ISOMETRIE

Isometrie – appunti (RBossi 2012)
ISOMETRIE
Le isometrie sono trasformazioni geometriche.
La trasformazione della figura avviene modificando la sua POSIZIONE nel piano; non vengono
modificate né le misure né l’ampiezza degli angoli. Una isometria è pertanto una relazione di
congruenza.
Isometrie dirette
Sono quelle che fanno cambiare la posizione delle figure ma ne conservano l’orientamento; esse
sono le TRASLAZIONI e le ROTAZIONI.
Isometrie inverse
Sono quelle che fanno cambiare la posizione delle figure ma ne modificano l’orientamento (effetto
specchio); una isometria di questo tipo è il RIBALTAMENTO.
Traslazione
Rotazione
Ribaltamento
Primo movimento: Le traslazioni
Caratteristica principale
Tutti i punti della figura si muovono nella stessa direzione, nello stesso verso e
alla stessa distanza (modulo).
Per effettuare una traslazione è quindi necessario sapere:
1. in quale direzione muoversi;
2. in quale verso muoversi;
3. a che distanza si deve andare.
tutte queste informazioni sono riunite in un Vettore. Il vettore ha
l’aspetto di una freccia; la retta a cui appartiene è la direzione, la
sua punta indica il verso e la sua lunghezza è il modulo.
Nota bene:
tutti i punti della figura si muoveranno nella stessa direzione, nello
stesso verso e dello stesso modulo.
Le figure sono congruenti in modo diretto perché sovrapponibili
senza ribaltarle.
Le traslazioni sono componibili; infatti se faccio una traslazione T1 subito seguita da un’altra
traslazione T2, arrivo in una posizione che avrei potuto raggiungere subito con una traslazione T3.
1
Isometrie – appunti (RBossi 2012)
Le traslazioni intorno a noi:
Secondo movimento: Le rotazioni
Caratteristica principale
Tutti i punti della figura si muovono lungo archi di circonferenze attorno ad uno
stesso centro, nello stesso senso di rotazione e descrivendo sempre un angolo
della stessa ampiezza.
Per effettuare una traslazione è quindi necessario sapere:
1. attorno a quale centro si deve ruotare;
2. in quale senso; orario o antiorario;
3. qual è l’ampiezza dell’angolo.
per convenzione si attribuisce al senso orario il segno negativo (-) mentre a quello antiorario il
positivo (+)
Tutte le informazioni per effettuare la rotazione di una figura si possono riunire quindi in un unico
codice che attribuisca un punto come centro, un senso di rotazione e un angolo.
Esempi:
( A; -90°) Æ centro nel punto A – senso orario – angolo retto (1/4 di giro)
( O; 180°) Æ centro nel punto O – senso antiorario – angolo piatto (mezzo giro)
( B; -60°) Æ centro nel punto B – senso orario – angolo di 60° (1/6 di giro)
( M; 120°) Æ centro nel punto M – senso antiorario – angolo 120° (1/3 di giro)
O; 180°
O; 90°
O; -120°
2
Isometrie – appunti (RBossi 2012)
Nota bene:
durante la rotazione due punti qualsiasi della figura si muovono descrivendo uno stesso angolo nello
stesso tempo. Essi però potrebbero essere a distanze diverse dal centro di rotazione. Questo
significa che - siccome la velocità è uguale alla distanza diviso il tempo - se la distanza è diversa e il
tempo è uguale la loro velocità di rotazione può essere diversa.
Infatti più un punto è lontano dal centro di rotazione maggiore sarà la sua velocità.
In Fisica si chiama velocità angolare.
Anche le rotazioni come le traslazioni non cambiano l’orientamento della figura. Le figure sono
congruenti in modo diretto perché sovrapponibili senza ribaltarle.
Le rotazioni sono componibili; infatti se faccio una rotazione R1 subito seguita da un’altra rotazione
R2, arrivo in una posizione che avrei potuto raggiungere subito con una rotazione R3.
R1 (O; -90°)
R2 (O; -30°)
R3 (O; -120°)
Le rotazioni intorno a noi.
Una rotazione particolare
E’ quella di ±180° (scriviamo ± perché sono movimenti equivalenti).
Questa rotazione è conosciuta col nome di Simmetria centrale. Una figura disegnata con questa
rotazione risulta perfettamente identica anche se capovolta. Guarda alcuni esempi e prova a
capovolgerli, vedrai la stessa figura.
3
Isometrie – appunti (RBossi 2012)
Terzo movimento: Ribaltamento
Caratteristica principale
Tutti i punti della figura si trasferiscono dalla parte opposta di una retta
chiamata asse. I punti corrispondenti mantengono la stessa distanza dall’asse
e appartengono a rette perpendicolari all’asse.
Per effettuare una traslazione è quindi sufficiente sapere:
1. qual è l’asse di ribaltamento.
Il Ribaltamento viene riconosciuto come “geometria dello specchio” perché ha la caratteristica di
scambiare il lato destro col sinistro e viceversa. Le figure così fatte si dicono ribaltate o speculari.
Questa trasformazione viene anche definita Simmetria assiale.
Come già detto il Ribaltamento non è una isometria diretta; infatti non conserva l’orientamento
della figura. Due figure speculari non sono sovrapponibili. Per sovrapporle bisogna ribaltarle di
nuovo.
Una curiosità: pensa al corpo umano, abbiamo un lato destro e uno sinistro, essi sono
geometricamente ribaltati. I capi di vestiario che rivestono entrambi i lati sono stati confezionati
rispettando questa geometria e quindi possono essere acquistati in pezzi unici, come per esempio le
magliette e i pantaloni. Altri invece devono essere confezionati in modo differente e vanno
acquistati in coppia (paio) come i guanti o le scarpe, questo perché la mano sinistra non è
sovrapponibile a quella destra, e viceversa.
Il Ribaltamento intorno a noi.
I Ribaltamenti non sono componibili; se facciamo 2 ribaltamenti successivi si ottengono cose
diverse e dipende dagli assi. Se gli assi sono paralleli si avrà una Traslazione. Se sono incidenti una
Rotazione. Se poi sono perpendicolari avremo una Rotazione di ±180° cioè una simmetria centrale.
4
Isometrie – appunti (RBossi 2012)
Isometrie nel piano cartesiano
Le trasformazioni isometriche possono essere riprodotte matematicamente nel piano cartesiano.
Vediamo alcuni aspetti di queste trasformazioni:
Verifichiamo come sia possibile eseguire delle trasformazioni nel piano cartesiano a partire da un
semplice punto A (x, y):
Traslazioni
Traslazione orizzontale verso destra: basta aggiungere il valore del modulo alla ascissa
A (x, y) Æ A’ (x+z, y)
Traslazione orizzontale verso sinistra: basta togliere il valore del modulo alla ascissa
A (x, y) Æ A’ (x-z, y)
Traslazione verticale verso l’alto: basta aggiungere il valore del modulo alla ordinata
A (x, y) Æ A’ (x, y+z)
Traslazione verticale verso il basso: basta togliere il valore del modulo alla ordinata
A (x, y) Æ A’ (x, y-z)
Traslazione diagonale: basta incrementare sia l’ascissa che l’ordinata con i valori del modulo
A (x, y) Æ A’ (x±z, y±z)
In generale, per traslare una figura F nel piano cartesiano con un vettore v (xv, yv), sarà sufficiente
trasformare le coordinate di ciascun punto di F secondo le seguenti equazioni:
⎧ x ' = x + xv
⎨
⎩ y ' = y + yv
Es. se il triangolo T ha le coordinate A (2, 3) – B (2, 5) – C (6, 3) e deve essere traslato del vettore
v (5, 2) il triangolo traslato T’ avrà coordinate A’ (7, 5) – B’ (7, 7) – C’ (13, 5).
Simmetria assiale
Per effettuare una simmetria assiale (ribaltamento) rispetto agli assi cartesiani:
Simmetrico rispetto all’asse delle ascisse x
Il simmetrico rispetto a x del punto A (x, y) è A’ (x, -y).
Il simmetrico rispetto a y del punto A (x, y) è A’ (-x, y).
Es: se si vuole ribaltare il triangolo A (2, 3) B (2, 5) C (6, 3) rispetto all’asse y avremo i nuovi
vertici in A’ (-2, 3) B’ (-2, 5) C’ (-6, 3).
Simmetria centrale (rotazione ±180°)
Per effettuare una simmetria centrale della figura F rispetto un centro assegnato di posizione
O (xo, yo) si devono trasformare le coordinate di tutti i punti di F secondo le equazioni:
⎧⎪ x' = 2 ⋅ xo − x
⎨
⎪⎩ y ' = 2 ⋅ yo − y
Es: il simmetrico di T A (2, 3) B (2, 5) C (6, 3) rispetto al punto O (1, 3) sarà
A’ (0, 3) B’ (0, 1) C’ (-4, 3)
5