Simmetria centrale in A2(K) Sia C un punto in A 2(K). Def. La

Simmetria centrale in A2 (K)
Sia C un punto in A2 (K).
Def. La simmetria centrale di centro C è la funzione
A2 (K) −→ A2 (K)
σC :
P 7−→ σC (P ), tale che C sia il punto medio tra P e P 0 .
~ = −CP
~ 0
Si può osservare che il simmetrico del generico punto P è il punto P 0 tale che CP
0
o, equivalentemente, il punto P traslato di P tramite il vettore 2P~C.
Oss.:
• la simmetria centrale è un’applicazione biunivoca;
• è involutoria, cioè σC 6=id e σC2 =id, infatti per ogni punto P si ha
σC (σC (P )) = σC (τ2P~C (P )) = τ2P~0 C τ2P~C (P ) = τ−2P~C τ2P~C (P ) = P ;
• l’unico punto unito è il centro C;
~ >], allora
• manda rette in rette, conservandone la direzione. Infatti, se r = [A, < AB
~ C+C, σ~C (B) = CA+
~ BC
~ = BA
~ e σC (r) = [σC (A), < BA
~ >
σC (A),~σC (B) = σC (A),
];
• le rette unite sono tutte e sole le rette passanti per C, infatti se s = [C, < w
~ >],
allora σC (s) = [σC (C), < w
~ >] = [C, < w
~ >] = s.
Se C(xC ; yC ) e P (xP ; yP ), ricordando che C è il punto medio tra P e σC (P ) = P 0 =
(xP 0 ; yP 0 ), si ha che
x +x
xC = P 2 P 0
,
y +y
yC = P 2 P 0
da cui
P 0 = (2xC − xP ; 2yC − yP ).
1
Dunque le equazioni della simmetria centrale di centro C sono:
xP 0 = 2xC − xP
.
yP 0 = 2yC − yP
Simmetria assiale in A2 (K)
Siano a una retta e ~v = (l; m) un vettore in A2 (K) non proporzionale al vettore direzionale
di a.
La simmetria assiale di asse a e direzione ~v è la funzione
A2 (K) −→ A2 (K)
σa :
P 7−→ σH (P ), dove H = a ∩ [P, < ~v >].
Oss.:
• la simmetria assiale è un’applicazione biunivoca;
• è involutoria;
• i punti uniti sono tutti e soli quelli dell’asse di simmetria;
• le rette unite, oltre all’asse di simmetria, sono quelle aventi direzione ~v .
Esempio.
Dati il punto A = (1; 2) e la retta r di equazione r : x − 2y + 6 = 0, determinare:
1. i simmetrici A0 ed r0 di A ed r rispetto alla simmetria di centro C = (4; 0);
2. i simmetrici A00 ed r00 di A ed r rispetto alla simmetria assiale di asse a : x + 2 = 0
e direzione ~v = (−1; 2).
Svolgimento.
1. Il simmetrico A0 di A ha coordinate date da
xA0 = 2xC − xA
,
yA0 = 2yC − yA
cioè A0 = (8 − 1; 0 − 2) = (7; −2).
Il generico punto R appartenente alla retta r ha coordinate R = (2yR − 6; yR ). Per
cui
xR0 = 8 − (2yR − 6)
,
yR0 = 0 − yR
cioè
xR0 = 14 − 2yR
.
yR0 = −yR
Eliminando il parametro yR e ponendo x = x0R , y = yR0 si ha un’equazione cartesiana
per σC (r):
x − 2y − 14 = 0.
Altrimenti, verificato che C ∈
/ r, si può sfruttare il parallelismo tra r e la sua
0
simmetrica r : detto A un punto di r diverso da C, r0 = [σC (A), < (−2; 1) >].
2
2. Per ottenere le coordinate del simmetrico di A si scrivono le equazioni parametriche
della retta passante per A e avente direzione ~v . L’intersezione di tale retta con l’asse
di simmetria dà il punto H tale che σH (A) = σa (A):

 x=1−t
y = 2 + 2t , t ∈ K.

x = −2
Si ha H = (−2; 8), quindi A00 = σH (A) = (−4 − 1; 16 − 2) = (−5; 14).
La retta r00 si può ottenere come retta passante per i punti S = r ∩ a e σa (R), dove
R è un punto “comodo” di r diverso da S.
Il punto di intersezione tra r e a ha coordinate S = (−2; 2). Sia R = (0; 3). Il
suo simmetrico risulta avere coordinate R0 = (−4; 11). La retta cercata ha quindi
equazioni parametriche
x = −2 + (−2 + 4)t
00
r :
, t ∈ K.
y = 2 + (2 − 11)t
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