Isometrie del piano: i Gruppi Cristallogra ci
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Isometrie del piano: i Gruppi Cristallogra ci
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTÀ DI S.M.F.N. Tesi di Laurea in Matematica presentata da Valentino Nocera Isometrie del piano: i Gruppi Cristallograci Relatore Prof. Andrea Bruno Il Candidato Il Relatore ANNO ACCADEMICO 2005-2006 Classicazione: 51H20 Indice Introduzione ii 1 Preliminari 1 1.1 Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 I Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Le Isometrie del Piano 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I Gruppi Cristallograci 12 2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 I Gruppi Cristallograci piani 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 La tassellatura periodica: Escher 25 Bibliograa 30 i Introduzione Con la seguente tesi ci proponiamo di sviluppare l'argomento dei Cristallograf ici P iani. Gruppi Nel primo capitolo, dopo un breve quadro storico nel quale vedremo come si è sviluppata e quale ruolo ha ricoperto la simmetria nella storia dell'uomo nel corso dei secoli, ci soermeremo sui Gruppi dandone le principali denizioni. Successivamente, nel terzo paragrafo, introdurremo il concetto di isometria nel piano (soermandoci sulle quattro isometrie quali la rif lessione, arrivare al la traslazione, la rotazione e la glissorif lessione) no ad Teorema di Chasles del quale daremo una dimostrazione comple- ta. Nel secondo capitolo arriveremo nalmente a trattare i gruppi cristallograci piani, partendo dal Teorema di Restrizione Cristallograca, del quale pro- porremo una dimostrazione sintetica ed una analitica, che getterà le basi per il risultato nale con cui riusciremo a limitare il numero di tali gruppi cristallograci nel piano a 17. Quindi, nel terzo ed ultimo capitolo, vedremo un'applicazione pratica di quanto abbiamo esposto nel corso della tesi studiando uno degli artisti più particolari di questo genere: Mauritius Cornelius Escher. Inne vedremo come sia possibile tassellare il piano utilizzando un programma relativamente semplice come Cabrì 2D fornendone un esempio che svolgeremo e spiegheremo interamente nel suo sviluppo. ii Capitolo 1 Preliminari 1.1 Cenni storici Un tema che ha suscitato interesse e continua ancora oggi ad aascinare molti studiosi è quello della simmetria in ambiente geometrico. Approfondendo questo argomento, infatti, ci si immerge in aspetti della matematica che aascinano non solo gli esperti della materia, ma anche coloro che per la prima volta si aacciano in questo particolare mondo. In eetti la sim- metria così come la vedremo nel corso della tesina è un tema portante di valori didattici per la matematica: il valore che rivestono molte importanti strutture algebriche, l'analisi dei casi possibili e la loro rappresentazione, l'interpretazione dei dati esistenti, ecc. sono solo alcuni degli elementi che permettono la comprensione dei principi che stanno alla base della razionalizzazione matematica. Se ad esempio prendiamo in considerazione lo spazio euclideo, la simmetria di una gura è costituita dall'insieme delle trasformazioni euclidee che può subire lo spazio e che la lasciano invariata senza necessariamente lasciare inalterato ogni singolo punto; partendo da queste basi, dunque, è possibile intuire che sono le trasformazioni dell'ambiente circostante che danno senso alla simmetria, che può essere denita come ` ciò che rimane quando tutto cambia'. Storicamente la simmetria si è aacciata nella matematica abbastanza tardi 1 nel tempo, e non attraverso la geometria, come si potrebbe pensare, bensì attraverso l'algebra, grazie ai cosiddetti ` Gruppi di Galois ', cioè i gruppi di simmetria delle radici delle equazioni algebriche. Sin dal V secolo a.C. la simmetria ha invaso la maggior parte delle osservazioni scientiche, come possiamo vedere in Talete di Mileto il quale formulò i primi teoremi della cultura occidentale: `ogni diametro divide il cerchio in due parti uguali', `gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali ... . Con Euclide compare anche la classicazione dei ` poliedri regolari ' ', anche se la loro simmetria sembra quasi un fatto occasionale, cioè appare più come una singolarità del solido che come una sua relazione con lo spazio in cui è immerso. Successivamente troviamo dei riferimenti anche nel mondo latino, principalmente in Vitruvio, che nel `De Architectura' fa riferimento alla simmetria come la relazione tra il tutto e le sue parti; ma questo tema nel mondo latino non viene più approfondito e ricompare solo in seguito nel Rinascimento, con Leonardo Da Vinci che si trova impegnato nello studio e nella migliore utilizzazione delle piante degli edici, e a lui vengono attribuiti i primi risultati relativi alla simmetria geometrica. Dalla metà del 0 500 la simmetria entra a far parte di un settore diverso, quello dell'algebra; ed è insieme che si sviluppano no a quando, grazie soprattutto alla straordinaria mente di Galois, non si arriva ad aprire il vasto campo di studio dell'algebra moderna. I risultati fondamentali della simmetria in campo geometrico arriveranno invece più avanti con le ricerche cristallograche che saranno poi riacquisite e dimostrate rigorosamente dalla geometria. 1.2 I Gruppi Per una maggiore comprensione di ciò che aronteremo nella seconda parte di questa tesina è necessario introdurre delle nozioni sui gruppi che ci potranno essere molto utili in seguito. 2 Denizione 1.1. Un `Gruppo' è una coppia (G, ∗) costituita da un insieme G e da un'operazione binaria in G, cioè un'applicazione ∗ : G × G → G che associa ad ogni coppia (g, g 0 ) ∈ G × G un elemento g ∗ g0 ∈ G in modo tale che siano soddisfatte le seguenti proprietà: G1: Associativa, G2: Esistenza elemento neutro, G3: Esistenza dell'inverso. Un gruppo (G,∗) si dice Commutativo o Abeliano se soddisfa anche la seguente proprietà: G4: Commutatività. In un Gruppo Abeliano l'operazione viene di solito denotata con il simbolo + e chiamata Sia ora V somma. uno spazio vettoriale, allora V è un Gruppo Abeliano rispetto all'operazione di somma tra vettori. Le quattro proprietà sono soddisfatte e (V, +) si dice Gruppo Additivo dello spazio vettoriale. delle matrici segue che l'insieme a elementi in K GLn (K) Inoltre, dalle proprietà di tutte le matrici invertibili n×n è un gruppo rispetto all'operazione di prodotto righe per colonne; (GLn , ·) è chiamato Gruppo Lineare Generale di ordine n su K . Denizione 1.2. Un sottoinsieme F di un gruppo G si dice `Sottogruppo' di G se soddisfa alle seguenti condizioni: SG1 Per ogni f, f 0 ∈ F l'operazione f ∗ f 0 ∈ F , SG2 L'identità e ∈ F , SG3 Se f ∈ F ⇒ f −1 ∈ F . I sottogruppi di pio ne è l'insieme GLn (K) sono detti gruppi lineari di ordine n. SLn (K) costituito dalle matrici A ∈ GLn (K) t.c. det(A) = 1, che viene chiamato Gruppo Lineare Speciale di ordine n. anche O(n) Oltre ad è un gruppo lineare ed è costituito dalle matrici comprende tutte quelle matrici A t.c. At A = In . SLn (K) ortogonali, cioè Per come è denita una ma- trice ortogonale è anche invertibile, poichè infatti l'inversa trasposta Un esem- A−1 coincide con la At ; inoltre si ha anche che det(A) = ±1, visto che det(At ) = det(A) 3 e quindi det(A)2 = det(In ) = 1. viene denito È facile vericare che Gruppo Ortogonale di ordine n. O(n) è un gruppo che Il sottoinsieme di O(n) costi- tuito dalle matrici ortogonali aventi determinante uguale a 1 è un sottogruppo che viene chiamato SO(n). Gruppo Ortogonale Speciale di ordine n ed è indicato con Dunque si ottiene il seguente risultato: SO(n) = O(n) ∩ SLn (R). Denizione 1.3. Se G e G0 sono due gruppi, un'applicazione ω : G → G0 è un `omomorsmo' se ω(f · g) = ω(f ) · ω(g) per ogni f, g ∈ G. Un omomorsmo biettivo si dice `isomorsmo'; in questo caso anche ω−1 è un isomorsmo. Le trasformazioni di uno spazio ane più interessanti dal punto di vista geometrico sono le `anità': Denizione 1.4. Siano V e V 0 due K-spazi vettoriali, A uno spazio ane su V e A0 uno spazio ane su V 0 . Un `isomorsmo' di A su A0 è un'applicazione biunivoca f : A → A0 tale che esista un isomorsmo degli spazi −−−−−−→ −−−−→ vettoriali associati ϕ : V → V 0 che soddis la condizione f (P )f (Q) = ϕ(P Q) ∀P, Q ∈ A. In particolare una `anità' di A è un isomorsmo di A su se stesso. 1.3 Le Isometrie del Piano Ci apprestiamo tra poco ad introdurre l'importantissimo concetto di isometria che ci permetterà di giungere al fondamentale Teorema di Chasles: Denizione 1.5. Un operatore lineare T : V → V si dice `unitario' se hT (v), T (w)i = hv, wi per ogni v, w ∈ V . In pratica questa denizione equivale a dire che to scalare. T preserva il prodot- Adesso abbiamo tutti gli elementi necessari per la seguente denizione: 4 Denizione 1.6. Sia E uno spazio euclideo su V . Un'anità f : E → E si dice `isometria' di E se l'automorsmo associato ϕ : V → V è un operatore unitario. Un esempio di isometria è l'identità l'identità di V, 1E , poichè l'automorsmo associato è che a sua volta è un operatore unitario. Si può anche genera- lizzare il concetto aermando che ogni traslazione è un'isometria. Poichè la composizione di due isometrie e l'inversa di un'isometria danno origine ancora a delle isometrie, possiamo concludere che le isometrie di sottogruppo di Af f (E), indicheremo con E costituiscono un ovvero un gruppo di trasformazioni ani di Isom(E) chiamandolo E che `Gruppo delle Isometrie di E'. Denizione 1.7. Un'isometria f , con automorsmo associato ϕ, si dice `diretta' se det(ϕ) = 1, e `inversa' se det(ϕ) = −1. Le isometrie dirette costituiscono un sottogruppo (Isom e quindi, poichè le traslazioni gruppo di isometrie dirette di + (E)) di Isom(E), sono particolari isometrie dirette, E. Sia invece O ∈ E; le TE è un rotazioni di centro O sono anch'esse delle isometrie dirette ed è possibile identicare il gruppo costituito proprio da queste rotazioni con quello delle matrici ortogonali speciali di ordine n, ovvero questi due gruppi sono isomor tra di loro. Quindi torniamo a prendere in considerazione il `Gruppo Ortogonale Speciale' SO(n), elementi di e andiamo a considerare il caso particolare di SO(2), cioè gli che sono gli le matrici della forma Rθ = Gli altri elementi di alle matrici n = 2, Aθ = R θ cos θ − sin θ sin θ O(2), cioè ! 1 0 0 −1 cos θ ! , θ ∈ R. quelli con determinante −1, corrispondono . Possiamo quindi enunciare e dimostrare il seguente lemma: Lemma 1.1. 1. Aθ = Rθ A0 = A0 R−θ per ogni θ ∈ R. 5 2. Aϕ Aθ = Rϕ−θ per ogni ϕ, θ ∈ R. 3. Ogni matrice Aθ possiede gli autovalori λ1,2 = ±1, con autospazi di dimensione 1 tra loro ortogonali. [1] Dimostrazione. 1. Considerando che A0 = 1 ! 0 , la dimostrazione segue dal calcolo 0 −1 diretto. 2. Per la 1. si ha Aϕ Aθ = (Rϕ A0 )(A0 R−θ ) = Rϕ (A0 A0 )R−θ = Rϕ I2 R−θ = Rϕ−θ . 3. Poichè il polinomio caratteristico di λ1,2 = ±1. Aθ è λ2 − 1, gli autovalori sono Quindi gli autospazi sono di dimensione 1, e pertanto resta da dimostrare che sono tra loro ortogonali. Tali autospazi sono deniti rispettivamente dalle equazioni in coodinate (cos θ − 1)X + (sin θ)Y = 0, per λ=1 (cos θ + 1)X + (sin θ)Y = 0, per λ = −1 e poichè X, Y : 2 (cos θ−1)(cos θ+1)+sin θ = 0, i due autospazi sono ortogonali fra di loro. Ora consideriamo un piano euclideo sociato V con piano vettoriale euclideo as- ssando un riferimento cartesiano centro della rotazione σ : E → E. rotazioni, è possibile associare a detto E angolo della rotazione σ σ Oe1 e2 ; un elemento ρr Rθ ∈ SO(2), di r il dove θ viene RC,θ . E , diversa dall'identità, che ssi tutti i punti di una retta r; questa isometria viene detta sometria inversa, e la retta C ∈ E Per quanto detto in precedenza sulle , che indicheremo con Consideriamo adesso un'isometria sia invece rif lessione, che è un'i- `asse di riessione'. Identicheremo le riessioni con asse passante per l'origine, cioè che ssano l'origine ma non sono rotazioni, con il simbolo AO,θ , e il relativo asse 6 rθ sarà la retta passante per l'origine che ha come direzione l'autospazio relativo all'autovalore la retta di equazione λ = 1, cioè (cos θ − 1)X + (sin θ)Y = 0. Lemma 1.2. 1. Siano r una retta di E , C ∈ r un suo punto ed RC,θ una rotazione di centro C . Esistono rette s e t contenenti C tali che RC,θ = ρr ◦ ρs = ρt ◦ ρr . Viceversa, per ogni coppia di rette r ed s passanti per un punto C , la composizione ρr ◦ ρs è una rotazione di centro C e ρr ◦ ρs = 1E ⇔ r = s. 2. La composizione RC,θ ◦ RD,ϕ di due rotazioni di centro i punti C e D e di angoli θ e ϕ rispettivamente, è una rotazione di angolo θ + ϕ, a meno che non si abbia θ + ϕ = 2kπ , k ∈ Z; in questo caso RC,θ ◦ RD,ϕ è una traslazione, che è diversa dall'identità ⇔ C 6= D. 3. Se C e D sono due punti distinti ed r la retta che li contiene, e se le rotazioni RC,θ ed RD,ϕ sono non banali e θ+ϕ 6= 2kπ , allora le rotazioni RC,θ ◦ RD,ϕ ed RC,−θ ◦ RD,−ϕ hanno centri distinti e simmetrici rispetto a r. [2] Dimostrazione. 1. Possiamo supporre C =0 e qundi ρr = AO,α il secondo punto del Lemma 1.1 si ha che to RO,θ = ρr ◦ ρs , modo si ha dove s AO,θ+α . Supponendo α ∈ R. Rθ = Aα ◦ Aα−θ è l'asse della riessione RO,θ = AO,θ+α ◦ AO,α = ρt ◦ ρr della riessione per qualche dove C = O, t AO,α−θ ; Per e pertanallo stesso è a sua volta l'asse il viceversa è facilmente dimostrabile perchè è una riformulazione del Lemma 1.1, punto 2. 2. Se C = D, e quindi si ha RC,θ ◦ RC,ϕ = RC,θ+ϕ . θ, ϕ 6= 2kπ , indicando con r Quindi supponiamo la retta passante per Per il punto 1. di questo lemma esistono una retta 7 t C C 6= D, e per contenente D. C e una retta s contenente D tali che RC,θ = ρt ◦ρr e RD,ϕ = ρr ◦ρs . Quindi si ha RC,θ ◦ RD,ϕ = (ρt ◦ ρr ) ◦ (ρr ◦ ρs ) = ρt ◦ (ρr ◦ ρr ) ◦ ρs = ρt ◦ ρs . Ora, se t ed s sono parallele, perpendicolare a t ed ρt ◦ρs è una rotazione. C e s; ρt ◦ ρs se invece non sono parallele, per il punto 1. Infatti, se andiamo a considerare le coordinate di D, cioè rispettivamente c = (c1 c2 )t di coordinate è una traslazione in direzione x = (x1 x2 )t , il punto e d = (d1 d2 )t , si ha che, ∀P ∈ E RC,θ ◦ RD,ϕ (P ) ha coordinate y = Rθ [Rϕ (x − d) + d − c] + c = Rθ+ϕ (x − d) + Rθ (d − c) + c. Questa è una traslazione se e solo se θ + ϕ = 2kπ , in caso contrario è una rotazione di un angolo che per la sua espressione è uguale a Se θ + ϕ = 2kπ perchè 3. Siano si ha d − c 6= 0, ed y = x + [Rθ (d − c) − (d − c)], θ + ϕ. che non è l'identità Rθ 6= I2 . s e t le rette denite come nella dimostrazione del punto 1., e tali che soddisno RC,θ = ρt ◦ ρr e RD,ϕ = ρr ◦ ρs . Si ha che RC,−θ = (RC,θ )−1 = ρr ◦ ρt RD,−ϕ = (RD,ϕ )−1 = ρs ◦ ρr , e quindi RC,−θ ◦ RD,−ϕ = ρr ◦ ρt ◦ ρs ◦ ρr ) = ρr ◦ RC,θ ◦ RD,ϕ ◦ ρr . Da qui è facile vericare che, dao RD,ϕ , il punto RD,−ϕ , ha ρr (Q) Q come centro della rotazione è trasformato in se stesso dalla rotazione e quindi ne è il centro. Poichè RC,θ e s 6= r 6= t, e quindi Q = s ∩ t non sta su r. sono distinti. 8 RD,ϕ RC,θ ◦ RC,−θ ◦ sono non banali, si Quindi i punti Q e ρr (Q) Dobbiamo adesso introdurre un'isometria inversa che non ssa nessun punto di tria ρr f di E, ovvero la `Glissoriessione'. Una glissorif lessione è un'isome- E ottenuta come composizione (f = tv ◦ρr = ρr ◦tv ) di una riessione di asse una retta che il vettore v 6= 0 r (chiamata asse sia parallelo a r. di f) e di una traslazione tv 6= 1E tale Si arriva così all'importante: Teorema 1.1. (Chasles, 1831) Una isometria del piano euclideo E che ssa un punto è una rotazione oppure una riessione a seconda che sia diretta o inversa. Una isometria di E che non ssa alcun punto è una traslazione oppure una glissoriessione a seconda ce sia diretta o inversa. [3] Dimostrazione. Se f ∈ Isom(E) ssa un punto, la dimostrazione segue da quanto detto in precedenza. Supponiamo invece che retta priva di punti ssi. Allora anche vericasse mato da f P = f 2 (P ) per qualche nel segmento P, f2 f sia un'isometria di- è priva di punti ssi, perchè se si il segmento 2 f (P )P = f (P )f (P ), P f (P ) verrebbe trasfor- cioè nello stesso segmento ma con gli estremi scambiati, e quindi il suo punto medio sarebbe ssato da che non è possibile. Figura 1.1 9 f, Per ogni P ∈ E, consideriamo ora i tre punti P , f (P ), f 2 (P ), che, come ab- biamo appena visto, sono distinti, e facciamo vedere che sono allineati; se così non fosse (Fig. 1.1), infatti, gli assi dei due segmenti P f (P ) e f (P )f 2 (P ) Q: si incontrerebbero in un punto avrebbe anche poichè d(P, f (P )) = d(f (P ), f 2 (P )), 2 d(Q, P ) = d(Q, f (P )) = d(Q, f (P )). rientazione, ne segue che il triangolo di vertici fa f nel triangolo di vertici Q, f (P ), f 2 (P ), f Q, P , f (P ) f preserva l'o- viene trasformato Q = f (Q), e quindi 2 i P , f (P ), f (P ), ..., f (P ) contraddizione. Dunque i punti quindi Poichè si cioè una sono allineati e agisce sulla retta che li contiene come una traslazione. Poichè è una f isometria diretta, deve agire come la stessa traslazione su tutto il piano, e quindi è una traslazione. Figura 1.2 Supponiamo adesso che f sia una isometria inversa priva di punti ssi. Allora f 2 è una isometria diretta e, ragionando come nel caso precedente, si dimostra che f 2 = tv , per qualche qualsiasi: le rette v. A questo punto consideriamo un punto r0 = P f 2 (P ) e r1 = f (P )f 3 (P ) necessariamente distinte, e vengono scambiate da se stessa la retta r, Ma allora, poichè f parallela ad 2 agisce su r0 r e a r1 10 sono parallele, ma non f; quindi f trasforma in ed equidistante da esse come la traslazione P ∈E tv , f (Fig 1.2). agisce su r come la traslazione tv/2 . La composizione t−v/2 ◦ f ssa quindi tutti i punti di r e perciò, non essendo l'identità perchè è una isometria inversa, essa è una riessione. Da ciò segue che f = tv/2 ◦ (t−v/2 ◦ f ) è una glissoriessione. Denizione 1.8. Sia G un sottogruppo di Isom(E); diciamo che G è un `sottogruppo discreto' se, per ogni P ∈ E , esiste un intorno U di P in E tale che, per ogni g ∈ G, o g(P ) = P oppure g(P ) ∈/ U . I gruppi discontinui di isometrie del piano euclideo E si suddividono in tre classi: i gruppi niti, i gruppi dei fregi (che contengono traslazioni in una sola direzione) ed i cosiddetti traslazioni indipendenti). `gruppi cristallograci piani' (che contengono due Nel prossimo capitolo aronteremo questi ultimi in maniera approfondita delineandone bene gli aspetti fondamentali. 11 Capitolo 2 I Gruppi Cristallograci 2.1 Introduzione Prima di intraprendere un discorso approfondito sui Gruppi Cristallograci piani, occorre una piccola introduzione che ci permetta di dare alcune denizioni molto importanti. Siano A, B ⊂ E due sottoinsiemi, deniamo la {x ∈ E : x ∈ A e x ∈ / B}. restrizione di f se stesso con è la ad IdX . del come f :E→F f |A ; è una mappa e indichiamo invece la Siano ancora A, B ⊂ E , A ∈ E, scriviamo la mappa identità di X E spazio vettoriale, in E = A⊕B somma diretta. Un sottogruppo dice A Se dierenza di insiemi: A\B = G del gruppo delle trasformazioni di un dato insieme S si gruppo di trasformazioni di S ; un esempio ne è il gruppo delle isometrie piano. Sia ora X un insieme, SX è il gruppo delle permutazioni di X sotto la composizione di mappe, e nel caso in cui indichiamo SX con Sn invece il sottogruppo che prende il nome di An ⊂ S n X sia nito, con n = |X|, gruppo simmetrico di grado n; formato dalle sole permutazioni pari è detto gruppo alterno di ordine n. Adesso andiamo a denire due importanti gruppi che sono fondamentali nel- gruppo di Klein, che è il prodotto Z2 × Z2 di un gruppo con due elementi con sé stesso, e il gruppo diedrale: lo studio delle isometrie del piano, cioè il 12 Denizione 2.1. L'insieme dei movimenti che muta in sé il rettangolo, costituito da quattro elementi, forma un gruppo di trasformazioni che prende il nome di `Gruppo di Klein' e che indichiamo con V4 . (Fig. 2.1) si può vedere la tavola di moltiplicazione del gruppo di Klein con rh , rv e r denite come nella (Fig. 2.2) Nella Figura 2.1 Figura 2.2 Denizione 2.2. Il `Gruppo Diedrale' Dn è il gruppo dei movimenti rigidi che mutano in sé un poligono regolare di n lati. Osservazione 2.1. 1. Dn possiede n rotazioni attorno al centro del poligono ed n ribaltamenti rispetto agli n assi di simmetria del poligono. 2. Poichè i movimenti rigidi di un poligono regolare possono essere considerati come permutazioni dei vertici, si ha Dn ⊆ Sn , con il caso 13 particolare di n = 3 in cui si ha D3 = S3 , mentre per n > 3 risulta Dn ⊂ Sn . 3. Se G è un sottogruppo nito di Isom(R2 ), allora G è isomorfo o ad un gruppo ciclico Cn o ad un gruppo diedrale Dn . Diamo inne alcune denizioni riguardanti i gruppi: Denizione 2.3. Sia G un gruppo ed X un insieme. Una `azione' di G su X è un omomorsmo φ : G → SX . Se φ è una `G − azione' su X , si dice che G agisce su X tramite φ. Denizione 2.4. L'azione (G, X, φ) si dice `fedele' se φ è iniettiva (questo accade quando G ⊂ SX ). Se G non è un'azione fedele, si può considerare l'azione fedele associata (G/Kerφ, X, φ). Denizione 2.5. L'azione (G, X, φ) si dice `transitiva' se ∀x, y ∈ X ∃g ∈ G t.c. g(x) = y . Se ∃! g ∈ G t.c. g(x) = y l'azione si dice `semplicemente transitiva'. Proposizione 2.1. Se G è un gruppo abeliano, ogni azione transitiva fedele è un'azione semplicemente transitiva. [4] Dimostrazione. g(y) = h(y) Se per qualche per ogni y ∈ G, x∈X quindi e g, h ∈ G si ha g(x) = h(x), allora g(y) = g(k(x)) = k(g(x)) = k(h(x)) = h(k(x)) = h(y). Denizione 2.6. Se (X, G) è un gruppo azione e x ∈ X , lo `stabilizzatore' di x è il sottogruppo di G: Stx = Gx = {g ∈ G : g(x) = x}. Denizione 2.7. L'insieme X è chiamato `spazio omogeneo' su G se (G, X, φ) è transitiva. Denizione 2.8. Sia (G, X) uno spazio omogeneo, deniremo `orbita' di x ∈ X : O(x) = {g(x) : g ∈ G}. Osservazione 2.2. Se G è nito lo è anche O(x) ∀x; inoltre |O(x)| = (|G|)/(|Gx |). 14 Osservazione 2.3. Formula delle classi Siano X e G niti, e consideriamo un'azione di G su X . Se A ⊂ X è un sottoinsieme il quale interseca ogni orbita esattamente in un punto, si ha P |G| |X| = x∈A |G . x| Denizione 2.9. L'insieme A è detto `sezione' della mappa p : X → X/G perchè è l'immagine s(X/G) di una sezione s : X/G → X di p. Denizione 2.10. Un gruppo nito G è chiamato `p − gruppo' se |G| = pm , m ∈ N∗ e p primo; cioè se è un gruppo che ha come ordine una potenza di p. 2.2 I Gruppi Cristallograci piani Nel passato, molte culture come quella araba o anche nell'arte precolombiana o in quella africana, hanno sviluppato un grande interesse per le gure piane con motivi ripartiti regolarmente in modo tale da ricoprire l'intero piano. Questi motivi ammettono un innito numero di variazioni, ma esistono solamente un numero nito di modi di riprodurli, esattamente 17. Prima di dimostrare l'esistenza di questi diciassette Gruppi Cristallograci piani, occorre introdurre un risultato fondamentale che ssa la forma dei possibili reticoli piani lungo i quali il motivo può essere trasferito per traslazione. Teorema 2.1. (Restrizione Cristallograca) Sia G un sottogruppo discreto di Isom(E), T il sottogruppo delle traslazioni in G e P il gruppo puntuale di G (ovvero se G è un sottogruppo discreto di Isom(E), la restrizione di φ : Isom(E) → O(2) a G denisce un omomorsmo φ0 : G → O(2) il cui nucleo è N e la cui immagine è un sottogruppo P di O(2), isomorfo al quoziente G/N , che viene appunto chiamato `gruppo puntuale' relativo a G); supponiamo T ∼ = Z ⊕ Z. Allora G può contenere solo rotazioni di ordine due, tre, quattro, sei; quindi P può essere isomorfo solo ad uno dei seguenti dieci gruppi: Cn e Dn per n = 1, ..., 4, 6. [5] In entrambe le dimostrazioni riportate qui di seguito basterà far vedere che non esistono in G rotazioni di ordine diverso da 15 2, 3, 4, 6. Dimostrazione. • (Sintetica) Consideriamo in che ρ G sia una rotazione di angolo rotazione, e se Q0 = g(Q), la rotazione di centro 0 Q elemento di G, h ordine 2π/n n, X A, k 2π/n; Q se ρ 0 Q; tale che 2π/n g, tramite e possiamo supporre è il centro di questa g ∈ G, allora anche è un elemento di cioè G: h = gρg −1 ; h inoltre k h = gρg 0 < k < n: −1 e quindi infatti, è ancora h(Q0 ) = gρ(Q) = g(Q) = Q0 , per cui n h = id questo garantisce che e quindi si ottiene che una potenza intorno a Sia ora punto per ogni di G+ , o meglio di è una rotazione di centro hk 6= id, n; di periodo per qualche elemento e angolo consideriamo la coniugata h ρ, una rotazione ha h di h e ha è la rotazione di 0 Q. Q, l'orbita di diverso da Q, cioè X = {g(Q) : g ∈ G}; X un Q: un scegliamo in A tale che sia minima la distanza di da tale punto esiste, e non è necessariamente unico, perchè il gruppo è discreto. Per quanto detto precedentemente, il gruppo rotazione h distanza di di centro B da Q A ed angolo 2π/n: sia G B = h(Q), è minore della distanza di A da Q contiene la se n ≥ 7, la (Fig. 2.3 (a)) e siamo quindi arrivati ad un assurdo. Figura 2.3 Resta da escludere il caso n = 5: in questo caso d(B, Q) > d(A, Q); arriviamo però ad un assurdo iterando il ragionamento e considerando il punto C = h0 (A), dove h0 è la rotazione di centro 16 B e angolo 2π/5 (Fig. 2.3 (b)); h0 è ancora un elemento del gruppo G d(C, Q) < e d(A, Q). • (Analitica) Consideriamo in G una rotazione ρ, di centro Q e di angolo θ. un sistema di riferimento di origine Q, Fissiamo in modo che la rotazione ρ corrisponda ad una matrice del tipo: cos θ − sin θ A= sin θ ! . cos θ Fissiamo poi un altro sistema di riferimento, sempre di origine con base due vettori v w e Q, ma tali che le traslazioni rispetto a questi due vettori generino il sottogruppo T delle traslazioni di questo sistema di riferimento, l'orbita X del punto G; relativamente a Q rispetto a T è co- stituita dai punti a coordinate intere. Per costruzione, ogni traslazione di G X; ssa il reticolo di centro Q ssa X. una traslazione di G, vogliamo far vedere che anche la rotazione ρτ ρ Q = τ (Q) Infatti, sia e sia che esiste una traslazione −1 0 un punto di Q00 = ρ(Q0 ) = ρτ (Q); τ0 G in tale che X, dove τ ρ è si tratta da vericare Q00 = τ 0 (Q). L'isometria è una traslazione, perchè coniugata di una traslazione ed inoltre −1 ρτ ρ (Q) = ρτ (Q) = Q00 ; quindi Consideriamo allora la matrice ρτ ρ−1 B è la traslazione cercata. associata alla rotazione ρ questo secondo sistema di riferimento; il fatto che garantisce che matrice A, B traccia e quindi ne ricaviamo che lascia per cos θ A e θ = ±π/2 cos θ = 1 θ=0 cos θ = −1 θ=π 17 B B n = 4, n = 1, n = 2, X è simile alla hanno la stessa 2 cos θ = tr(A) = tr(B) ∈ Z. le seguenti uniche possibilità: cos θ = 0 rispetto a ssi il reticolo è a coecienti interi; d'altra parte e questo comporta in particolare che ρ Questo cos θ = 1/2 θ = ±π/3 cos θ = −1/2 n = 6, θ = ±2π/3 n = 3. Abbiamo quindi dimostrato il teorema. Osservazione 2.4. In pratica non possono esistere cristalli con simmetria pentagonale di rotazione, cioè con queste forme non è possibile riempire in maniera uniforme il piano. Sia ora E un piano Euclideo, e P ⊂E un suo sottoinsieme nella forma di un mosaico standard. Vorremmo esprimere il fatto che P e le sue copie riempiano completamente il piano senza lasciare alcun vuoto; ciò si puo fare sia in modo `regolare' che `irregolare' (Fig. 2.4). Figura 2.4 Quindi, per restringere il campo esclusivamente ai mosaici `regolari', dobbiamo introdurre un gruppo di isometrie di E, come facciamo nel seguente assioma: Assioma 2.1. Un mosaico consiste di un sottoinsieme connesso compatto P di un piano Euclideo E e di un sottogruppo G del gruppo Isom+ (E) delle ◦ isometrie di E che preservano l'orientamento, tale che l'interno P di P è non-vuoto e sono soddisfatte le seguenti condizioni: 18 1. S g∈G g(P ) = E , ◦ ◦ 2. g(P ) = h(P ) ogni volta che P ∩h(P ) 6= . Il gruppo G è chiamato `Gruppo Cristallograco'. [6] Lo scopo principale di questo capitolo è quello di dimostrare il seguente teorema: Teorema 2.2. Esistono solamente cinque gruppi cristallograci G (Fig. 2.5). [7] Figura 2.5 Dimostrazione. Sia ~ E lo spazio vettoriale su momorsmo il cui nucleo + f ∈ Isom (E)/T (E) T (E) E, e ~ Isom+ (E) → GL(E) è il gruppo delle traslazioni di E. l'o- La mappa è necessariamente una rotazione intorno al suo unico punto sso, chiamato centro. La prima idea nella dimostrazione è che il gruppo su E. in E, Ciò signica che, per ogni elemento a ∈ E, G agisce discretamente l'orbita cioè è composta solamente di punti isolati (un punto metrico X è chiamato isolato se esiste >0 tale che G(a) x è discreta di uno spazio B(x, ) ∩ X = {x}). In particolare, l'intersezione di un'orbita con un insieme compatto è nita, poichè un insieme compatto e discreto è nito. 19 Per provare che l'azione è discreta, osserviamo in primo luogo che ogni in- E sieme compatto di g(P ). Adesso osserviamo che lo stabilizzatore di un mosaico denito come 0 contiene solamente un numero nito di mosaici distinti a ∈E t.c. GP 0 = {g ∈ G : g(P 0 ) = P 0 }, 0 a0 . GP 0 Infatti, esiste 0 GP 0 ⊂ Ga0 = {g ∈ G : g(a ) = a }. Scegliamo ora un altro mosaico da è sempre nito. P 0 = g(P ), P 00 tale che il punto associato Dato che solamente l'identità lascia sia è uguale al numero di mosaici g(PP 00 ), a00 per che a0 a00 sia diverso ssi, la cardinalità di g ∈ g(PP 0 ). Quindi, poichè questi mosaici sono distinti e contenuti in un cerchio di raggio ssato, ce ne è solamente un numero nito. Adesso resta da dimostrare che ogni orbita G(a) gruppo di isometrie, è possibile far vedere che B(a, η) patto è isolato in G(a). G Sia è un η>0 G(a) ∩ B(a, η) è nito, e il numero di mosaici arbitrario, il numero di punti di in a è discreta. Poichè è anch'esso nito, dato che sono tutti contenuti in un disco com- B(a, η + δ), dove δ è il diametro di un mosaico. Quindi è un insieme nito, e possiamo trovare Adesso consideriamo il sottogruppo t.c. G(a) ∩ B(a, η) G(a) ∩ B(a, η) = {a}. Γ = G ∩ T (E) di traslazioni di G, quindi si ha la seguente proposizione: Proposizione 2.2. Il gruppo Γ è un `reticolo', cioè esiste una base {~u, ~v} di ~ tale che Γ è composto esattamente da traslazioni di vettori in Z~u + Z~v . [8] E Dimostrazione. Cominciamo a provare, per assurdo, che Γ contiene almeno due traslazioni linearmente indipendenti. Assumiamo prima di tutto che rotazioni; se due rotazioni rsr−1 s−1 r ed Γ = IdE , vale a dire che G contiene solamente s hanno centri dierenti, il loro commutatore è una traslazione non banale. Quindi le rotazioni di lo stesso centro ω, e S g∈Γ g(P ) G hanno tutte è contenuta in un disco di raggio ssato, il che contraddice il punto 1. dell'assioma 20 (Fig. 2.06). Figura 2.06 Adesso supponiamo che le direzioni degli elementi di Prendiamo r ∈ G\Γ ed una traslazione è una traslazione di un vettore ξ~, si può concludere che elementi di r ed s G\Γ r ~ r(ξ) t∈Γ Γ siano tutte parallele. di un vettore e, poichè ~ r(ξ) ξ~. Quindi rsr−1 deve essere parallelo a è una riessione tramite alcuni punti. Tutti gli sono quindi riessioni tramite punti; ma se due riessioni hanno come centri a ed a0 , allora sr è una traslazione di vettore (Fig. 2.07). Figura 2.07 21 − → 2aa0 Quindi i centri di tutti gli elementi di G\Γ alla direzione delle traslazioni; ciò implica che striscia centrata in D sono sulla retta S g∈Γ g(P ) D parallela è contenuta in una (Fig. 2.08), ancora in contraddizione con il punto 1. dell'assioma. Figura 2.08 Questo mostra che Γ contiene traslazioni di due vettori linearmente indipen- denti. Quindi rimane da far vedere che esistono ~u e ~v tali che: Γ = {traslazioni di ω ~ : ω ~ ∈ Z~u + Z~v } . Poichè, come abbiamo visto nella dimostrazione del teorema 2.2, il gruppo G agisce discretamente su vettore E, possiamo scegliere una traslazione in Γ di un ~u con norma minima k~uk, e ancora un'altra traslazione in Γ di ~v ∈ / Z~u con norma minima k~v k. Qui di seguito dimostreremo che ~u e ~v sono i vettori desiderati. Sia Q ssato. il parallelogramma Poichè l'immagine Γ g(Q), di a y, all'interno di sotto G è un gruppo, e con g ∈ Γ, che non è in Q Q = {a + t~u + s~v : t, s ∈ [0, 1]}, per un a ∈ E Γ ⊃ {traslazioni di ω ~ : ω ~ ∈ Z~u + Z~v }, ricopre E. a + Z~u + Z~v , Quindi, se c'è un punto nell'orbita ce n'è anche un altro, che chiamiamo (Fig. 2.09). 22 Figura 2.09 Adesso richiediamo che la distanza da mente minore di k~uk oppure di k~v k; y ad uno dei vertici di Q sia stretta- per vedere ciò supponiamo che y sia al- l'interno del triangolo {a, b = a + ~u, c = a + ~v }, e osserviamo che il segmento ha, yi hb, ci interseca il lato in a0 , e si ha d(a, y) < d(a, a0 ) (Fig. 2.10). Figura 2.10 Ma d(a, a0 ) < (d(a, b)+d(a, c))/2 = (k~u + ~v k)/2, che prova la nostra richiesta ed è in contraddizione con la scelta di ~u e ~v . Adesso togliamo la restrizione per la quale i mosaici non possono essere girati; cioè i mosaici sono decorati in entrambi i lati. a lavorare in Isom(E) invece che in Isom+ (E). Questo corrisponde Quindi, anche per quanto fatto nora in questo capitolo, è possibile incrementare G a diciassette, dove gli altri dodici gruppi cristallograci li possiamo oservare nelle seguenti gure (Fig. 2.11 e Fig. 2.12): 23 Figura 2.11 Figura 2.12 24 Capitolo 3 La tassellatura periodica: Escher Mauritius Cornelius Escher (17 Giugno 1898 - 27 Marzo 1972), artista olandese, è stato uno dei più grandi interpreti della divisione regolare del piano. Dopo aver frequentato la Scuola di architettura e di disegno ornamentale di Haarlem, sotto l'inuenza del suo maestro dell'epoca, utilizzò l'arte della xilograf ia (ovvero l'intagliare con una sgorbia un pannello di legno di lo, di solito pero) all'inizio della sua vita artistica (Fig. 3.01). Figura 3.01. Prima divisione regolare del piano. 25 Nel ceppo di legno originale di questa gura furono intagliate otto teste differenti, quattro femminili e quattro maschili. È, come detto, la prima divisione regolare del piano che fu creata da Escher, eseguita nel 1922, e la supercie può essere riempita all'innito unendo le stampe fra loro. La fonte di ispirazione per l'artista, o meglio il luogo che lo ha aascinato portandolo ad interessarsi all'argomento della divisione del piano, è situato in Spagna, più precisamente a Granada, ed è la fortezza araba dell'Alhambra. In questo palazzo i M ori hanno riprodotto 13 dei 17 motivi che abbiamo descritto nei capitoli precedenti (due dei rimanenti si trovano nella città di Toledo e gli ultimi due sono rappresentati nell'arte di varie tribù), ma la religione islamica, che non permette di ritrarre motivi di animali o di persone, è una limitazione molto importante che fortunatamente in Escher non è presente. Adesso andiamo a visionare un'opera dell'artista per analizzarne brevemente la struttura. quello dei L'esempio che prendiamo in considerazione qui di seguito è Cavalieri (Fig. 3.02) Figura 3.02. Xilograa, stampa da tre piastre. (1946) 26 Insieme ai Cigni (Fig. 3.03) e ai Due piani intersecanti (Xilograa, stampa da tre piastre (1952)), i Cavalieri è una stampa in cui ricorre esplicitamente la riessione; i cavalieri chiari sono l'immagine riessa di quelli scuri, e si può passare esattamente dall'uno all'altro applicando una glissorif lessione. L'asse di questa trasformazione è ovviamente verticale ed è posizionato o tra le schiene o tra i polsi dei cavalieri; qui viene comunque dimostrato che i cavalieri chiari e quelli scuri insieme riempiono un'intera supercie. Figura 3.03. Xilograa. (1956) Siamo quindi arrivati alla conclusione, ma prima di terminare può essere molto interessante osservare come sia possibile, utilizzando un semplice programma come Cabrì 2D, costruire una tassellazione del piano con dei poligoni regolari. Per l'esempio utilizziamo come mattonella principale un triangolo equilatero, che andiamo a costruire come Elementi'. del primo libro degli ` ciamo i due cerchi di raggio intersezione BC Euclide espone nel primo teorema Dunque, costruito il segmento e centri rispettivamente B e C; BC , trac- il punto di A delle due circonferenze determina il triangolo equilatero ABC (Fig. 3.04). 27 Figura 3.04 Nel triangolo così disegnato di A rispetto ad M. M è il punto medio del lato BC ed S il simmetrico Ora, sfruttando la costruzione del punto andare ad individuare il simmetrico del triangolo così facendo si ottiene il rombo ABSC ABC S, possiamo rispetto al lato BC ; (Fig. 3.05). Figura 3.05 Dunque possiamo utilizzare il rombo acquisito per tassellare interamente il piano costruendo i due vettori rettangoli ABC e BCS −→ AB e −→ AC che utilizziamo per duplicare i sfruttando i comandi di 28 Cabrì 2D (Fig. 3.06). Figura 3.06 Abbiamo così ottenuto un ricoprimento del piano partendo da un triangolo equilatero; come detto è possibile utilizzare anche un quadrato o un esagono regolare, e per farlo si utilizza un procedimento analogo a quello che abbiamo appena visto. 29 Bibliograa [1] Sernesi Edoardo. Geometria 1. Bollati Boringhieri, Torino, 2000, pag. 276 [2] Sernesi Edoardo. Geometria 1. Bollati Boringhieri, Torino, 2000, pp. 277-279 [3] Sernesi Edoardo. Geometria 1. Bollati Boringhieri, Torino, 2000, pp. 279-280 [4] Berger Marcel. Géométrie Vol. 1. Springer-Verlag, Berlino, 1987 pag. 7 [5] Dedò Maria. Forme: simmetria e topologia Decibel-Zanichelli, Bologna, 2000, pp. 213-214 [6] Berger Marcel. Géométrie Vol. 1. Springer-Verlag, Berlino, 1987 pag. 13 [7] Berger Marcel. Géométrie Vol. 1. Springer-Verlag, Berlino, 1987 pp. 13-16 [8] Berger Marcel. Géométrie Vol. 1. Springer-Verlag, Berlino, 1987 pp. 16-18 30