Isometrie

Didattica della matematica
Le isometrie
Prof. ssa
Maria Rosa Casparriello
Scuola media TdeiL
Anno 2012/2013
isometrie
RIFERIMENTO AL PECUP: adoperare il linguaggio
ed i simboli della matematica per indagare con
metodo la causa di fenomeni problematici per
spiegarli e rappresentarli. Particolarmente
attraverso attività di risoluzione di problemi in
contesti vari; dare prova di competenze
progettuali ed immaginative. Osservare la realtà
per riconoscervi relazioni tra oggetti o grandezze,
regolarità, differenze, invarianze o modificazioni
nel tempo e nello spazio.
isometrie
PREREQUISITI
Conoscere le principali proprietà delle figure
piane;
isometrie
Conoscenze e abilità:
Acquisire il concetto di trasformazione
geometrica e di isometria;
Conoscere le caratteristiche di ogni isometria:
traslazione, rotazione, simmetria assiale e
centrale;
Essere in grado di costruire figure che si
corrispondono in una isometria;
Riconoscere simmetrie assiali e centrali nei
poligoni.
isometrie
Isometrie: trasformazioni di figure piane in figure ad esse
congruenti.
Dal dizionario di italiano: corrispondenza tra due superfici
per la quale la distanza tra due punti della prima è uguale
alla distanza dei punti corrispondenti della seconda. (che
ne pensate di questo vocabolario????)
Meglio su wikipedia: in matematica e in particolare in
geometria si definisce isometria (o trasformazione rigida)
una trasformazione che nn modifica le distanze tra i punti
(e di conseguenza gli angoli).
In effetti isometria è sostantivo derivante dal greco: iso=stesso
Metros= misura.
isometrie
Le isometrie possono essere dirette o inverse.
Dirette:
•
•
•
Traslazione;
Rotazione;
Simmetria centrale (se ruota di 180°)
Inverse :
• Simmetria assiale
isometrie
isometria
isometrie
…def: L’isometria è una trasformazione del piano in
sé che associa a due punti qualsiasi A e B del piano
due punti A’ e B’ dello stesso piano tali che il
segmento AB e il segmento A’B’abbiano la stessa
lunghezza.
isometria
•Due figure che si corrispondono in una isometria si
dicono isometriche : per esempio tutti i pesci della prima
figura sono isometrici fra loro e i due pesci della seconda
figura sono tra loro isometrici.
isometrie
Importanti proprietà.
Una isometria:
trasforma rette in rette;
conserva l’allineamento dei punti;
trasforma semirette in semirette;
trasforma segmenti in segmenti;
e ancora:
rette parallele si trasformano in rette parallele e
ad ogni angolo corrisponde un angolo
congruente.
In una trasformazione gli elementi e le proprietà
che non si modificano sono detti INVARIANTI.
isometrie
Gli invarianti di una isometria
sono:
la lunghezza dei segmenti l’allineamento dei punti il parallelismo
l’incidenza tra rette l’ampiezza degli angoli.
Teorema di Pitagora
Le simmetrie di base sono:
La simmetria assiale. Per far coincidere le figure dobbiamo
eseguire un ribaltamento, un movimento che porta le figure di
sopra fuori dal piano in cui giacciono per poi ritornarci ribaltate.
Teorema di Pitagora
Le simmetrie centrali. Rotazioni di 180° di cui P è il centro di
simmetria con verso orario o antiorario
isometrie
Le traslazioni. Il movimento di scorrimento o traslazione avviene
nel piano che contiene le due figure.
isometrie
Rotazioni. Il movimento di rotazione avviene nel piano che contiene le due
figure.
isometrie
Ricapitoliamo:
Le caratteristiche di una figura che in una trasformazione
geometrica rimangono inalterate si dicono invarianti. Le
trasformazioni in cui la forma e l’estensione non variano si
dicono isometrie o trasformazioni isometriche. Queste
trasformazioni mantengono inalterate tutte le caratteristiche
misurabili: lunghezza dei lati, ampiezza degli angoli … etc.
…
Le isometrie trasformano le
figure in figure congruenti.
isometrie
•In particolare:
le traslazioni e le rotazioni sono movimenti
DIRETTI perché
le figure non escono dal piano cui
appartengono. Le due figure si dicono per questo
direttamente congruenti.
isometrie
SIMMETRIE ASSIALI SONO movimenti
INVERSI perché per coincidere le figure devono fare
Le
un movimento che le porta nello spazio fuori dal piano
cui appartengono.
In questo caso le figure si dicono
INVERSAMENTE CONGRUENTI.
LA TRASLAZIONE
ISOMETRIE
ISOMETRIA
ISOMETRIE
TRASLAZIONE
•Il poligono in figura ha subito una traslazione: è stato spostato
parallelamente a se stesso dalla posizione 1 ( r) alla posizione 2 (r’
), come se fosse stata fatta scorrere lungo dei binari (blu).
•I seg. AA’, BB’… sono tutti
paralleli, individuano cioè una
direzione.
•Su questa direzione è anche
individuato un verso (quello
che va da A verso A’).
•I seg. AA’, BB’,.. Sono
congruenti, quindi individuano
una stessa lunghezza o
intensità.
Traslazione
•La traslazione è una trasformazione isometrica
individuata da un vettore detto vettore traslazione
che fornisce:
•Direzione;
•Verso;
•Intensità dello spostamento.
Isometrie – la traslazione
Proprietà:
A retta parallele corrispondono rette parallele.
A una retta corrisponde una retta.
A rette incidenti corrispondono rette incidenti.
La traslazione conserva la misura della lunghezza dei
segmenti.
La traslazione conserva la misura dell' ampiezza degli
angoli e quindi anche la perpendicolarità.
A ogni figura corrisponde una figura ad essa congruente.
la traslazione in natura
Molti materiali, sia naturali che artificiali, sono caratterizzati da una
struttura microscopica che si ripete sempre più o meno uguale (fino
alla regolarità estrema dei cristalli).Ci sono svariati casi in cui è
però possibile trovare traslazioni di una regolarità talvolta
sorprendente anche di dimensioni macroscopiche e quindi visibili
ad occhio nudo:
Le traslazioni in arte
Le traslazioni in arte
Le traslazioni in arte
Le traslazioni in arte
RACCONTO TRATTO DAL
“Piccolo principe”
Come un fiore spiega al piccolo principe del noto romanzo di Antoine de Saint -Exupery:
C'erano sempre stati sul pianeta del piccolo principe, dei fiori molto semplici, ornati di una sola raggiera di
petali, che non tenevano posto e non disturbavano nessuno.
Apparivano un mattino nell'erba e si spegnevano la sera. Ma questo era spuntato un giorno, da un seme
venuto chissà da dove, e il piccolo principe aveva sorvegliato da vicino questo ramoscello che non
assomigliava a nessun altro ramoscello.
Poteva essere una nuova specie di baobab. Ma l'arbusto cessò presto di crescere e cominciò a preparare un
fiore. (….)
"Come sei bello!"
"Vero", rispose dolcemente il fiore, "e sono nato insieme al sole..."
Il piccolo principe indovinò che non era molto modesto, ma era così commovente! "Come fai ad essere così
bello?"
"Vedi, io sono un fiore e sono una creazione della natura, e in quanto tale sono perfettamente simmetrico..."
"Non capisco" rispose il piccolo principe spiazzato dall'uscita del fiore."
Ora ti spiego" disse superbamente il fiore.
"In natura esistono tantissime simmetrie"
"E a cosa servono? "
"Beh, a fare i fiori belli, non c'è dubbio. Una simmetria della natura è qualcosa che il sole ci ha dato e che
nessuno potrà mai imitare. RACCONTO TRATTO DAL
“Piccolo principe”
Tutto, in natura, nasce da una simmetria. Tante cose in natura sono simmetriche, sai? "" Cosa ?" " Ad
esempio le stelle marine, i fiocchi di neve, le celle degli alveari delle api e i cristalli...l'uomo! "
"Mai stata neve né api sul mio pianeta "
Il piccolo principe però era attirato dai discorsi del fiore.
" Tutti gli esseri viventi sono belli e simmetrici sotto diversi punti di vista... io, ad esempio, sono colorato e le
simmetrie dei colori dei miei petali mi fanno bello".
Così l'aveva ben presto tormentato con la sua vanità ombrosa. Per esempio, un giorno, parlando delle sue
quattro spine, gli aveva detto:
"Possono venire i leopardi, con i loro artigli!"
"Non ci sono leopardi sul mio pianeta " aveva obiettato il piccolo principe "e poi i leopardi non mangiano
l'erba".
"Io non sono un'erba", aveva dolcemente risposto il fiore.
"Scusami".
"Non ho paura dei leopardi, ma ho orrore delle correnti d'aria... Non avresti per caso un paravento? Alla sera
mi metterai al riparo sotto a una campana di vetro. Fa molto freddo qui da te... Da dove vengo io..."
Ma si era interrotto. Era venuto sotto forma di seme. Non poteva conoscere nulla degli altri mondi. Umiliato,
aveva tossito un paio di volte per mettere il piccolo principe dalla parte del torto.
"E questo paravento?"
"Andavo a cercarlo, ma tu mi parlavi!"
Allora aveva forzato la sua tosse per fargli venire dei rimorsi. Così il piccolo principe, nonostante tutta la
buona volontà del suo amore, aveva cominciato a dubitare di lui."
Avrei dovuto non ascoltarlo" mi confidò un giorno "non bisogna mi ascoltare i fiori". Basta guardarli e
respirarli. Il mio, profumava il mio pianeta, ma non sapevo rallegrarmene. I fiori sono così contraddittori!
Ma ero troppo giovane per saperlo amare. "
Le traslazioni in arte