Teoremi sui limiti 0

Teoremi sui limiti
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Easy Matematica di Adolfo Scimone
Teoremi sui limiti
Consideriamo il seguente:
Lemma: Sia a un numero reale tale che a < ε con ε > 0 , alloradovrà
essere a = 0
Dim. Dimostriamo il lemma per assurdo. Supponiamo per assurdo che a ≠ 0 ,
per definizione di valore assoluto si ha a > 0 .
Essendo per ipotesi a < ε ∀ ε > 0 possiamo porre ε =
a
2
> 0 , in quanto
a > 0 , Risulta pertanto, essendo a < ε :
a<
a
⇒ 2a <a
2
2 a − a < 0 e quindi
a < 0 che è un assurdo in quanto avevamo supposto
che a > 0 . Pertanto dovrà essere
a=0
TEOREMA DELL’UNICITA’ DEL LIMITE
Se esiste il limite della funzione f ( x ) , per x tendente a x0 , tale limite
è unico.
Dimostrazione
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che la funzione per x → x0 ,
ammette due limiti l ed m ; cioè risulti:
lim f ( x ) = l
(1)
lim f ( x ) = m
(2)
x → x0
x → x0
Allora, considerando la (1) avremo
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ I ( x0 ; δ ), con x ≠ x0 , risulta
f ( x) − l < ε
Considerando la (2) avremo
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∀ε > 0 ∃δ ' > 0 : ∀x ∈ I ( x0 ; δ '), con x ≠ x0 risulta
f ( x) − m < ε
Allora avremo:
∀x ∈ I ( x0 ; r ), con r = min {δ ; δ '} e x ≠ x0
risulta
f ( x) − l < ε
e
f ( x) − m < ε
per cui si ha (sapendo che α + β ≤ α + β )
l − m = l − f ( x ) + f ( x) − m ≤ l − f ( x) + f ( x ) − m
essendo
l − f ( x ) + f ( x) − m = f ( x ) − l + f ( x) − m < ε + ε
otteniamo
l − m =< 2ε
∀ε > 0
e per il lemma precedente avremo:
l − m = 0 e quindi
l=m
Ciò prova l’unicità del limite.
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TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
Se una funzione f ( x) ( f : A 
→ ) per x tendente ad x0 , , tende ad un
limite finto l ≠ 0 , esiste un intorno I ( x0 ; δ ) tale che per ogni suo
punto x ≠ x0 , la funzione f ( x ) assume valori dello stesso segno del suo
limite.
Dimostrazione
Per ipotesi abbiamo :
lim f ( x ) = l ≠ 0
x →c
quindi:
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ I ( x0 ; δ ) ∩ A
risulta
f ( x) − l < ε
Posto allora ε = l > 0 avremo
l − l < f (x ) < l + l
(1)
a) Se l > 0 , l = l e quindi l − l = l − l = 0
dalla (1) risulta:
0 < f ( x) < 2l
cioè
f (x ) > 0
Pertanto la funzione f ( x) assume lo stesso segno del limite l.
b) Se l<0,
2l < f ( x) < 0
l = −l e
l + l = l − l = 0,
dalla (1) segue che:
cioè
f ( x) < 0
e la funzione f ( x) assume lo stesso segno di l.
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Se l = +∞ o (−∞) ∃I ( x0 ; δ ) : ∀x ≠ x0 la f ( x) risulterà positiva o negativa.
TEOREMA DEI DUE CARABINIERI.
Siano assegnate tre funzioni f ( x ) , g ( x ) e ϕ ( x ) sono tre funzioni
definite nello stesso insieme A, eccetto al più un punto x0 di questo, se
per ogni x risulta:
f ( x) ≤ ϕ ( x) ≤ g ( x) ,
e se, inoltre, è:
lim f ( x ) = limg ( x ) = l
x → x0
x → x0
allora risulta anche:
limϕ ( x ) = l .
x →c
Dimostrazione
Per definizione di limite, applicata alla funzione f ( x ) , si ha
ε > 0 ∃I ( x0 ; δ1 ) ∩ A : ∀x ≠ x0 e quindi
l − ε < f ( x) < l + ε
(1)
Applicando la definizione di limite alla funzione g(x) avremo
ε > 0 ∃I ( x0 ; δ 2 ) ∩ A : ∀x ≠ x0
l − ε < g ( x) < l + ε
Posto
I ( x0 ; δ ) = I ( x0 ; δ1 ) ∩ I ( x0 ; δ 2 ) ∩ A
risultano simultaneamente verificate le (1) e (2) per cui
∀x ≠ x0 ∈ I ( x0 ; δ ) ∩ A
si ha
l − ε < f ( x) ≤ ϕ ( x) ≤ g ( x) < l + ε
e quindi
l − ε < ϕ ( x) < l + ε
Pertanto, in base alla definizione di limite avremo
lim ϕ ( x ) = l
x → x0
e il teorema è dimostrato
(2)