Esercizi Spazi e sottospazi vettoriali 1. Dire se v1 = 1 1 2 e v 0 2 3

Esercizi
Spazi e sottospazi vettoriali


 
1
0
1. Dire se v1 =  1  e v2 =  2  sono generatori di R3 .
2
3
2. Trovare un supplementare in R3 di U = Span(v1 , v2 ), per i vettori dell’esercizio precedente.
1
2
0
3. Dati v1 =
e v2 =
, dire se v =
appartiene a Span(v1 , v2 ).
2
−3
7

 

1
2
4. Trovare la dimensione di U = Span  1  ,  1 .
2
2
3
5. Completare
  i generatori di U dell’esercizio precedente a una base di R e trovare le coordinate di
3
P =  1  rispetto a questa base.
3
6. Determimare per quali valori del parametro a ∈ R il sottospazio vettoriale di R2 [t] dato da
U = Span(1 + t, t + t2 , 1 + at2 )
ha dimensione 3.
7. Definiamo i sottoinsiemi dello spazio delle matrici M2,2 (R)
a b
S2,2 (R) := A =
∈ M2,2 (R) / a, b, d ∈ R
b d
0 c
T2,2 (R) := B =
∈ M2,2 (R) / c ∈ R
−c 0
Le matrici in S2,2 si chiamano simmetriche e quelle in T2,2 anti-simmetriche. Dimostrare che S2,2 e
T2,2 sono sottospazi vettoriali di M2,2 , trovarne la dimensione e una base. Infine dire se
M2,2 = S2,2 ⊕ T2,2
8. Siano U = Span(1 + t, 1 − t) e W = Span(t + t2 , t − t2 ) sottospazi di R2 [t]. Determinare dim(U + W ),
dim(U ∩ W ) e trovare una base per U + W e U ∩ W .
9. Trovare un supplementare in R3 di
10. Dati i sottospazi vettoriali di R4
 
1
 0 
 
U = Span 
 1  ,
0


1
U = Span  1 
0


0
 2 
 
 0 
1

e
 
3
0
 −1   0

 
W = Span 
 3  ,  0
0
2
determinare dim(U + W ), dim(U ∩ W ) e trovare una base per U + W e U ∩ W .
1




11. Dati i sottospazi vettoriali di R3

  
1
0
U = Span  0  ,  1 
1
2

e
 

0
0
W = Span  1  ,  a 
1
−a
determinare, al variare del parametro a ∈ R, dim(U + W ), dim(U ∩ W ) e trovare una base per U + W
e U ∩ W . In particolare dire per quali a ∈ R si ha R3 = U ⊕ W .
12. Trovare una base B = {v1 , v2 , v3 } di R2 [t] in modo che, data FB l’applicazione delle coordinate, si abbia
 1 


 1 
0
2
2






FB (1) =  0  , FB (t) =  12  , FB (t2 ) =  21  .
1
1
0
2
2
Soluzioni.
1. La risposta è no. Infatti Span(v1 , v2 ) ha dimensione due, essendo v1 e v2 linearmente indipendenti,
mentre R3 ha dimensione 3.
2. Data la base canonica B = {e1 , e2 , e3 } di R3 completiamo (v1 , v2 ) a una base di R3 cercando un insieme
di tre vettori linearmente indipendenti scelti tra
v1 , v2 , e1 , e2 , e3
Si verifica che e1 6∈ U , quindi v1 , v2 , e1 sono una base di R3 . Allora W = Span(e1 ) è un supplementare
di U in R3 (si verifichi).
3. I vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti, quindi formano una base di R2 . Dunque v appartiene
a Span(v1 , v2 ) = R2 .
4. Si ha dim(U ) ≤ 2, e i due vettori che lo generano sono linearmente indipendenti, quindi dim(U ) = 2.
5. Si procede come nell’esercizio 2, e si trova che

    
2
0
1
 1 ,  1 ,  1 
2
0
2
sono linearmente indipendenti, quindi costituiscono una base di R3 . Per trovare le coordinate di P
dobbiamo risolvere il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite


 
1 2 0
3
Ax = b,
dove
A =  1 1 1 , b =  1 
2 2 0
3
L’unica soluzione è la terna 0, 23 , − 12 , che sono quindi le coordinate di P . (La scelta della base e, di
conseguenza le coordinate, non è univoca.)
6. Bisogna determinare per quali valori di a ∈ R non esiste una tripla (λ1 , λ2 , λ3 ) 6= (0, 0, 0) che risolve
λ1 (1 + t) + λ2 (t + t2 ) + λ3 (1 + at2 ) = 0
Si trova che dim(U ) = 3 per a 6= −1.
2
7. Ricordiamo che una base di M2,2 è data dalle matrici
1 0
0 1
0
α11 =
α12 =
α21 =
0 0
0 0
1
0
0
α22 =
0
0
0
1
Risulta allora che
S2,2 = Span(α11 , α22 , α12 + α21 )
T2,2 = Span(α12 − α21 )
Inoltre
dim(S2,2 ) = 3
dim(T2,2 ) = 1
in quanto le matrici α11 , α22 , α12 + α21 sono linearmente indipendenti, e α12 − α21 6= 0. Infine per
verificare se S2,2 e T2,2 sono supplementari possiamo ragionare in due modi: dimostrare che la loro
intersezione contiene la sola matrice nulla e quindi usare la Formula di Grassmann per ottenere che
dim(S2,2 + T2,2 ) = dim(S2,2 ) + dim(T2,2 ) = 4 = dim(M2,2 )
e quindi M2,2 = S2,2 ⊕T2,2 ; oppure notare che le matrici α11 , α22 , α12 +α21 , α12 −α21 sono linearmente
indipendenti e quindi sono una base di M2,2 , per cui M2,2 = S2,2 + T2,2 , e la somma è diretta di nuovo
grazie alla Formula di Grassmann.
8. Si trova che dim(U + W ) = 3 e quindi U + W = R2 [t] e una sua base è B = 1, t, t2 , e dim(U ∩ W ) = 1
e una sua base è B 0 = {t}.
9. Una soluzione è W = Span (e1 , e3 ), usando la notazione B = {e1 , e2 , e3 } per la base canonica di R3 .
10. Si trova dim(U + W ) = 3 e una sua base è

1



0
B= 
 1



0
 
0
0
  2   0
,  , 
  0   0
2
1
 




 ,



e dim(U ∩ W ) = 1 e una sua base è


−6 





2 
0


.
B = 
−6 





1
11. Per ogni a ∈ R si ha dim(U + W ) = 3 con base
  
  
0
0 
 1
B =  0 ,  1 ,  1  .


1
2
1
Per l’intersezione si trova U ∩ W = {0}, e quindi U ⊕ W = R3 per a = 0, mentre se a 6= 0 si ha
dim(U ∩ W ) = 1 e una sua base è
  
 0 
B0 =  1  .


2
12. Si deve risolvere il sistema

1 = 21 v1 + 12 v3



t = 21 v1 + 12 v2


 2
t = 12 v2 + 12 v3
da cui otteniamo v1 = 1 + t − t2 , v2 = −1 + t + t2 e v3 = 1 − t + t2 .
3