Isometrie del piano: i Gruppi Cristallogra ci

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Isometrie del piano: i Gruppi Cristallogra ci
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE
FACOLTÀ DI S.M.F.N.
Tesi di Laurea in Matematica
presentata da Valentino Nocera
Isometrie del piano:
i Gruppi Cristallograci
Relatore
Prof. Andrea Bruno
Il Candidato
Il Relatore
ANNO ACCADEMICO 2005-2006
Classicazione: 51H20
Indice
Introduzione
ii
1 Preliminari
1
1.1
Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
I Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Le Isometrie del Piano
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 I Gruppi Cristallograci
12
2.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2
I Gruppi Cristallograci piani
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 La tassellatura periodica: Escher
25
Bibliograa
30
i
Introduzione
Con la seguente tesi ci proponiamo di sviluppare l'argomento dei
Cristallograf ici P iani.
Gruppi
Nel primo capitolo, dopo un breve quadro storico
nel quale vedremo come si è sviluppata e quale ruolo ha ricoperto la simmetria
nella storia dell'uomo nel corso dei secoli, ci soermeremo sui
Gruppi dandone
le principali denizioni. Successivamente, nel terzo paragrafo, introdurremo
il concetto di isometria nel piano (soermandoci sulle quattro isometrie quali
la
rif lessione,
arrivare al
la
traslazione,
la
rotazione
e la
glissorif lessione)
no ad
Teorema di Chasles del quale daremo una dimostrazione comple-
ta.
Nel secondo capitolo arriveremo nalmente a trattare i gruppi cristallograci
piani, partendo dal
Teorema di Restrizione Cristallograca,
del quale pro-
porremo una dimostrazione sintetica ed una analitica, che getterà le basi per
il risultato nale con cui riusciremo a limitare il numero di tali gruppi cristallograci nel piano a
17.
Quindi, nel terzo ed ultimo capitolo, vedremo un'applicazione pratica di
quanto abbiamo esposto nel corso della tesi studiando uno degli artisti più
particolari di questo genere:
Mauritius Cornelius Escher.
Inne vedremo
come sia possibile tassellare il piano utilizzando un programma relativamente semplice come
Cabrì 2D
fornendone un esempio che svolgeremo e
spiegheremo interamente nel suo sviluppo.
ii
Capitolo 1
Preliminari
1.1 Cenni storici
Un tema che ha suscitato interesse e continua ancora oggi ad aascinare
molti studiosi è quello della simmetria in ambiente geometrico. Approfondendo questo argomento, infatti, ci si immerge in aspetti della matematica che
aascinano non solo gli esperti della materia, ma anche coloro che per la
prima volta si aacciano in questo particolare mondo.
In eetti la sim-
metria così come la vedremo nel corso della tesina è un tema portante di
valori didattici per la matematica: il valore che rivestono molte importanti strutture algebriche, l'analisi dei casi possibili e la loro rappresentazione,
l'interpretazione dei dati esistenti, ecc. sono solo alcuni degli elementi che
permettono la comprensione dei principi che stanno alla base della razionalizzazione matematica. Se ad esempio prendiamo in considerazione lo spazio
euclideo, la simmetria di una gura è costituita dall'insieme delle trasformazioni euclidee che può subire lo spazio e che la lasciano invariata senza
necessariamente lasciare inalterato ogni singolo punto; partendo da queste
basi, dunque, è possibile intuire che sono le trasformazioni dell'ambiente
circostante che danno senso alla simmetria, che può essere denita come
`
ciò che rimane quando tutto cambia'.
Storicamente la simmetria si è aacciata nella matematica abbastanza tardi
1
nel tempo, e non attraverso la geometria, come si potrebbe pensare, bensì
attraverso l'algebra, grazie ai cosiddetti `
Gruppi di Galois ', cioè i gruppi di
simmetria delle radici delle equazioni algebriche.
Sin dal V secolo a.C. la simmetria ha invaso la maggior parte delle osservazioni scientiche, come possiamo vedere in Talete di Mileto il quale formulò
i primi teoremi della cultura occidentale: `ogni
diametro divide il cerchio in
due parti uguali', `gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali
...
.
Con Euclide compare anche la classicazione dei `
poliedri regolari
'
',
anche se la loro simmetria sembra quasi un fatto occasionale, cioè appare più
come una singolarità del solido che come una sua relazione con lo spazio in
cui è immerso.
Successivamente troviamo dei riferimenti anche nel mondo
latino, principalmente in Vitruvio, che nel `De Architectura' fa riferimento
alla simmetria come la relazione tra il tutto e le sue parti; ma questo tema
nel mondo latino non viene più approfondito e ricompare solo in seguito nel
Rinascimento, con
Leonardo Da Vinci che si trova impegnato nello studio e
nella migliore utilizzazione delle piante degli edici, e a lui vengono attribuiti
i primi risultati relativi alla simmetria geometrica.
Dalla metà del
0
500
la
simmetria entra a far parte di un settore diverso, quello dell'algebra; ed è
insieme che si sviluppano no a quando, grazie soprattutto alla straordinaria
mente di Galois, non si arriva ad aprire il vasto campo di studio dell'algebra
moderna.
I risultati fondamentali della simmetria in campo geometrico arriveranno invece più avanti con le ricerche cristallograche che saranno poi riacquisite e
dimostrate rigorosamente dalla geometria.
1.2 I Gruppi
Per una maggiore comprensione di ciò che aronteremo nella seconda parte di
questa tesina è necessario introdurre delle nozioni sui gruppi che ci potranno
essere molto utili in seguito.
2
Denizione 1.1. Un `Gruppo' è una coppia (G, ∗) costituita da un insieme
G e da un'operazione binaria in G, cioè un'applicazione ∗ : G × G → G che
associa ad ogni coppia (g, g 0 ) ∈ G × G un elemento g ∗ g0 ∈ G in modo tale
che siano soddisfatte le seguenti proprietà:
G1: Associativa,
G2: Esistenza elemento neutro,
G3: Esistenza dell'inverso.
Un gruppo (G,∗) si dice
Commutativo
o
Abeliano
se soddisfa anche la
seguente proprietà:
G4: Commutatività.
In un Gruppo Abeliano l'operazione viene di solito denotata con il simbolo
+
e chiamata
Sia ora
V
somma.
uno spazio vettoriale, allora
V
è un Gruppo Abeliano rispetto
all'operazione di somma tra vettori. Le quattro proprietà sono soddisfatte e
(V, +) si dice Gruppo Additivo dello spazio vettoriale.
delle matrici segue che l'insieme
a elementi in
K
GLn (K)
Inoltre, dalle proprietà
di tutte le matrici invertibili
n×n
è un gruppo rispetto all'operazione di prodotto righe per
colonne; (GLn , ·) è chiamato
Gruppo Lineare Generale di ordine n su K .
Denizione 1.2. Un sottoinsieme F di un gruppo G si dice `Sottogruppo'
di G se soddisfa alle seguenti condizioni:
SG1 Per ogni f, f 0 ∈ F l'operazione f ∗ f 0 ∈ F ,
SG2 L'identità e ∈ F ,
SG3 Se f ∈ F ⇒ f −1 ∈ F .
I sottogruppi di
pio ne è l'insieme
GLn (K)
sono detti
gruppi lineari di ordine n.
SLn (K) costituito dalle matrici A ∈ GLn (K) t.c. det(A) =
1, che viene chiamato Gruppo Lineare Speciale di ordine n.
anche
O(n)
Oltre ad
è un gruppo lineare ed è costituito dalle matrici
comprende tutte quelle matrici
A t.c. At A = In .
SLn (K)
ortogonali, cioè
Per come è denita una ma-
trice ortogonale è anche invertibile, poichè infatti l'inversa
trasposta
Un esem-
A−1 coincide con la
At ; inoltre si ha anche che det(A) = ±1, visto che det(At ) = det(A)
3
e quindi
det(A)2 = det(In ) = 1.
viene denito
È facile vericare che
Gruppo Ortogonale di ordine n.
O(n)
è un gruppo che
Il sottoinsieme di
O(n)
costi-
tuito dalle matrici ortogonali aventi determinante uguale a 1 è un sottogruppo
che viene chiamato
SO(n).
Gruppo Ortogonale Speciale di ordine n ed è indicato con
Dunque si ottiene il seguente risultato:
SO(n) = O(n) ∩ SLn (R).
Denizione 1.3. Se G e G0 sono due gruppi, un'applicazione ω : G →
G0 è un `omomorsmo' se ω(f · g) = ω(f ) · ω(g) per ogni f, g ∈ G. Un
omomorsmo biettivo si dice `isomorsmo'; in questo caso anche ω−1 è un
isomorsmo.
Le trasformazioni di uno spazio ane più interessanti dal punto di vista
geometrico sono le `anità':
Denizione 1.4. Siano V e V 0 due K-spazi vettoriali, A uno spazio ane
su V e A0 uno spazio ane su V 0 . Un `isomorsmo' di A su A0 è un'applicazione biunivoca f : A → A0 tale che esista un isomorsmo degli spazi
−−−−−−→ −−−−→
vettoriali associati ϕ : V → V 0 che soddis la condizione f (P )f (Q) = ϕ(P Q)
∀P, Q ∈ A. In particolare una `anità' di A è un isomorsmo di A su se
stesso.
1.3 Le Isometrie del Piano
Ci apprestiamo tra poco ad introdurre l'importantissimo concetto di isometria che ci permetterà di giungere al fondamentale Teorema di Chasles:
Denizione 1.5. Un operatore lineare T : V → V si dice `unitario' se
hT (v), T (w)i = hv, wi per ogni v, w ∈ V .
In pratica questa denizione equivale a dire che
to scalare.
T
preserva il prodot-
Adesso abbiamo tutti gli elementi necessari per la seguente
denizione:
4
Denizione 1.6. Sia E uno spazio euclideo su V . Un'anità f : E → E si
dice `isometria' di E se l'automorsmo associato ϕ : V → V è un operatore
unitario.
Un esempio di isometria è l'identità
l'identità di
V,
1E , poichè l'automorsmo associato è
che a sua volta è un operatore unitario. Si può anche genera-
lizzare il concetto aermando che ogni traslazione è un'isometria. Poichè la
composizione di due isometrie e l'inversa di un'isometria danno origine ancora
a delle isometrie, possiamo concludere che le isometrie di
sottogruppo di
Af f (E),
indicheremo con
E
costituiscono un
ovvero un gruppo di trasformazioni ani di
Isom(E)
chiamandolo
E
che
`Gruppo delle Isometrie di E'.
Denizione 1.7. Un'isometria f , con automorsmo associato ϕ, si dice
`diretta' se det(ϕ) = 1, e `inversa' se det(ϕ) = −1.
Le isometrie dirette costituiscono un sottogruppo (Isom
e quindi, poichè le
traslazioni
gruppo di isometrie dirette di
+
(E)) di Isom(E),
sono particolari isometrie dirette,
E.
Sia invece
O ∈ E;
le
TE
è un
rotazioni di centro O
sono anch'esse delle isometrie dirette ed è possibile identicare il gruppo costituito proprio da queste rotazioni con quello delle matrici ortogonali speciali
di ordine
n,
ovvero questi due gruppi sono isomor tra di loro.
Quindi torniamo a prendere in considerazione il `Gruppo Ortogonale Speciale'
SO(n),
elementi di
e andiamo a considerare il caso particolare di
SO(2),
cioè gli
che sono gli le matrici della forma
Rθ =
Gli altri elementi di
alle matrici
n = 2,
Aθ = R θ
cos θ − sin θ
sin θ
O(2), cioè
!
1 0
0 −1
cos θ
!
, θ ∈ R.
quelli con determinante
−1,
corrispondono
. Possiamo quindi enunciare e dimostrare il
seguente lemma:
Lemma 1.1.
1. Aθ = Rθ A0 = A0 R−θ per ogni θ ∈ R.
5
2. Aϕ Aθ = Rϕ−θ per ogni ϕ, θ ∈ R.
3. Ogni matrice Aθ possiede gli autovalori λ1,2 = ±1, con autospazi di
dimensione 1 tra loro ortogonali. [1]
Dimostrazione.
1. Considerando che
A0 =
1
!
0
, la dimostrazione segue dal calcolo
0 −1
diretto.
2. Per la 1. si ha
Aϕ Aθ = (Rϕ A0 )(A0 R−θ ) = Rϕ (A0 A0 )R−θ = Rϕ I2 R−θ = Rϕ−θ .
3. Poichè il polinomio caratteristico di
λ1,2 = ±1.
Aθ
è
λ2 − 1,
gli autovalori sono
Quindi gli autospazi sono di dimensione 1, e pertanto resta
da dimostrare che sono tra loro ortogonali. Tali autospazi sono deniti
rispettivamente dalle equazioni in coodinate
(cos θ − 1)X + (sin θ)Y = 0,
per
λ=1
(cos θ + 1)X + (sin θ)Y = 0,
per
λ = −1
e poichè
X, Y :
2
(cos θ−1)(cos θ+1)+sin θ = 0, i due autospazi sono ortogonali
fra di loro.
Ora consideriamo un piano euclideo
sociato
V
con piano vettoriale euclideo as-
ssando un riferimento cartesiano
centro della rotazione
σ : E → E.
rotazioni, è possibile associare a
detto
E
angolo della rotazione σ
σ
Oe1 e2 ;
un elemento
ρr
Rθ ∈ SO(2),
di
r
il
dove
θ
viene
RC,θ .
E , diversa dall'identità, che ssi tutti
i punti di una retta r; questa isometria viene detta
sometria inversa, e la retta
C ∈ E
Per quanto detto in precedenza sulle
, che indicheremo con
Consideriamo adesso un'isometria
sia invece
rif lessione,
che è un'i-
`asse di riessione'. Identicheremo le riessioni
con asse passante per l'origine, cioè che ssano l'origine ma non sono rotazioni, con il simbolo
AO,θ ,
e il relativo asse
6
rθ
sarà la retta passante per
l'origine che ha come direzione l'autospazio relativo all'autovalore
la retta di equazione
λ = 1, cioè
(cos θ − 1)X + (sin θ)Y = 0.
Lemma 1.2.
1. Siano r una retta di E , C ∈ r un suo punto ed RC,θ una rotazione di
centro C . Esistono rette s e t contenenti C tali che RC,θ = ρr ◦ ρs =
ρt ◦ ρr . Viceversa, per ogni coppia di rette r ed s passanti per un punto
C , la composizione ρr ◦ ρs è una rotazione di centro C e ρr ◦ ρs = 1E
⇔ r = s.
2. La composizione RC,θ ◦ RD,ϕ di due rotazioni di centro i punti C e D
e di angoli θ e ϕ rispettivamente, è una rotazione di angolo θ + ϕ, a
meno che non si abbia θ + ϕ = 2kπ , k ∈ Z; in questo caso RC,θ ◦ RD,ϕ
è una traslazione, che è diversa dall'identità ⇔ C 6= D.
3. Se C e D sono due punti distinti ed r la retta che li contiene, e se le
rotazioni RC,θ ed RD,ϕ sono non banali e θ+ϕ 6= 2kπ , allora le rotazioni
RC,θ ◦ RD,ϕ ed RC,−θ ◦ RD,−ϕ hanno centri distinti e simmetrici rispetto
a r. [2]
Dimostrazione.
1. Possiamo supporre
C =0
e qundi
ρr = AO,α
il secondo punto del Lemma 1.1 si ha che
to
RO,θ = ρr ◦ ρs ,
modo si ha
dove
s
AO,θ+α .
Supponendo
α ∈ R.
Rθ = Aα ◦ Aα−θ
è l'asse della riessione
RO,θ = AO,θ+α ◦ AO,α = ρt ◦ ρr
della riessione
per qualche
dove
C = O,
t
AO,α−θ ;
Per
e pertanallo stesso
è a sua volta l'asse
il viceversa è facilmente
dimostrabile perchè è una riformulazione del Lemma 1.1, punto 2.
2. Se
C = D,
e quindi
si ha
RC,θ ◦ RC,ϕ = RC,θ+ϕ .
θ, ϕ 6= 2kπ ,
indicando con
r
Quindi supponiamo
la retta passante per
Per il punto 1. di questo lemma esistono una retta
7
t
C
C 6= D,
e per
contenente
D.
C
e
una retta
s contenente D tali che RC,θ = ρt ◦ρr
e
RD,ϕ = ρr ◦ρs .
Quindi
si ha
RC,θ ◦ RD,ϕ = (ρt ◦ ρr ) ◦ (ρr ◦ ρs ) = ρt ◦ (ρr ◦ ρr ) ◦ ρs = ρt ◦ ρs .
Ora, se
t
ed
s
sono parallele,
perpendicolare a
t
ed
ρt ◦ρs è una rotazione.
C
e
s;
ρt ◦ ρs
se invece non sono parallele, per il punto 1.
Infatti, se andiamo a considerare le coordinate di
D, cioè rispettivamente c = (c1 c2 )t
di coordinate
è una traslazione in direzione
x = (x1 x2 )t ,
il punto
e
d = (d1 d2 )t , si ha che, ∀P ∈ E
RC,θ ◦ RD,ϕ (P )
ha coordinate
y = Rθ [Rϕ (x − d) + d − c] + c = Rθ+ϕ (x − d) + Rθ (d − c) + c.
Questa è una traslazione se e solo se
θ + ϕ = 2kπ ,
in caso contrario è
una rotazione di un angolo che per la sua espressione è uguale a
Se
θ + ϕ = 2kπ
perchè
3. Siano
si ha
d − c 6= 0,
ed
y = x + [Rθ (d − c) − (d − c)],
θ + ϕ.
che non è l'identità
Rθ 6= I2 .
s e t le rette denite come nella dimostrazione del punto 1., e tali
che soddisno
RC,θ = ρt ◦ ρr
e
RD,ϕ = ρr ◦ ρs .
Si ha che
RC,−θ = (RC,θ )−1 = ρr ◦ ρt
RD,−ϕ = (RD,ϕ )−1 = ρs ◦ ρr ,
e quindi
RC,−θ ◦ RD,−ϕ = ρr ◦ ρt ◦ ρs ◦ ρr ) = ρr ◦ RC,θ ◦ RD,ϕ ◦ ρr .
Da qui è facile vericare che, dao
RD,ϕ ,
il punto
RD,−ϕ ,
ha
ρr (Q)
Q
come centro della rotazione
è trasformato in se stesso dalla rotazione
e quindi ne è il centro. Poichè
RC,θ
e
s 6= r 6= t, e quindi Q = s ∩ t non sta su r.
sono distinti.
8
RD,ϕ
RC,θ ◦
RC,−θ ◦
sono non banali, si
Quindi i punti
Q e ρr (Q)
Dobbiamo adesso introdurre un'isometria inversa che non ssa nessun
punto di
tria
ρr
f
di
E,
ovvero la `Glissoriessione'. Una
glissorif lessione
è un'isome-
E ottenuta come composizione (f = tv ◦ρr = ρr ◦tv ) di una riessione
di asse una retta
che il vettore
v 6= 0
r
(chiamata
asse
sia parallelo a
r.
di
f)
e di una traslazione
tv 6= 1E
tale
Si arriva così all'importante:
Teorema 1.1. (Chasles, 1831)
Una isometria del piano euclideo E che ssa un punto è una rotazione oppure
una riessione a seconda che sia diretta o inversa. Una isometria di E che
non ssa alcun punto è una traslazione oppure una glissoriessione a seconda
ce sia diretta o inversa. [3]
Dimostrazione.
Se
f ∈ Isom(E)
ssa un punto, la dimostrazione segue da
quanto detto in precedenza. Supponiamo invece che
retta priva di punti ssi. Allora anche
vericasse
mato da
f
P = f 2 (P )
per qualche
nel segmento
P,
f2
f
sia un'isometria di-
è priva di punti ssi, perchè se si
il segmento
2
f (P )P = f (P )f (P ),
P f (P )
verrebbe trasfor-
cioè nello stesso segmento ma
con gli estremi scambiati, e quindi il suo punto medio sarebbe ssato da
che non è possibile.
Figura 1.1
9
f,
Per ogni
P ∈ E,
consideriamo ora i tre punti
P , f (P ), f 2 (P ),
che, come ab-
biamo appena visto, sono distinti, e facciamo vedere che sono allineati; se così
non fosse
(Fig. 1.1), infatti, gli assi dei due segmenti P f (P ) e f (P )f 2 (P )
Q:
si incontrerebbero in un punto
avrebbe anche
poichè
d(P, f (P )) = d(f (P ), f 2 (P )),
2
d(Q, P ) = d(Q, f (P )) = d(Q, f (P )).
rientazione, ne segue che il triangolo di vertici
fa
f
nel triangolo di vertici
Q, f (P ), f 2 (P ),
f
Q, P , f (P )
f
preserva l'o-
viene trasformato
Q = f (Q),
e quindi
2
i
P , f (P ), f (P ), ..., f (P )
contraddizione. Dunque i punti
quindi
Poichè
si
cioè una
sono allineati e
agisce sulla retta che li contiene come una traslazione. Poichè è una
f
isometria diretta,
deve agire come la stessa traslazione su tutto il piano, e
quindi è una traslazione.
Figura 1.2
Supponiamo adesso che
f
sia una isometria inversa priva di punti ssi. Allora
f 2 è una isometria diretta e, ragionando come nel caso precedente, si dimostra
che
f 2 = tv ,
per qualche
qualsiasi: le rette
v.
A questo punto consideriamo un punto
r0 = P f 2 (P )
e
r1 = f (P )f 3 (P )
necessariamente distinte, e vengono scambiate da
se stessa la retta
r,
Ma allora, poichè
f
parallela ad
2
agisce su
r0
r
e a
r1
10
sono parallele, ma non
f;
quindi
f
trasforma in
ed equidistante da esse
come la traslazione
P ∈E
tv , f
(Fig 1.2).
agisce su
r
come
la traslazione
tv/2 .
La composizione
t−v/2 ◦ f
ssa quindi tutti i punti di
r
e perciò, non essendo l'identità perchè è una isometria inversa, essa è una
riessione. Da ciò segue che
f = tv/2 ◦ (t−v/2 ◦ f )
è una glissoriessione.
Denizione 1.8. Sia G un sottogruppo di Isom(E); diciamo che G è un
`sottogruppo discreto' se, per ogni P ∈ E , esiste un intorno U di P in E tale
che, per ogni g ∈ G, o g(P ) = P oppure g(P ) ∈/ U .
I gruppi discontinui di isometrie del piano euclideo
E
si suddividono in tre
classi: i gruppi niti, i gruppi dei fregi (che contengono traslazioni in una sola
direzione) ed i cosiddetti
traslazioni indipendenti).
`gruppi cristallograci piani'
(che contengono due
Nel prossimo capitolo aronteremo questi ultimi
in maniera approfondita delineandone bene gli aspetti fondamentali.
11
Capitolo 2
I Gruppi Cristallograci
2.1 Introduzione
Prima di intraprendere un discorso approfondito sui Gruppi Cristallograci piani, occorre una piccola introduzione che ci permetta di dare alcune
denizioni molto importanti.
Siano
A, B ⊂ E
due sottoinsiemi, deniamo la
{x ∈ E : x ∈ A e x ∈
/ B}.
restrizione di f
se stesso con
è la
ad
IdX .
del
come
f :E→F
f |A ;
è una mappa e
indichiamo invece la
Siano ancora
A, B ⊂ E ,
A ∈ E,
scriviamo la
mappa identità di X
E spazio vettoriale,
in
E = A⊕B
somma diretta.
Un sottogruppo
dice
A
Se
dierenza di insiemi: A\B =
G
del gruppo delle trasformazioni di un dato insieme
S
si
gruppo di trasformazioni di S ; un esempio ne è il gruppo delle isometrie
piano. Sia ora X un insieme, SX è il gruppo delle permutazioni di X
sotto la composizione di mappe, e nel caso in cui
indichiamo
SX
con
Sn
invece il sottogruppo
che prende il nome di
An ⊂ S n
X
sia nito, con
n = |X|,
gruppo simmetrico di grado n;
formato dalle sole permutazioni pari è detto
gruppo alterno di ordine n.
Adesso andiamo a denire due importanti gruppi che sono fondamentali nel-
gruppo di Klein, che è il prodotto
Z2 × Z2 di un gruppo con due elementi con sé stesso, e il gruppo diedrale:
lo studio delle isometrie del piano, cioè il
12
Denizione 2.1. L'insieme dei movimenti che muta in sé il rettangolo, costituito da quattro elementi, forma un gruppo di trasformazioni che prende il
nome di `Gruppo di Klein' e che indichiamo con V4 .
(Fig. 2.1) si può vedere la tavola di moltiplicazione del gruppo di
Klein con rh , rv e r denite come nella (Fig. 2.2)
Nella
Figura 2.1
Figura 2.2
Denizione 2.2. Il `Gruppo Diedrale' Dn è il gruppo dei movimenti rigidi
che mutano in sé un poligono regolare di n lati.
Osservazione 2.1.
1. Dn possiede n rotazioni attorno al centro del poligono ed n ribaltamenti
rispetto agli n assi di simmetria del poligono.
2. Poichè i movimenti rigidi di un poligono regolare possono essere considerati come permutazioni dei vertici, si ha Dn ⊆ Sn , con il caso
13
particolare di n = 3 in cui si ha D3 = S3 , mentre per n > 3 risulta
Dn ⊂ Sn .
3. Se G è un sottogruppo nito di Isom(R2 ), allora G è isomorfo o ad un
gruppo ciclico Cn o ad un gruppo diedrale Dn .
Diamo inne alcune denizioni riguardanti i gruppi:
Denizione 2.3. Sia G un gruppo ed X un insieme. Una `azione' di G su
X è un omomorsmo φ : G → SX . Se φ è una `G − azione' su X , si dice
che G agisce su X tramite φ.
Denizione 2.4. L'azione (G, X, φ) si dice `fedele' se φ è iniettiva (questo
accade quando G ⊂ SX ). Se G non è un'azione fedele, si può considerare
l'azione fedele associata (G/Kerφ, X, φ).
Denizione 2.5. L'azione (G, X, φ) si dice `transitiva' se ∀x, y ∈ X ∃g ∈ G
t.c. g(x) = y . Se ∃! g ∈ G t.c. g(x) = y l'azione si dice `semplicemente
transitiva'.
Proposizione 2.1. Se G è un gruppo abeliano, ogni azione transitiva fedele
è un'azione semplicemente transitiva. [4]
Dimostrazione.
g(y) = h(y)
Se per qualche
per ogni
y ∈ G,
x∈X
quindi
e
g, h ∈ G
si ha
g(x) = h(x),
allora
g(y) = g(k(x)) = k(g(x)) = k(h(x)) =
h(k(x)) = h(y).
Denizione 2.6. Se (X, G) è un gruppo azione e x ∈ X , lo `stabilizzatore'
di x è il sottogruppo di G: Stx = Gx = {g ∈ G : g(x) = x}.
Denizione 2.7. L'insieme X è chiamato `spazio omogeneo' su G se (G, X, φ)
è transitiva.
Denizione 2.8. Sia (G, X) uno spazio omogeneo, deniremo `orbita' di
x ∈ X : O(x) = {g(x) : g ∈ G}.
Osservazione 2.2. Se G è nito lo è anche O(x) ∀x; inoltre |O(x)| =
(|G|)/(|Gx |).
14
Osservazione 2.3. Formula delle classi
Siano X e G niti, e consideriamo un'azione di G su X . Se A ⊂ X è un
sottoinsieme il quale interseca ogni orbita esattamente in un punto, si ha
P
|G|
|X| = x∈A |G
.
x|
Denizione 2.9. L'insieme A è detto `sezione' della mappa p : X → X/G
perchè è l'immagine s(X/G) di una sezione s : X/G → X di p.
Denizione 2.10. Un gruppo nito G è chiamato `p − gruppo' se |G| = pm ,
m ∈ N∗ e p primo; cioè se è un gruppo che ha come ordine una potenza di p.
2.2 I Gruppi Cristallograci piani
Nel passato, molte culture come quella araba o anche nell'arte precolombiana o in quella africana, hanno sviluppato un grande interesse per le gure
piane con motivi ripartiti regolarmente in modo tale da ricoprire l'intero piano. Questi motivi ammettono un innito numero di variazioni, ma esistono
solamente un numero nito di modi di riprodurli, esattamente
17.
Prima
di dimostrare l'esistenza di questi diciassette Gruppi Cristallograci piani,
occorre introdurre un risultato fondamentale che ssa la forma dei possibili
reticoli piani lungo i quali il motivo può essere trasferito per traslazione.
Teorema 2.1. (Restrizione Cristallograca)
Sia G un sottogruppo discreto di Isom(E), T il sottogruppo delle traslazioni
in G e P il gruppo puntuale di G (ovvero se G è un sottogruppo discreto di
Isom(E), la restrizione di φ : Isom(E) → O(2) a G denisce un omomorsmo φ0 : G → O(2) il cui nucleo è N e la cui immagine è un sottogruppo
P di O(2), isomorfo al quoziente G/N , che viene appunto chiamato `gruppo
puntuale' relativo a G); supponiamo T ∼
= Z ⊕ Z. Allora G può contenere solo
rotazioni di ordine due, tre, quattro, sei; quindi P può essere isomorfo solo
ad uno dei seguenti dieci gruppi: Cn e Dn per n = 1, ..., 4, 6. [5]
In entrambe le dimostrazioni riportate qui di seguito basterà far vedere
che non esistono in
G
rotazioni di ordine diverso da
15
2, 3, 4, 6.
Dimostrazione.
•
(Sintetica)
Consideriamo in
che
ρ
G
sia una rotazione di angolo
rotazione, e se
Q0 = g(Q),
la rotazione di centro
0
Q
elemento di
G,
h
ordine
2π/n
n,
X
A,
k
2π/n;
Q
se
ρ
0
Q;
tale che
2π/n
g,
tramite
e
possiamo supporre
è il centro di questa
g ∈ G,
allora anche
è un elemento di
cioè
G:
h = gρg −1 ; h
inoltre
k
h = gρg
0 < k < n:
−1
e quindi
infatti,
è ancora
h(Q0 ) = gρ(Q) = g(Q) = Q0 ,
per cui
n
h = id
questo garantisce che
e quindi si ottiene che una potenza
intorno a
Sia ora
punto
per ogni
di
G+ ,
o meglio di
è una rotazione di centro
hk 6= id,
n;
di periodo
per qualche elemento
e angolo
consideriamo la coniugata
h
ρ,
una rotazione
ha
h
di
h
e
ha
è la rotazione di
0
Q.
Q,
l'orbita di
diverso da
Q,
cioè
X = {g(Q) : g ∈ G};
X
un
Q:
un
scegliamo in
A
tale che sia minima la distanza di
da
tale punto esiste, e non è necessariamente unico, perchè il gruppo è
discreto. Per quanto detto precedentemente, il gruppo
rotazione
h
distanza di
di centro
B
da
Q
A
ed angolo
2π/n:
sia
G
B = h(Q),
è minore della distanza di
A
da
Q
contiene la
se
n ≥ 7,
la
(Fig. 2.3 (a))
e siamo quindi arrivati ad un assurdo.
Figura 2.3
Resta da escludere il caso
n = 5:
in questo caso
d(B, Q) > d(A, Q);
arriviamo però ad un assurdo iterando il ragionamento e considerando
il punto
C = h0 (A),
dove
h0
è la rotazione di centro
16
B
e angolo
2π/5
(Fig. 2.3 (b)); h0
è ancora un elemento del gruppo
G
d(C, Q) <
e
d(A, Q).
•
(Analitica)
Consideriamo in
G una rotazione ρ, di centro Q e di angolo θ.
un sistema di riferimento di origine
Q,
Fissiamo
in modo che la rotazione
ρ
corrisponda ad una matrice del tipo:
cos θ − sin θ
A=
sin θ
!
.
cos θ
Fissiamo poi un altro sistema di riferimento, sempre di origine
con base due vettori
v
w
e
Q,
ma
tali che le traslazioni rispetto a questi due
vettori generino il sottogruppo
T
delle traslazioni di
questo sistema di riferimento, l'orbita
X
del punto
G; relativamente a
Q rispetto a T
è co-
stituita dai punti a coordinate intere. Per costruzione, ogni traslazione
di
G
X;
ssa il reticolo
di centro
Q
ssa
X.
una traslazione di
G,
vogliamo far vedere che anche la rotazione
ρτ ρ
Q = τ (Q)
Infatti, sia
e sia
che esiste una traslazione
−1
0
un punto di
Q00 = ρ(Q0 ) = ρτ (Q);
τ0
G
in
tale che
X,
dove
τ
ρ
è
si tratta da vericare
Q00 = τ 0 (Q).
L'isometria
è una traslazione, perchè coniugata di una traslazione ed inoltre
−1
ρτ ρ (Q) = ρτ (Q) = Q00 ;
quindi
Consideriamo allora la matrice
ρτ ρ−1
B
è la traslazione cercata.
associata alla rotazione
ρ
questo secondo sistema di riferimento; il fatto che
garantisce che
matrice
A,
B
traccia e quindi ne ricaviamo che
lascia per
cos θ
A
e
θ = ±π/2
cos θ = 1
θ=0
cos θ = −1
θ=π
17
B
B
n = 4,
n = 1,
n = 2,
X
è simile alla
hanno la stessa
2 cos θ = tr(A) = tr(B) ∈ Z.
le seguenti uniche possibilità:
cos θ = 0
rispetto a
ssi il reticolo
è a coecienti interi; d'altra parte
e questo comporta in particolare che
ρ
Questo
cos θ = 1/2
θ = ±π/3
cos θ = −1/2
n = 6,
θ = ±2π/3
n = 3.
Abbiamo quindi dimostrato il teorema.
Osservazione 2.4. In pratica non possono esistere cristalli con simmetria
pentagonale di rotazione, cioè con queste forme non è possibile riempire in
maniera uniforme il piano.
Sia ora
E
un piano Euclideo, e
P ⊂E
un suo sottoinsieme nella forma
di un mosaico standard. Vorremmo esprimere il fatto che
P
e le sue copie
riempiano completamente il piano senza lasciare alcun vuoto; ciò si puo fare
sia in modo `regolare' che `irregolare'
(Fig. 2.4).
Figura 2.4
Quindi, per restringere il campo esclusivamente ai mosaici `regolari', dobbiamo introdurre un gruppo di isometrie di
E,
come facciamo nel seguente
assioma:
Assioma 2.1. Un mosaico consiste di un sottoinsieme connesso compatto
P di un piano Euclideo E e di un sottogruppo G del gruppo Isom+ (E) delle
◦
isometrie di E che preservano l'orientamento, tale che l'interno P di P è
non-vuoto e sono soddisfatte le seguenti condizioni:
18
1.
S
g∈G
g(P ) = E ,
◦
◦
2. g(P ) = h(P ) ogni volta che P ∩h(P ) 6= .
Il gruppo G è chiamato `Gruppo Cristallograco'. [6]
Lo scopo principale di questo capitolo è quello di dimostrare il seguente
teorema:
Teorema 2.2. Esistono solamente cinque gruppi cristallograci G (Fig. 2.5). [7]
Figura 2.5
Dimostrazione.
Sia
~
E
lo spazio vettoriale su
momorsmo il cui nucleo
+
f ∈ Isom (E)/T (E)
T (E)
E,
e
~
Isom+ (E) → GL(E)
è il gruppo delle traslazioni di
E.
l'o-
La mappa
è necessariamente una rotazione intorno al suo unico
punto sso, chiamato centro.
La prima idea nella dimostrazione è che il gruppo
su
E.
in
E,
Ciò signica che, per ogni elemento
a ∈ E,
G
agisce discretamente
l'orbita
cioè è composta solamente di punti isolati (un punto
metrico
X
è chiamato
isolato
se esiste
>0
tale che
G(a)
x
è discreta
di uno spazio
B(x, ) ∩ X = {x}).
In particolare, l'intersezione di un'orbita con un insieme compatto è nita,
poichè un insieme compatto e discreto è nito.
19
Per provare che l'azione è discreta, osserviamo in primo luogo che ogni in-
E
sieme compatto di
g(P ).
Adesso osserviamo che lo stabilizzatore di un mosaico
denito come
0
contiene solamente un numero nito di mosaici distinti
a ∈E
t.c.
GP 0 = {g ∈ G : g(P 0 ) = P 0 },
0
a0 .
GP 0
Infatti, esiste
0
GP 0 ⊂ Ga0 = {g ∈ G : g(a ) = a }.
Scegliamo ora un altro mosaico
da
è sempre nito.
P 0 = g(P ),
P 00
tale che il punto associato
Dato che solamente l'identità lascia sia
è uguale al numero di mosaici
g(PP 00 ),
a00
per
che
a0
a00
sia diverso
ssi, la cardinalità di
g ∈ g(PP 0 ).
Quindi, poichè
questi mosaici sono distinti e contenuti in un cerchio di raggio ssato, ce ne
è solamente un numero nito.
Adesso resta da dimostrare che ogni orbita
G(a)
gruppo di isometrie, è possibile far vedere che
B(a, η)
patto
è isolato in
G(a).
G
Sia
è un
η>0
G(a) ∩ B(a, η) è nito, e il numero di mosaici
arbitrario, il numero di punti di
in
a
è discreta. Poichè
è anch'esso nito, dato che sono tutti contenuti in un disco com-
B(a, η + δ),
dove
δ
è il diametro di un mosaico. Quindi
è un insieme nito, e possiamo trovare
Adesso consideriamo il sottogruppo
t.c.
G(a) ∩ B(a, η)
G(a) ∩ B(a, η) = {a}.
Γ = G ∩ T (E) di traslazioni di G, quindi
si ha la seguente proposizione:
Proposizione 2.2. Il gruppo Γ è un `reticolo', cioè esiste una base {~u, ~v} di
~ tale che Γ è composto esattamente da traslazioni di vettori in Z~u + Z~v . [8]
E
Dimostrazione.
Cominciamo a provare, per assurdo, che
Γ
contiene almeno
due traslazioni linearmente indipendenti.
Assumiamo prima di tutto che
rotazioni; se due rotazioni
rsr−1 s−1
r
ed
Γ = IdE , vale a dire che G contiene solamente
s hanno centri dierenti,
il loro commutatore
è una traslazione non banale. Quindi le rotazioni di
lo stesso centro
ω,
e
S
g∈Γ
g(P )
G
hanno tutte
è contenuta in un disco di raggio ssato, il
che contraddice il punto 1. dell'assioma
20
(Fig. 2.06).
Figura 2.06
Adesso supponiamo che le direzioni degli elementi di
Prendiamo
r ∈ G\Γ
ed una traslazione
è una traslazione di un vettore
ξ~,
si può concludere che
elementi di
r
ed
s
G\Γ
r
~
r(ξ)
t∈Γ
Γ
siano tutte parallele.
di un vettore
e, poichè
~
r(ξ)
ξ~.
Quindi
rsr−1
deve essere parallelo a
è una riessione tramite alcuni punti.
Tutti gli
sono quindi riessioni tramite punti; ma se due riessioni
hanno come centri
a
ed
a0 ,
allora
sr
è una traslazione di vettore
(Fig. 2.07).
Figura 2.07
21
−
→
2aa0
Quindi i centri di tutti gli elementi di
G\Γ
alla direzione delle traslazioni; ciò implica che
striscia centrata in
D
sono sulla retta
S
g∈Γ
g(P )
D
parallela
è contenuta in una
(Fig. 2.08), ancora in contraddizione con il punto 1.
dell'assioma.
Figura 2.08
Questo mostra che
Γ contiene traslazioni
di due vettori linearmente indipen-
denti. Quindi rimane da far vedere che esistono
~u
e
~v
tali che:
Γ = {traslazioni di ω
~ : ω
~ ∈ Z~u + Z~v } .
Poichè, come abbiamo visto nella dimostrazione del teorema 2.2, il gruppo
G
agisce discretamente su
vettore
E,
possiamo scegliere una traslazione in
Γ
di un
~u con norma minima k~uk, e ancora un'altra traslazione in Γ di ~v ∈
/ Z~u
con norma minima
k~v k.
Qui di seguito dimostreremo che
~u e ~v
sono i vettori
desiderati.
Sia
Q
ssato.
il parallelogramma
Poichè
l'immagine
Γ
g(Q),
di
a
y,
all'interno di
sotto
G
è un gruppo, e
con
g ∈ Γ,
che non è in
Q
Q = {a + t~u + s~v : t, s ∈ [0, 1]},
per un
a ∈ E
Γ ⊃ {traslazioni di ω
~ : ω
~ ∈ Z~u + Z~v },
ricopre
E.
a + Z~u + Z~v ,
Quindi, se c'è un punto nell'orbita
ce n'è anche un altro, che chiamiamo
(Fig. 2.09).
22
Figura 2.09
Adesso richiediamo che la distanza da
mente minore di
k~uk
oppure di
k~v k;
y
ad uno dei vertici di
Q
sia stretta-
per vedere ciò supponiamo che
y
sia al-
l'interno del triangolo
{a, b = a + ~u, c = a + ~v }, e osserviamo che il segmento
ha, yi
hb, ci
interseca il lato
in
a0 ,
e si ha
d(a, y) < d(a, a0 )
(Fig. 2.10).
Figura 2.10
Ma
d(a, a0 ) < (d(a, b)+d(a, c))/2 = (k~u + ~v k)/2, che prova la nostra richiesta
ed è in contraddizione con la scelta di
~u
e
~v .
Adesso togliamo la restrizione per la quale i mosaici non possono essere
girati; cioè i mosaici sono decorati in entrambi i lati.
a lavorare in
Isom(E)
invece che in
Isom+ (E).
Questo corrisponde
Quindi, anche per quanto
fatto nora in questo capitolo, è possibile incrementare
G
a diciassette, dove
gli altri dodici gruppi cristallograci li possiamo oservare nelle seguenti gure
(Fig. 2.11 e Fig. 2.12):
23
Figura 2.11
Figura 2.12
24
Capitolo 3
La tassellatura periodica: Escher
Mauritius Cornelius Escher (17 Giugno 1898 - 27 Marzo 1972), artista olandese, è stato uno dei più grandi interpreti della divisione regolare del piano.
Dopo aver frequentato la Scuola di architettura e di disegno ornamentale di
Haarlem,
sotto l'inuenza del suo maestro dell'epoca, utilizzò l'arte della
xilograf ia
(ovvero l'intagliare con una sgorbia un pannello di legno di lo,
di solito pero) all'inizio della sua vita artistica
(Fig. 3.01).
Figura 3.01. Prima divisione regolare del piano.
25
Nel ceppo di legno originale di questa gura furono intagliate otto teste differenti, quattro femminili e quattro maschili. È, come detto, la prima divisione
regolare del piano che fu creata da Escher, eseguita nel 1922, e la supercie
può essere riempita all'innito unendo le stampe fra loro.
La fonte di ispirazione per l'artista, o meglio il luogo che lo ha aascinato
portandolo ad interessarsi all'argomento della divisione del piano, è situato in
Spagna, più precisamente a Granada, ed è la fortezza araba dell'Alhambra.
In questo palazzo i
M ori
hanno riprodotto 13 dei 17 motivi che abbiamo
descritto nei capitoli precedenti (due dei rimanenti si trovano nella città di
Toledo e gli ultimi due sono rappresentati nell'arte di varie tribù), ma la
religione islamica, che non permette di ritrarre motivi di animali o di persone, è una limitazione molto importante che fortunatamente in Escher non
è presente.
Adesso andiamo a visionare un'opera dell'artista per analizzarne brevemente
la struttura.
quello dei
L'esempio che prendiamo in considerazione qui di seguito è
Cavalieri
(Fig. 3.02)
Figura 3.02. Xilograa, stampa da tre piastre. (1946)
26
Insieme ai
Cigni (Fig.
3.03) e ai Due piani intersecanti (Xilograa, stampa
da tre piastre (1952)), i
Cavalieri è una stampa in cui ricorre esplicitamente
la riessione; i cavalieri chiari sono l'immagine riessa di quelli scuri, e si
può passare esattamente dall'uno all'altro applicando una
glissorif lessione.
L'asse di questa trasformazione è ovviamente verticale ed è posizionato o tra
le schiene o tra i polsi dei cavalieri; qui viene comunque dimostrato che i
cavalieri chiari e quelli scuri insieme riempiono un'intera supercie.
Figura 3.03. Xilograa. (1956)
Siamo quindi arrivati alla conclusione, ma prima di terminare può essere
molto interessante osservare come sia possibile, utilizzando un semplice programma come
Cabrì 2D, costruire una tassellazione del piano con dei poligoni
regolari. Per l'esempio utilizziamo come mattonella principale un triangolo
equilatero, che andiamo a costruire come
Elementi'.
del primo libro degli `
ciamo i due cerchi di raggio
intersezione
BC
Euclide
espone nel primo teorema
Dunque, costruito il segmento
e centri rispettivamente
B
e
C;
BC ,
trac-
il punto di
A delle due circonferenze determina il triangolo equilatero ABC
(Fig. 3.04).
27
Figura 3.04
Nel triangolo così disegnato
di
A
rispetto ad
M.
M
è il punto medio del lato
BC ed S il simmetrico
Ora, sfruttando la costruzione del punto
andare ad individuare il simmetrico del triangolo
così facendo si ottiene il rombo
ABSC
ABC
S,
possiamo
rispetto al lato
BC ;
(Fig. 3.05).
Figura 3.05
Dunque possiamo utilizzare il rombo acquisito per tassellare interamente il
piano costruendo i due vettori
rettangoli
ABC
e
BCS
−→
AB
e
−→
AC
che utilizziamo per duplicare i
sfruttando i comandi di
28
Cabrì 2D (Fig. 3.06).
Figura 3.06
Abbiamo così ottenuto un ricoprimento del piano partendo da un triangolo
equilatero; come detto è possibile utilizzare anche un quadrato o un esagono
regolare, e per farlo si utilizza un procedimento analogo a quello che abbiamo
appena visto.
29
Bibliograa
[1] Sernesi Edoardo.
Geometria 1. Bollati Boringhieri, Torino, 2000,
pag. 276
[2] Sernesi Edoardo.
Geometria 1. Bollati Boringhieri, Torino, 2000,
pp. 277-279
[3] Sernesi Edoardo.
Geometria 1. Bollati Boringhieri, Torino, 2000,
pp. 279-280
[4] Berger Marcel.
Géométrie Vol. 1. Springer-Verlag, Berlino, 1987
pag. 7
[5] Dedò Maria.
Forme: simmetria e topologia
Decibel-Zanichelli, Bologna,
2000, pp. 213-214
[6] Berger Marcel.
Géométrie Vol. 1. Springer-Verlag, Berlino, 1987
pag. 13
[7] Berger Marcel.
Géométrie Vol. 1. Springer-Verlag, Berlino, 1987
pp. 13-16
[8] Berger Marcel.
Géométrie Vol. 1. Springer-Verlag, Berlino, 1987
pp. 16-18
30