Le simmetrie ortogonali assiale

LE SIMMETRIE ORTOGONALI ASSIALI
Si chiama simmetria ortogonale assiale di asse r una corrispondenza biunivoca del piano in sé stesso che ad ogni
punto P associa il punto P ′ che si ottiene con le seguenti condizioni:
1) PP ′ ⊥ r
2) d (P; r) = d (P' ; r) oppure M ∈ r
Per trovare l’equazione di simmetria di un asse di simmetria bisogna trasformare le due condizione algebricamente.
Per trovare le cordinate dell’immagine di un punto (P' ) bisogna sostituire le cordinate del punto iniziale (P) alla x e alla
y dell’equazione di simmetria.
Per trovare la legge dell’immagine di una retta (r' ) bisogna sostituire i valori di x e di y dell’equazione di simmetria
inversa alla legge della retta iniziale (r) .
Simmetria con asse di simmetria parallelo all’asse X
r:y = 3
P (x, y) → P' (x' , y' )
y + y'
= M
2
quindi
y + y'
= 3
2
y + y' = 6
Trovo y '
y' = − y + 6
 x' = x


 Equazione della simmetria
 y' = − y + 6
 x = x'


 Equazione della simmetria inversa
 y = − y' + 6
Esempio 1 (simmetria di un punto):
A ≡ (− 2 , 5) → A'
 x' = -2



 y' = − 5 + 6
 x' = − 2


 y' = 1 
Cordinate di A' ≡ (-2 , 1)
Esempio 2 (simmetria di una retta):
s : y = 3x + 4
s' : − y'+ 6 = 3x'+ 4
s' : − y' = 3x'− 2
s' : y' = − 3x + 2
Simmetria con asse di simmetria parallelo all’asse Y
r:x = 4
P (x, y) → P' (x' , y' )
x + x'
= M
2
quindi
x + x'
= 4
2
Trovo x'
x + x' = 8
x' = − x + 8
 x' = − x + 8

 Equazione della simmetria
 y' = y

 x = − x' + 8

 Equazione della simmetria inversa
 y = y'

Esempio 1 (simmetria di un punto):
A ≡ (2 , 6) → A'
 x' = − 2 + 8


 y' = 6

 x' = 6


 y' = 6 
Cordinate di A' ≡ (6 , 6)
Esempio 2 (simmetria di una retta):
s : y = 4x + 1
s' : y' = − x'+ 8 + 1
s' : y' = − x'+ 9
Simmetria avente l’asse X come asse di simmetria
Questa simmetria ha una sua equazione della simmetria che e:
 x' = x 


 y' = − y 
 x = x' 

 Equazione della simmetria inversa
 y = − y'
Esempio 1 (simmetria di un punto):
A ≡ (4 , 2) → A'
x= 4 


 y = − 2
Cordinate di A' ≡ (4 , - 2)
Esempio 2 (simmetria di una retta):
s:y = x + 3
s' : − y' = x'+ 3
s' : y' = − x'− 3
Simmetria avente l’asse Y come asse di simmetria
Questa simmetria ha una sua equazione della simmetria che e:
 x' = − x


 y' = y 
 x = − x'

 Equazione della simmetria inversa
 y = y' 
Esempio 1 (simmetria di un punto):
A ≡ (2 , 3) → A'
 x' = − 2


y= 3 
Cordinate di A' ≡ (-2 , 3)
Esempio 2 (simmetria di una retta):
s : y = 2x +
1
3
s' : y' = − 2x'+
1
3
Simmetria avente la bisettrice del 1° e 3° quadrante come asse di simmetria
Questa simmetria ha una sua equazione della simmetria che e:
 x' =

 y' =
y

x
 x = y'

 Equazione della simmetria inversa
 y = x'
Esempio 1 (simmetria di un punto):
A ≡ (3 , 6) → A'
 x' = 6


 y' = 3 
Cordinate di A' ≡ (6 , 3)
Esempio 2 (simmetria di una retta):
s : y = 3x + 2
s' : x' = 3y'+ 2
s' : − 3y' = − x'+ 2
s' : y' =
1
2
x'−
3
3
Simmetria avente la bisettrice del 2° e 4° quadrante come asse di simmetria
Questa simmetria ha una sua equazione della simmetria che e:
 x' = − y 


 y' = − x
 x = − y'

 Equazione della simmetria inversa
 y = − x'
Esempio 1 (simmetria di un punto):
A ≡ (2 , 3) → A'
 x' = − 3


 y' = − 2
Cordinate di A' ≡ (-3 , - 2)
Esempio 2 (simmetria di una retta):
2
x+ 2
5
2
s' : − x' = − y'+ 2
5
2
s' : y' = x'+ 2
5
5
s' : y = x'+ 5
2
s:y =
Simmetria con asse di simmetria obliquo
r : y = 2x + 2
P (x, y) → P' (x' , y' )
Da ricordare:
y = kx + q
Due rette sono ortogonali se il coefficiente angolare (k) di una retta è l’antireciproco dell’altra retta
Condizione 1)
Kpp' =
y − y'
e Kr = 2
x − x'
Quindi
PP' ⊥ r ⇔
y − y'
1
= −
x − x'
2
Condizione 2)
 x + x' y + y' 
M≡ 
,
 e M∈ r
2 
 2
Quindi
y + y'
 x + x' 
= 2
+ 2
2
 2 
Mettendo le due condizione in un sistema si ottiene:
1
 y − y'

 x − x' = − 2



 y + y' = 2 x + x'  + 2

 2 
 2
1


 y − y' = − 2 ( x − x') 


 y + y' = 2x + 2x' + 2
 2

2
1
1 

 y − y' = − x + x'
2
2 

 y + y' = 2x + 2x'+ 4 
1
1


 y' = y + 2 x − 2 x'



 y + y + 1 x − 1 x' = 2x + 2x'+ 4


2
2
1
1


 y' = y + 2 x − 2 x' 


 − 5 x' = 3 x − 2y + 4
 2

2
1
1


 y' = y + 2 x − 2 x' 


 x' = − 3 x + 4 y − 8 
5
5
5 


 y' =

 x' =


 y' =

 x' =


 x' =

 y' =

1
1 3
4
8
x −  − x + y− 
2
2 5
5
5

3
4
8

− x+ y−

5
5
5
1
2
3
4
y+ x− y+
x+ 
2
5
10
5

3
4
8

− x+ y−

5
5
5
3
4
8
− x+ y− 
5
5
5

2
3
4 
x+ y+
5
5
5 
y+
Equazione della simmetria
3
4
8

 x' = − 5 x + 5 y − 5 


 y' = 2 x + 3 y + 4 

5
5
5 
Equazione della simmetria inversa
3
4
8

 x = − 5 x'+ 5 y'− 5 


 y = 2 x'+ 3 y'+ 4 

5
5
5 
Esempio 1 (simmetria di un punto):
A ≡ ( − 2 , 3) → A'
3
4
8

 x' = − 5 ( − 2) + 5 (3) − 5 


 y' = 2 (− 2) + 3 (3) + 4 

5
5
5 
6 12 8 

 x' = − 5 + 5 − 5 


 y' = − 4 + 9 + 4 

5 5 5 
2

 x' = − 5 


 y' = 9 

5 
 2 9
Cordinate di A' ≡  - , 
 5 5
Esempio 2 (simmetria di una retta):
s : y = 3x − 3
2
3
4
4
8
 3
s' : x'+ y'+ = 3 − x'+ y'−  − 3
5
5
5
5
5
 5
2
3
4
9
12
24
s' : x'+ y'+ = − x'+
y'−
− 3
5
5
5
5
5
5
s' : 2x'+ 3y'+ 4 = − 9x'+ 12y'− 24 − 15
s' : − 9y' = − 11x'− 43
s' : y' =
11
43
x'+
9
9