Sia un numero reale non nullo

P.N.I. 2002 problema 1
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easy matematica
Sia a ≠ 0 un numero reale non nullo.
Si ha il sistema
x + y = a

x
y =a

e quindi
x + y = a

 x − ay = 0
di Adolfo Scimone
(1)
1) Le equazioni del sistema rappresentano due fasci di rette .
la prima equazione rappresenta un fascio di rette parallele alla bisettrice del 20 e 40 quadrante
non passanti per l’origine, la seconda un fascio di rette passanti per l’origine,
Se a = −1 il sistema non ammette soluzioni e le due rette sono parallele e distinte. Se a ≠ −1
il sistema ammette una sola soluzione.
2) l’equazione del luogo γ si ottiene eliminando il parametro a nelle (1). Avremo:
x
e quindi
y
γ : y 2 + xy − x = 0 od anche
x+ y =
y2
1− y
che rappresenta un’iperbole (privata dell’origine).
γ :x=
3) L’equazione della curva γ ' , simmetrica della curva γ , rispetto alla bisettrice del primo e
terzo quadrante, si ottiene applicando la trasformazione
x → y

y → x
ovvero scambiando tra loro le variabili x e y.
Avremo:
y2
γ :x=
1− y
x2
1− x
Studio del grafico della funzione (3)
dom f = ]−∞;1[ ∪ ]1; +∞[
γ ': y =
Studio del segno
x2
> 0 e quindi
1− x
x <1
f ( x) > 0
per
x >1
f ( x) < 0
per
Inoltre
x2
lim
= ±∞
x →±∞ 1 − x
(2)
(3)
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x2
= +∞
x →1 1 − x
x2
lim+
= −∞
x →1 1 − x
quindi la retta x = 1 è l’asintoto verticale, inoltre
f ( x)
x2
m = lim
= lim
= −1
x →±∞
x →±∞ x − x 2
x
q = lim [ f ( x) − mx ] = −1
lim−
x →±∞
pertanto la retta
y = .x − 1
è l’asintoto obliquo.
Per trovare gli eventuali estremi relativi studiamo il segno della derivata prima:
2
2x − x
f '( x) =
(1 − x) 2
f '( x) ≥ 0 ⇒ x(2 − x) ≥ 0
si ha quindi un punto di minimo in (0;0) ed uno di massimo in (2;-4).
Il punto (0;0), per le limitazioni imposte non dovrebbe essere considerato.
Il grafico della curva γ ' è il simmetrico di γ rispetto alla bisettrice del primo e terzo
quadrante. Si ha il grafico
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4) Per Calcolare l’area della regione di piano delimitata da γ e γ ' basta calcolare il doppio
dell’area compresa fra la bisettrice y = x e γ ' . Risolvendo il sistema
y = x

otteniamo

x2
=
y

1− x

2(2 x − 1) = 0 e quindi
1
x=0
x=
2
Avremo pertanto
1
1

x2 
1 
2
S = 2∫ 2  x −
dx
2
2x +1+
=


dx =
∫
0
0
1− x 
x −1 


1
3
2


= 2  x + x + ln x − 1  2 = − ln 4
0
2
Per trovare un valore approssimato dell’area applichiamo alla funzione
2 x2 − x
f ( x) =
x −1
il metodo dei trapezi
1 1 3 1
 1
Dividiamo l’intervallo  0;  in 4 parti uguali 0; ; ; ; . Essendo
8 4 8 2
 2
1
1 3
1 1
f (0) = 0 ; f   = ; f   = ; f   = 0 avremo
2
 8  28
4 6
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1 3 1
1 3 11
11 3 1
1 3 1
; S 2 =  +  ; S3 =  +  ; S 4 =
2 28 8
2  28 6  8
2  6 20  8
2 20 8
Pertanto
S 1 356
=
= 0, 0529...
2 16 420
S = 0,106
S1 =
5) Per x = 1 dalla
γ : y 2 + xy − x = 0
otteniamo
y2 + y −1 = 0
e quindi
−1 ± 5
.
y=
2
5 −1
otteniamo la sezione aurea di un segmento di
2
lunghezza unitaria (chiamato anche numero d’oro).
Nel caso della soluzione positiva
y=