazione t  .
v
a) Come si trasforma la retta r : y  2 x  3 ?
b) Come si trasforma la circonferenza C : x 2  y 2  1 ?
 x'  x  2
[
 y'  y  1
; r ': y  2 x  2 ; C ': x 2  y 2  4 x  2 y  4  0]


2) Considera la traslazione di vettore v 1 2;1 e la traslazione di vettore v 2  3;0 .
a) Determina le equazioni della trasformazione composta t   t  . Se componiamo in ordine
v2
v1
inverso la trasformazione composta cambia ?
b) A quale trasformazione corrisponde ?
 x'  x  1
[
 y'  y  1

; no ; t 
v


v  v1  v 2 ]


3) Considera la rotazione R 0;0 ;  .
3

a) Scrivi le equazioni della rotazione.
b) Come si trasforma la retta r : y 
1
3
x ?

1
3
y
 x'  x 

2
2
[
; r ': x  0 ]
3
1
 y' 
x y

2
2
4) Considera la rotazione di equazioni:
1
1

 x'  2 x  2 y  1

 y'  1 x  1 y  1  2

2
2
Di quale rotazione si tratta?
[ R1;1;45 ]
140
5) Come si trasforma l’iperbole di equazione xy  2 applicando la rotazione R0;0 ;45 ? Scrivi
le equazioni della trasformazione.
1

x  y 
x
'


2
[
;
 y'  1 x  y 

2
y2 x2

 1]
4
4
*6) Scrivi le equazioni della simmetria rispetto alla retta r : y  mx tenendo conto che m  tg .
Suggerimento: procedi in modo analogo a quando sono state ricavate le equazioni della rotazione
rispetto all’origine.
 x'  x  cos 2  y  sen2
[ 
]
 y '  x  sen2  y  cos 2
7) Trasforma la parabola  : y  x 2  4 x  5 :
a) con la simmetria rispetto all’asse x;
b) con la simmetria rispetto all’asse y.
[ y  x 2  4x  5;
y  x 2  4x  5 ]
8) Considera il triangolo ABC avente A0;2 , B2;4 , C 1;6  e il triangolo A’B’C’ con
A' 6;2, B' 8;0, C ' 7;2 . Determina l’isometria che trasforma ABC in A’B’C’.

[glissosimmetria di asse r : y  2 e traslazione di vettore v  6 : 0  ]

9) Considera la traslazione di vettore v  2;1 e la rotazione R0;0 ;90 .
Scrivi le equazioni della trasformazione che si ottiene componendo :
a) t   R . A cosa corrisponde?
v
b) R  t  .A cosa corrisponde?
v
 x'   y  2
 x'   y  1
 1 3 

 3 1 

[
, R  ; ;90  ; 
, R   ; ;90  ]
 2 2 

 2 2 

 y'  x  1
 y'  x  2
10) Cosa si ottiene componendo la simmetria S asse x con S assey ?
[ R0;0 ;180 ]
141
- Le trasformazioni geometriche 11) Determina le equazioni della simmetria rispetto ad una retta r : x  k .
 x '  2k  x
[
]
 y'  y
12) Considera r1 : x  2 e r2 : x  4 .
a) Come risulta S r2  S r1 ?
b) Come risulta S r1  S r2 ?
[ t  4; 0  ; t   4; 0  ]
13) Scrivi le equazioni della trasformazione S assey  S y  x . A cosa corrisponde ?
 x'   y
[ 
R0;0;90 ]
 y'  x
14) Come risultano le equazioni della trasformazione S assey  S y  x  S assex . A cosa corrisponde?
 x'  y
[
, S yx ]
 y'  x

15) a) Scrivi le equazioni della glisso simmetria di asse r : y  x e vettore v  3;3 .
x2
b) Come si trasforma l’ellisse  :
 y2  1 ?
4
 x'  y  3
 y  3 2  1 ]
2
[
,  ' :  x  3 
4
 y'  x  3
16) Determina come si trasforma la retta r : y   x  1 applicando l’omotetia  0;0;2 .
[ r ': y   x  2 ]
17) a) Determina le equazioni di  2 1;2 ;3  1 0;0 ;2  . A cosa corrisponde?
b) Determina le equazioni di 1 0;0 ;2    2 1;2 ;3 . A cosa corrisponde?
 x'  6 x  2
  2 4    x'  6 x  4
 4 8  
[
,    ; ;6  
,    ; ;6  ]
  5 5    y'  6 y  8
 5 5  
 y'  6 y  4
 x'  4 x  3 y
*18) Considera la trasformazione di equazioni 
. Dimostra che si tratta di una
 y'  3x  4 y
similitudine di rapporto 5.
Suggerimento: considera come si trasforma il triangolo OAB con O(0;0) A(1;0) B(0;1)….
142
 x'  ax  by
*19) Considera l’affinità di equazioni 
( ab' a ' b  0 ) .
 y '  a ' x  b' y
Quali sono le condizioni che devono verificare i coefficienti a, a’, b,b’ perché si tratti di una
similitudine?
Suggerimento: considera come si trasformano O(0;0) A(1;0) B(0;1)….perché si tratti di una


similitudine AOB  A' O' B ' e O' A'  O' B' …
[ ab  a ' b'  0 , a 2  a ' 2  b 2  b' 2 ]
*20) In riferimento all’esercizio precedente quali sono le condizioni perché si tratti di
un’isometria?
[ ab  a ' b'  0 , a 2  a ' 2  1,
b 2  b' 2  1 ]
21) a) Scrivi le equazioni della similitudine R1;2 ;90   0;0 ;2  .
b) Trasforma la circonferenza C : x 2  y 2  1 . Disegna C’.
 x'  2 y  1
[
; C ': x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 ]
 y'  2 x  2
*22) Determina le equazioni della trasformazione che trasforma il triangolo OAB con O(0;0)
A(4:0) B(4;-2) nel triangolo O’A’B’ con O’(0;0) A’(2;4) e B’(3;2).
Verifica che si tratta di un’affinità che conserva l’area ma che non è un’isometria.
1
1

 x'  x  y
[ 
2
2 ]
 y '  x  y
 x'  2 x
 x'  x  y
23) Considera le affinità di equazioni 1 
A2 
.
 y'  3 y
 y'  3x  y
a) Determina A2  A1 e A1  A2 .
b) Verifica che la matrice associata alla trasformazione composta si ottiene moltiplicando (con
la regola righe per colonne) le matrici delle due trasformazioni.
 x'  2 x  3 y  x'  2 x  2 y
[
, 
]
 y'  6 x  3 y  y'  9 x  3 y
 x'  x  2
24) Scrivi l’equazione della curva C’ che si ottiene applicando l’affinità di equazioni 
 y'  3 y
alla circonferenza C : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 . Disegna C’.
[ 9 x 2  y 2  18 x  6 y  9  0 ]
143

Le trasformazioni geometriche

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