Appunti di Algebra Lineare Mappe Lineari

Appunti di Algebra Lineare
Mappe Lineari
10 maggio 2013
1
Indice
1 Ripasso di Teoria
1.1 Cos’è una mappa lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Alcuni fatti importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2 Esercizi
4
1
Ripasso di Teoria
1.1
Cos’è una mappa lineare
Ricordiamo che un’applicazione (o mappa) lineare f : V Ñ W fra spazi vettoriali reali è una
funzione per cui valgano le proprietà:
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
f( u + v ) = f( u) + f( v ),
Ñ
Ñ
f(λ ¨ u) = λ ¨ f( u),
Ñ Ñ
Ñ Ñ
per ogni u, v P V e λ P R. Controllarle entrambe equivale a controllare che per ogni u, v P V e
per ogni λ, µ P R si abbia
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
f(λ ¨ u + µ ¨ v ) = λ ¨ f( u) + µ ¨ f( v ).1
Un po’ di terminologia. Sia f : V Ñ W una mappa lineare. Allora f è detta:
• un monomorfismo se è iniettiva;
• un epimorfismo se è suriettiva;
• un isomorfismo se è biiettiva (cioè iniettiva + suriettiva, cioè mono + epi);
• un endomorfismo se V = W.
• un automorfismo se V = W ed è biettiva.
• di rango r se r = dim f(V).
Inoltre, definiamo
HomR (V, W) = t f : V Ñ W | f mappa lineare u
End (V) = HomR (V, V) = t f : V Ñ V | f mappa lineare u .
1 Si osservi che il + e il ¨ a sinistra dell’uguale non sono gli stessi che ci sono a destra: infatti ogni spazio vettoriale
ha la sua somma e il suo prodotto per scalari. Lo stesso vale per le due equazioni sopra.
2
1.2
Alcuni fatti importanti
Sia f : V Ñ W una mappa lineare fra spazi vettoriali (ad esempio su R). Sia V 1 Ď V un
sottospazio. Allora:
• Anche f(V 1 ) Ď W è sottospazio.
• In particolare, f(V) Ď W è sottospazio di W.
Ñ
Ñ
Ñ
• Il nucleo di f, ker f = t v P V | f( v ) = 0 u, è sottospazio di V.
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
• Se t v 1 , . . . , v h u sono generatori di V 1 , allora t f( v 1 ), . . . , f( v h ) u sono generatori di f(V 1 ) Ď
Ñ
W. Ma attenzione: anche se i v i fossero una base di V 1 (cioè: anche se dim V 1 = h), non
potremmo concludere che dim f(V 1 ) = h, ma solo dim f(V 1 ) ď h. Infatti una base non sempre
va in una base.
Ñ
Ñ
• In particolare, una base B = t u 1 , . . . , u n u di V viene mandata in un insieme di generatori
di f(V), cosı̀ che dim f(V) ď dim V.
• Si ha dim ker f + dim f(V) = dim V. In particolare, se W = V, si ha
V – ker f ‘ f(V).
Ricetta 1. Se n, m sono interi e n ă m, allora:
(i) Una mappa lineare Rm Ñ Rn non è mai iniettiva (Esempi: R4 Ñ R3 , R3 Ñ R2 , R4 Ñ
R2 ...); ma è suriettiva se e soltanto se la matrice associata ha rango massimo.
(ii) Una mappa lineare Rn Ñ Rm non è mai suriettiva (Esempi: R4 Ñ R5 , R2 Ñ R3 , R2 Ñ
R4 ...); ma è iniettiva se e soltanto se la matrice associata ha rango massimo.
Si hanno infine i seguenti importanti risultati:
Theorem 1.1. Se f : V Ñ W è mappa lineare, le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. f iniettivo (cioè monomorfismo);
Ñ
2. ker f = t 0 u;
3. f manda vettori LI di V in vettori LI di W;
Theorem 1.2. Siano V e W della stessa dimensione dim V = n = dim W. Se f : V Ñ W è
mappa lineare, le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. f iniettivo (cioè monomorfismo);
Ñ
2. ker f = t 0 u;
3. Una base di V va in una base di W;
4. f suriettivo (cioè epimorfismo);
3
5. f isomorfismo.
Ricetta 2. Data, ad esempio, una mappa lineare f : Rn Ñ Rn , per mostrare che è isomorfismo
basta mostrare che vale una (qualunque) delle condizioni del teorema precedente (la seconda sembra
la più facile da verificare).
2
Esercizi
Ñ
Ñ
Esercizio 2.1. Mostrare che un’applicazione lineare f : V Ñ W soddisfa f( 0 V ) = 0 W . [Quindi:
quando si controlla se un’applicazione è lineare, si potrebbe iniziare controllando se manda vettore
nullo in vettore nullo: se ciò non accade non è lineare!]
 
�
�
a
a c
Esercizio 2.2. Mostrare che è lineare la mappa f : R3 Ñ R2,2 definita da f b =
.
0 b
c
Esercizio 2.3. Dire se sono lineari le seguenti applicazioni:
 
�
�
a
a c
3
2,2


1. f : R Ñ R definita da f b =
.
1 b
c
 
�
�
a
a+b
2. L’applicazione f : R3 Ñ R2 definita da f b =
.
b´c
c
 
�
�
a
a+b
3
2
3. L’applicazione f : R Ñ R definita da f b =
.
b+c+1
c
 
� 2 �
a
a
4. L’applicazione f : R3 Ñ R2 definita da f b =
.
b+c
c
Esercizio 2.4. Mostrare che se f : V Ñ W è mappa lineare e W 1 Ă W è sottospazio, allora
anche
Ñ
Ñ
f´1 (W 1 ) = t v P V | f( v ) P W 1 u Ă V
è sottospazio.
Esercizio 2.5. Siano V, W spazi vettoriali su R. Mostrare che HomR (V, W) ha struttura di
spazio vettoriale su R. Qual è la sua dimensione? [Consiglio: si usi il legame mappa lineare Ø
matrice associata]
Esercizio 2.6. Dire se W = t p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 | p0 = p1 + 2 u è sottospazio vettoriale
di R2 [x]. No Dire se W 1 = t p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 | p0 = p1 + 2p2 u è sottospazio vettoriale di
R2 [x]. Sı̀ Trovare la dimensione e una base di W 1 .
‹
‹
4
‹
Esercizio 2.7. Ridurre le seguenti
metodo dei determinanti):



0 1 2 3 0
1
0 0 0 0 0
 , B = 2
A=
2 0 3 0 2
3
0 0 1 0 0



2 ´3
1 1 ´1
D = 1 1  , E = 2 2 1
3 ´2
1 1 2
matrici e trovarne il rango (o grazie alla riduzione, o con il



0 1
1 2 0
1 ´1 , C = 2 2 0 ,
1 0
1 4 1




1
1 2 0 ´1
1
0  , F = 0 4 2 1  , G = 2
´1
1 1 5 3
0
´1
3
2
1
2
0
´1
´2
0
r(A) = 3, r(B) = 2, r(C) = 3, r(D) = 2, r(E) = 2, r(F) = 3, r(G) = 2
Esercizio 2.8. Dire se

3 ´1
2 0
0 0
Esercizio

3
A= 0
´h

1
3 .
´1
le seguenti matrici sono ridotte per righe e/o per colonne:
 
 
 

0
3 ´1 0
3 ´1 0
3 0 0
0  , 0 0
0  , 1 0 0 , 0 0 1  .
´1
2 0 ´1
0 2 1
1 2 ´1
2.9. Dire per quali h P R sono invertibili le seguenti




2h
0
1
0 0
?3 h + 1
1 ,C =  3
0 h  , B =  0 ?3
2
2 ´1
´h
2 ´1
1
2
matrici:


2
1
1  , D = 2
3
´2

h 2
4 ´3 .
6 ´5
Scelto un tale h per ciascuna, calcolarne l’inversa. Verificate voi stessi di aver fatto giusto, moltiplicando la matrice trovata per quella iniziale, e controllando che tale prodotto dia la matrice
identica.
Esercizio 2.10. Trovare le inverse delle seguenti matrici (si ricordi che ci sono due metodi:
quello dei cofattori, per cui A´1 = det1 A C, dove C è la matrice dei cofattori di AT ; e quello di
riduzione, in cui si riduce la matrice (A|In ) e si risolvono gli n sistemi lineari associati; possibilmente,
si usino entrambi i metodi):






3 0 0
´1 ´1 0
3
5 0
A = 0 0 1  , B =  2 ´3 1  , C =  ´4 0 1  ,
1 2 ´1
1
2 ´1
1/3 2 ´1






5
0
3
1 1 2
1 1 2
2
1  , E = 2 4 ´3 , F =  0 1 0 .
D= 0
´1 ´2 ´1
3 6 ´5
´1 0 1
Verificate voi stessi di aver fatto giusto, moltiplicando la matrice trovata per quella iniziale, e
controllando che tale prodotto dia la matrice identica.
‹
‹
‹
Esercizio 2.11. Discutere le soluzioni (esistenza, unicità o meno) del sistema lineare
$
&x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 0
%
x + 2y ´ z = 0
Usare Rouché-Capelli.
5
Esercizio 2.12. Risolvere il sistema lineare
"
x ´ 3z = 5 ´ 2y
2x + z = 3 ´ 4y
col metodo di Cramer. Si può utilizzare tale metodo anche per il sistema lineare
"
x + 2y = 5 + 3z
?
2x + 4y = 3 ´ z
Esercizio 2.13. Sia
"
ax + by + cz = d
a 1x + b 1y + c 1z = d 1
un sistema di due equazioni in tre incognite (x, y, z), associato alla matrice
�
�
a b c
A=
.
a1 b1 c1
Dimostrare (usando Rouché-Capelli) che tale sistema:
• ha ∞1 soluzioni se e solo se rk A = 2, oppure rk A = 1 e
a/a 1 = b/b 1 = c/c 1 = d/d 1 ;
• non ha soluzione nel caso restante, cioè quando
rk A = 1, e a/a 1 = b/b 1 = c/c 1 ‰ d/d 1 .
In particolare, non ha mai un’unica soluzione. Questo ci ricorda qualcosa? Dovrebbe ricordarci le
intersezioni fra piani nello spazio
Esercizio 2.14. Discutere le soluzioni di
$
&x + 2y + z = ´2
x ´ 2y + z = 6
%
x ´ 4y + 4z = 13
Risolvere il sistema, ad esempio con Cramer (siccome c’è un’unica soluzione).
Esercizio 2.15. Per quali k P R il sistema
$
&x + y ´ z = 1
2x + 2y + z = 0
%
x + y + 2z = k
è risolubile? Trovarne le soluzioni. k = ´1
Esercizio 2.16. Risolvere il sistema omogeneo
$
x+y+z=0
’
’
&
2x + y ´ 3z = 0
x´y=0
’
’
%
4x + 5y + 2z = 0
tramite riduzione della matrice associata.
6
Esercizio 2.17. Il sistema
$
&3x + y ´ 2z + t = a1
x + 2y ´ t = a2
%
4x + 3y ´ 2z = a3
può avere una sola soluzione? No Ha rango massimo? No Mostrare che ha soluzione se e solo
se a3 = a1 + a2 , e in questo caso ci sono ∞2 soluzioni. In caso contrario, il rango della matrice
completa è 3 ą 2 e non ci sono soluzioni.
Esercizio 2.18. Trovare le ∞2 soluzioni del sistema
"
3x + y ´ 2z + t = 1
x + 2y ´ t = ´3
‹
‹
‹
Esercizio 2.19. Siano date le applicazioni lineari
g
f
R2 −Ñ R3


� �
y
x

x
Þ−Ñ 
y
´x + 3y
R3 −Ñ R3
 


u
u + 2w
 v  Þ−Ñ  ´u + v 
w
´2v + w
Scrivere, rispetto alle basi canoniche, le matrici Mf P R3,2 , Mg P M3,3 , Mg˝f P R3,2 . Verificare
che


´2 7
 1 ´1 = Mg˝f = Mg ¨ Mf .
´3 3
Esercizio 2.20. Scrivere, rispetto alle basi canoniche di R4 , la matrice associata alla mappa
lineare
f
f è un isomorfismo?
f : R4 −Ñ R4
 


x
x+y
y


  Þ−Ñ  z ´ t 
z
 t 
t
´y
‹
‹
‹
Esercizio Risolto (matrice di passaggio).
Sia B = t e1 , e2 , e3 u la base canonica di R3 e C = t c1 , c2 u la base canonica di R2 . Prendiamo
due altre basi:
$
 
 
 ,
1
1
0 .
&
B 1 = f1 = e1 ´ e2 = ´1 , f2 = e1 ´ e3 =  0  , f3 = e2 + e3 = 1
%
0
´1
1
"
� �
� �*
1
0
C 1 = c1 + c2 =
, c2 =
1
1
7
Sia f : R3 Ñ R2 la mappa lineare associata, mediante le basi canoniche, alla matrice
�
�
1 1 0
A=
.
0 1 ´1
1
1
,B
Trovare la matrice MC
.
f
Soluzione. La matrice di passaggio da B a B 1 è la matrice N associata all’automorfismo di
R3 dato da ei ÞÑ fi : tale matrice ha nelle sue colonne le componenti di fi nella base B, cioè:


1
1 0
N = ´1 0 1 .
0 ´1 1
Allo stesso modo, la matrice di passaggio da C a C 1 è la matrice P associata all’automorfismo di
R3 che manda c1 ÞÑ c1 + c2 , c2 ÞÑ c2 . Le colonne sono quindi le componenti di c1 + c2 e di c2 ,
rispettivamente, lette nella base C. Quindi:
�
�
1 0
P=
.
1 1
1
1
,B
La matrice cercata è MC
= P´1 ¨ A ¨ N. Quindi:
f
1
1
1
´1

� 1
1 0 
´1
0 ´1
0
,B
MC
= P´1 ¨ A ¨ N =
f
=
�
1
´1
�

1
1 0
1 0 
´1 0 1
1 ´1
0 ´1 1

�
�
1 0
0 1 1
0 1 =
.
´1 0 ´1
´1 1
��
0
1
1
0
8
�
