1 Radici quadrate e cubiche

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Radici quadrate e cubiche
Definizione 1.1 (Radice quadrata) Si dice radice quadrata di un numero reale positivo a ogni numero positivo che elevato al quadrato dà come
risultato a.
√
4=2
perchè
22 = 4
Calcola tu
√
√
r
25 = ...
1
= ...
4
r
9
= ...
4
s 1 2
= ...
3
625 = ...
√
92 = ...
r
1
= ...
81
r
121
= ...
49
√
52
Definizione 1.2 (Radice cubica) Si dice radice cubica di un numero reale positivo a ogni numero positivo che elevato al cubo dà come risultato
a
√
3
27 = 3
perchè
33 = 27
Calcola tu
√
3
125 = ...
√
3
216 = ...
√
3
53 = ...
r
r
3
3
1
= ...
216
r
3 1
= ...
8
s 1 3
3
= ...
7
1
r
3
8
= ...
343
343
= ...
125
√
3
63
Definizione 1.3 (Radicale, radicando e indice) Il simbolo
radicale, a è il radicando e n l’indice.
2
√
n
a è detto
Addizione e sottrazione di radicali che hanno lo
stesso indice
√
√
√
√
√
2 5 − 5 + 4 5 = (2 − 1 + 4) 5 = 5 5
Calcola tu
√
2+
√
2=
√
3−2 3=
√
√
√
6 2−3 2+4 2=
√
√
√
−10 7 − 3 7 + 15 7 =
√
√
√
−3 3 − 21 3 + 39 3 =
√
√
√
−1 x − 15 x + 3 x =
√
Verifica utilizzando una calcolatrice che
√
√
√
4 + 4 6= 8
3
Moltiplicazione e divisione di radicali che hanno
lo stesso indice e lo stesso radicando
√
Calcola tu
p
√ √
√
3 · 5 = (15 · 3 · 5) = 225 = 15
√
√
√
√
3 5 · 4 6 = 3 · 4 5 · 6 = 12 30
r
√
50
50 √
√ =
= 25 = 5
2
2
15 ·
√
√
30 · 15 =
√
√
√
3
3
3
4 · 10 · 25 =
√
√
√
2 6·5 5·3 2
√
52
√ =
13
√
3
625
√
=
3
5
2·
√
2
4
Espressioni varie
Prova tu
√
√
√
√
( 2 + 3 3)(3 3 − 2 2) =
√
√
√
√
(3 5 − 2 2)(3 5 + 2 2) =
√ √
√
√
2 2(3 2 − 2 3 + 4 5 − 1) =
r
√
√
√
5
12 · 3 + 10 ·
=
2
√
(1 + 5)2 =
√ √
√
2( 8 + 18) =
√
√
√
√
( 288 − 128 − 32) ÷ 2 =
√
√
√
√
( 63 + 28 + 35) ÷ 7 =
√
√
( 5 − 2 2)2 =
5
Trasporto di un fattore fuori dalla radice
√
Prova tu
20 =
√
4·5=
√
√
√
√
√
√
22 · 5 = 2 5
18 =
52 =
72 =
24 =
r
1
=
48
r
45
=
7
r
1
=
150
r
7
=
300
3
6
Razionalizzazione del denominatore
Razionalizzare il denominatore significa trasformare un’espressione contenente radicale al denominatore in una equivalente in cui al denominatore
non compaiono radicali.
Razionalizziamo
2
√
5
√
√
2
5
2
2
2 5
√ = √ ·1= √ · √ =
5
5
5
5
5
2
√
√
7+ 3
√
√
√
√
√
√
√
√
2
2
7− 3
2( 7 − 3)
2( 7 − 3)
7− 3
√
√ ·1 = √
√ ·√
√ =
=
=
7−3
4
2
7+ 3
7+ 3 7− 3
Prova tu
1
√ =
3
4
√ =
2
2
√ =
5
√
2
√ =
5
1
√ =
3 3
1
√ =
12
3
√ =
8
10
√ =
18
6
√
3+ 3
√
2+ 3
√
2− 3
√
√
2+ 3
√
√
3− 2
p
0, 4
4
7
Problemi con i radicali
√
1. Trova perimetro e area della figura sapendo che AP = 4 6.
√
2. Trova perimetro e area della figura sapendo che AP = 2 3.
√
3. Trova perimetro e area della figura sapendo che CA = 3 2.
4. La somma dei perimetri di un triangolo equilatero e un quadrato è
29 cm e il lato del quadrato è 2 cm maggiore rispetto
a quello del
√
9 3
triangolo. Calcola l’area del triangolo. Soluzione: 4
5
6