Tecnica della Costruzioni

Lezione n. 2
Il principio di identità
A
Strutture diverse tra loro possono presentare alcune delle loro parti per le quali, essendo uguali le
condizioni, devono essere uguali anche le sollecitazioni e le deformazioni. Tale osservazione, evidentemente ovvia, prende il nome di principio di identità e permette spesso di effettuare alcune valutazioni che possono condurre ad una notevole semplificazione dei sistemi in esame.
In questa lezione si discuteranno le considerazioni che possono essere effettuate su una struttura
chiamando in gioco eventuali simmetrie o antisimmetrie; quanto riportato nel seguito non ha
tuttavia la pretesa di esaurire tutte le considerazioni collegate alla soluzione di strutture
simmetriche, per cui si rimanda ad altri testi per ulteriori approfondimenti sull’argomento.
O
ZZ
La simmetria rispetto ad un piano
Una struttura piana, giacente cioè in un piano Π (come quella riportata in figura), si dice simmetrica rispetto ad un piano Σ (perpendicolare a Π) se la traccia σ del piano Σ su Π divide la struttura in due parti che sono esattamente l’una l’immagine speculare dell’altra. La retta σ prende il
nome di asse di simmetria, e viene spesso indicata con il simbolo riportato nella figura seguente.
In altre parole, la parte di sinistra (o di destra) deve potersi ottenere per rotazione intorno a σ della
parte di destra (o di sinistra).
E’ evidente che la simmetria deve riguardare la geometria della trave (sviluppo dei vari tratti, sezione trasversale), così come i vincoli ed i materiali.
piano Π
asse di simmetria
C
σ
A
B
L/2
L/2
B
Diremo che una struttura simmetrica è sottoposta ad un insieme di carichi simmetrici se la stessa
simmetria presente nella struttura vale anche per i carichi. La struttura sarà denotata come
“simmetrica con carichi simmetrici” (o, spesso, con una certa ambiguità dei termini, semplicemente
“simmetrica”, dove però questa volta la simmetria si riferisce all’insieme struttura più carichi).
piano Π
asse di simmetria
C
F
F
σ
A
B
L/2
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
L/2
Revisione – 11/11/01
Lezione n. 2 – pag. II.2
Diremo che una struttura simmetrica è sottoposta ad un insieme di carichi antimetrici (o antisimmetrici o emisimmetrici) se i carichi possiedono, a meno di un segno, la stessa simmetria presente
nella struttura. In questo caso, i carichi di destra (o di sinistra) sono gli opposti dei carichi che si otterrebbero dalla parte di sinistra (o di destra) per simmetria. La struttura sarà denotata come “simmetrica con carichi antimetrici” (o, spesso, più semplicemente, “antimetrica”).
piano Π
F
A
F
σ
A
asse di simmetria
C
B
L/2
L/2
O
ZZ
Il principio di identità, che riportiamo senza dimostrazione, afferma che
In una struttura simmetrica sottoposta all’azione di carichi simmetrici [antimetrici]
tutti gli effetti posseggono carattere di simmetria [antimetria]
Per effetti si intendono tutte le grandezze che possono essere calcolate sulla struttura, quindi reazioni vincolari, Caratteristiche di Sollecitazione (CdS), Caratteristiche di Deformazione (CdD), spostamenti, etc.
In conseguenza al principio di identità è quindi possibile ricavare dalla struttura di partenza una
struttura rappresentata soltanto da metà della struttura iniziale, imponendo opportune condizioni di
vincolo.
Per giungere a tale semplificazione, occorre osservare quello che succede nella sezione che si ottiene dall’intersezione dell’asse della struttura con l’asse di simmetria σ, indicata con C, che per il
momento verrà supposta priva di carichi e vincoli.
B
Cominciamo con l’analizzare il caso “simmetrico con carico simmetrico”.
Nel concio infinitesimo a cavallo della sezione in C si possono evidenziare, una volta estratto dalla
struttura, le CdS che garantiscono l’equilibrio, così come possono essere messi in evidenza gli spostamenti che in generale le due facce possono compiere.
In sostanza, si evidenziano le grandezze che rispettano sia le condizioni di equilibrio che quelle di
congruenza.
La condizione di equilibrio del concio elementare, in assenza di carico e considerando i contributi al
1° ordine, fornisce le CdS evidenziate in figura:
T
M
N
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N
C
T
M
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Lezione n. 2 – pag. II.3
La validità del principio di identità richiede però che le CdS di sinistra siano immagine speculare di
quelle di destra. Ruotando le forze di sinistra intorno alla retta passante per C si osserva che mentre
N e M vanno a sovrapporsi a quella di destra, T dovrebbe essere di segno opposto.
In altre parole, le uniche CdS che rispettano contemporaneamente le condizioni di equilibrio e il
principio di identità sono offerte dallo sforzo normale N e dal momento flettente M, riportate in blu
in figura.
Per simmetria, quindi, a cavallo della sezione C si ha che
Struttura simmetrica con carico simmetrico
Equilibrio + Principio di Identità
Caratteristiche di Sollecitazione in C
N≠0
M≠0
A
T=0
O
ZZ
E’ da notare che la scrittura “diverso da 0”, adottata per sforzo normale e momento, non inplica che
necessariamente tali CdS lo siano, ma che le condizioni di equilibrio ed il principio di identità consentono la presenza di tali CdS con valori non nulli.
Un ragionamento analogo può essere ripetuto per gli spostamenti. Evidenziando, a cavallo della sezione di simmetria, gli spostamenti che rispettano la congruenza, si ottengono quelli disegnati in figura:
ϕ
C
ϕ
w
w
v
v
Anche in questo, occorre controllare quali rispettino anche il principio di identità: si osserva che
mentre v ha carattere di simmetria (ribaltando lo spostamento verticale di sinistra si ottiene quello di
destra), lo stesso non può dirsi per w e ϕ. Quindi, riassumendo il risultato, l’unico spostamento che
rispetta congruenza e principio di identità è rappresentato dallo spostamento verticale v, riportato in
blu in figura.
Struttura simmetrica con carico simmetrico
Congruenza + Principio di Identità
Spostamenti in C
B
w=0
v≠0
ϕ=0
Globalmente quindi si ha che
Struttura simmetrica con carico simmetrico
Equilibrio + Congruenza + Principio di Identità
Sezione C in corrispondenza dell’asse si simmetria
N≠0
T=0
M≠0
w=0
v≠0
ϕ=0
E’ importante notare come le condizioni sulle “forze” siano in qualche modo duali rispetto alle condizioni sui correlativi spostamenti. Si definisce spostamento correlativo di una forza (o forza correlativa di uno spostamento) lo spostamento che, in senso generalizzato, fa compiere lavoro alla
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Lezione n. 2 – pag. II.4
A
forza (anche questa in senso generalizzato). Secondo la definizione, quindi, T e v sono correlativi (il
prodotto T⋅v rappresenta un lavoro) così come lo sono N con w e M con ϕ.
Quindi, la condizione cinematica e la condizione statica correlativa sono tra loro duali: se uno spostamento è nullo (ad esempio, w = 0), la forza correlativa può essere diversa da zero (nel caso esaminato, si ha infatti N ≠ 0).
Dato uno dei postulati fondamentale della meccanica (“l’azione di un vincolo può essere rappresentata attraverso una forza applicata nella direzione efficace del vincolo, in modo da impedire lo
spostamento lungo tale direzione”) è quindi possibile riprodurre quello che succede in C attraverso
un vincolo: nel caso di trave simmetrica con carico simmetrico, il vincolo che garantisce l’equilibrio
della struttura, la congruenza e rispetta il principio di identità è offerto da un bipendolo ad asse
orizzontale, che ha proprio l’equazione rappresentata in tabella.
In altre parole, è possibile studiare soltanto metà struttura sostituendo alla parte soppressa il vincolo
appena determinato. Gli effetti sulla parte di struttura soppressa saranno successivamente valutati
facendo ricorso al principio di identità.
Nel caso in esame si avrebbe quindi
C
L1
asse di simmetria
O
ZZ
C
F
A
F
F
L1
σ
B
A
L
L/2
B
In maniera del tutto analoga si può analizzare il caso “simmetrico con carico antimetrico”.
La condizione di equilibrio del concio elementare, in assenza di carico e considerando i contributi al
1° ordine, fornisce le CdS evidenziate in figura, delle quali soltanto quella evidenziata in blu rispetta sia la condizione di equilibrio che il principio di identità (hanno cioè carattere antimetrico):
M
T
N
C
N
M
T
Analogamente in termini di spostamenti si ha che gli spostamenti riportati in blu sono i soli rispettosi della congruenza e del principio di identità:
ϕ
C
ϕ
w
w
v
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v
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Lezione n. 2 – pag. II.5
Si ha quindi
Struttura simmetrica con carico antimetrico
Equilibrio + Congruenza + Principio di Identità
Sezione C in corrispondenza dell’asse si simmetria
N=0
T≠0
M=0
w≠0
v=0
ϕ≠0
A
Anche in questo caso le condizioni sugli spostamenti sono duali rispetto a quelle sulle forze correlative: le condizioni appena scritte costituiscono l’equazione del vincolo di appoggio semplice con
asse verticale.
E’ quindi possibile studiare soltanto metà struttura sostituendo alla parte soppressa il vincolo appena determinato. Gli effetti sulla parte di struttura soppressa saranno successivamente valutati facendo ricorso al principio di identità.
Nel caso in esame si avrebbe quindi
C
asse di simmetria
O
ZZ
C
F
L1
A
F
L1
F
σ
B
A
L
L/2
E’ interessante notare che in questo ultimo caso, l’utilizzazione del principio di identità comporta
una effettiva semplificazione nello studio della struttura: non soltanto è possibile studiare metà
struttura, ma si è passati da un sistema 1 volta iperstatico (i=1) ad un sistema isostatico.
F2
F2/2
F1
A
F2/2
C
C
(a)
F2/2
=
asse di simmetria
asse di simmetria
C
F2/2
F1/2
σ
B
str. simmetrica carico qualunque
A
F1/2
(s)
+
asse di simmetria
B
Quando si è in presenza di una struttura simmetrica con carico qualunque (ad esempio quella riportata in figura) è sempre possibile ricondursi alla somma di due strutture, una gravata della parte
simmetrica del carico, l’altra della restante parte antisimmetrica:
F1/2
σ
B
str. simmetrica carico antimetrico
A
F1/2
σ
B
str. simmetrica carico simmetrico
E’ da notare che la struttura di partenza (1 volta iperstatica, i=1), sia stata quindi scomposta nella
somma della struttura (a) (i=0) e della struttura (s) (i=1). La somma si estende cioè anche al grado
di iperstaticità: di conseguenza può risultare comunque vantaggioso effettuare la scomposizione riportata.
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Lezione n. 2 – pag. II.6
Un’ultima serie di considerazioni riguarda il caso in cui sull’asse di simmetria siano presenti forze o
vincoli. In questi casi il ragionamento precedentemente fatto va integrato con le ulteriori condizioni
offerte dalla presenza delle entità appena descritte.
Iniziando dal contemplare la possibilità che sull’asse di simmetria sia presente una forza, il ragionamento da effettuare è quello riportato (come schema logico) nelle figure successive.
M/2
M
M/2
M/2
M/2
C
C
C
asse di simmetria
a
C
a
= a →0
= a →0
lim
B
A
a
=
A
lim
A
A
A
O
ZZ
La condizione riportata è quindi di “struttura simmetrica con carico antimetrico”: il passaggio attraverso il limite ha l’unica utilità concettuale di chiarire l’antimetria del carico.
F/2
F
C
C
asse di simmetria
a
A
C
C
a
= alim
→0
= alim
→0
B
F/2
F/2
F/2
a
A
A
=
A
La condizione riportata è quindi di “struttura simmetrica con carico simmetrico”.
B
Infine, nel caso in cui in corrispondenza dell’asse di simmetria siano presenti dei vincoli, nel caso in
cui si voglia studiare soltanto metà struttura, questi vanno a “sommarsi” ai vincoli che rappresentano la parte soppressa della struttura. Per somma si intende l’operazione di unione delle condizioni
cinematiche dei vincoli presenti e di quelli offerti dalla simmetria (o antimetria). Ad esempio il vincolo in C nell’esempio successivo è offerto dal bipendolo (che deriva dalla condizione globale di
simmetria) più l’appoggio verticale presente nella struttura originaria.
C
C
A
asse di simmetria
F
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F
B
F
A
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