Giustificare le risposte. Consegnare solo il foglio di bella copia. Su

Giustificare le risposte. Consegnare solo il foglio di bella copia. Su tale foglio, scrivere in alto a
destra il nome e il cognome, aggiungendo una firma e lasciando un piccolo spazio per la valutazione.
1. Tra i piani contenenti la retta r di equazioni x+y −2 = y +z = 0, determinare quello perpendicolare
alla retta s di equazioni x + y + z − 1 = y − 4 = 0. Stabilire se su r esistono punti con le tre coordinate
uguali. Sempre su r, trovare i punti distanti 10 dal piano di equazione x − y = 0.
2. Sia data l’applicazione f : R3 → R3 definita da f (x, y, z) = (x + y + z, 2x + y, 3y). Dopo aver
calcolato il polinomio caratteristico, dimostrare che l’unico autovalore reale di f è 3. Determinare
un autovettore. Calcolare la controimmagine di (2, 1, 3). Scrivere la matrice di f rispetto alla base
{(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)} nel dominio e alla base canonica del codominio.
3. Sia data l’iperbole di equazione 3x2 − 4xy = 8. Mediante un’opportuna rotazione del riferimento,
scrivere una sua forma canonica. Calcolare l’eccentricità e le coordinate (originali) dei fuochi.
4. Stabilire se esistono valori di h per i quali h(1, 2, 3, h), (1, 0, h, 0), (1, 7, 0, 5)i ha dimensione 2. Per
h = 0, scrivere (il minimo numero di) equazioni del sottospazio ottenuto.
5. Scrivere le coordinate di (1, 2, 3, 4) rispetto alla base {(2, 1, 0, 0), (1, −2, 0, 0), (0, 0, 2, 1), (0, 0, 1, −2)}.
Calcolare la proiezione ortogonale di tale vettore sul sottospazio generato dai primi tre vettori della
base.
6. Dati i vettori v = (1, 3, 2) e w = (0, 1, 4), calcolare (v × w)w + v ∧ w.
7. Trovare tutte le soluzioni per il sistema (di 4 equazioni) x1 − x5 = x2 − x3 = x3 − x4 = x2 − x4 = 0.