Riduzione allo stesso indice e semplificazione
Transcript
Riduzione allo stesso indice e semplificazione
Radicali Radici quadrate Si dice radice quadrata di un numero reale a, e si indica con a , il numero reale positivo o nullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come risultato a. Esistenza delle radici quadrate: Ogni numero reale positivo o nullo ha esattamente una radice quadrata in R. Esempio: 4=2 Ogni numero reale negativo non ammette radice quadrata in R perché non esiste nessun numero che elevato a 2 dia un valore negativo. Esempio: −4 non esiste Radici cubiche Si dice radice cubica di un numero reale a, e si indica con reale che, elevato al cubo, dà come risultato a. Esistenza delle radici cubiche: Ogni numero reale ha esattamente una radice cubica in R. Esempio: 3 a , il numero 3 8=2 , 3 −8=−2 Radici n-esime Sia n un numero naturale diverso da zero; si definisce radice n-esima di un numero reale a (se esiste) e si indica con il simbolo n a : • se n è pari: il numero reale positivo o nullo che, elevato a n, dà come risultato a • se n è dispari: il numero reale che, elevato a n, dà come risultato a Il simbolo n è detto segno di radice n-esima Il numero a è detto radicando Il numero n è detto indice del radicale. Nel caso di n=2 l'indice viene normalmente omesso Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: • ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R. Esempio: 4 16=2 • ogni numero reale negativo non ammette radici n-esime in R perché non esiste nessun numero che elevato ad un numero pari dia un valore negativo. Esempio: 4 −16 non esiste Se n è dispari: • ogni numero reale ha esattamente una radice n-esima in R. Esempio: 5 32=2 ; 5 −32=−2 Riduzione allo stesso indice e semplificazione Proprietà invariantiva dei radicali: Consideriamo un radicale il cui radicando è positivo o nullo. Moltiplicando l'indice del radicale e l'esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da zero si ottiene un radicale equivalente a quello originario. In simboli: n am è equivalente a np amp per ogni a≥0 e per ogni n,m,p appartenenti a N -{0} Riduzione di più radicali allo stesso indice Si applica la proprietà invariantiva. Per ridurre allo stesso indice si determina il m.c.m. tra gli indici e si moltiplica indice del radicale ed esponente del radicando per il quoziente tra m.c.m. e indice del radicando. Esempio: se si hanno i radicali 12 5 e 18 5 il m.c.m.(12,18)=36, quindi si divide 36 per 12 (per il primo radicale) e si ottiene 3 e quindi il primo radicale è equivalente a 12∙ 3 5 1∙ 3 = 36 125 . Per il secondo radicale si divide 36 per 18 e si ottiene 18 ∙25 1∙ 2 = 36 25 La riduzione di due radicali allo stesso indice può essere utile nella divisione e moltiplicazione di radicali e per confrontare radicali con indici diversi. Semplificazioni di radicali Si applica la proprietà invariantiva “al contrario”, ossia si determina se il radicando e l'indice del radicale hanno un divisore in comune e si dividono entrambi per tale valore. Esempio, 27 = 5 ∙3 31 ∙3 = 5 3 15 Prodotto, quoziente, elevamento a potenza di radicali Prodotto e quoziente Nell'ipotesi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali n a e n b valgono le seguenti proprietà: con n appartenente a N-{0} n a ∙ n b = n a ∙ b n a n a con n appartenente a N-{0} e b≠0 2. n = b b 1. Potenza di un radicale Nell'ipotesi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali presenti,vale la seguente proprietà: m n n a = a m con n,m appartenenti a N-{0} Trasporto sotto e fuori dal segno di radice Trasporto sotto il segno di radice SI tiene conto della seguente catena di uguaglianze (si suppone che n n A n B= A n ∙ n B= A n ∙ B A≥0 ): Esempio: 2 3 3=3 23 ∙ 3 3=3 23 ∙ 3= 3 24 Se A<0 bisogna distinguere il caso di n pari e n dispari: • se n è dispari si opera come visto precedentemente, come se il fattore fosse positivo • se n è pari bisogna lasciare fuori dalla radice il segno meno e portare dentro la radice il valore assoluto di A Esempio: −2 2 2=−2 22 ∙ 2 2=−2 8 Trasporto fuori dal segno di radice A volte è utile effettuare l'operazione contraria a quella appena vista. Se si tratta di una radice quadrata, occorre scomporre il radicando individuando i fattori che sono dei quadrati perfetti, e in questo caso possono essere trasportati fuori dalla radice. Se si tratta di una radice cubica si individuano, invece, i cubi perfetti. In caso di radice n-esima si individuano le potenze n-esime. Esempio: 3 16= 3 8∙ 2= 3 8 3 2=2 3 2 Addizioni e sottrazioni di radicali ed espressioni irrazionali Addizioni e sottrazioni In generale: n an b≠ n ab n a−n b≠ n a−b Se ci sono radicali che hanno lo stesso indice e lo stesso radicando si possono “mettere in evidenza”. Esempio: 2 3 53 3 5=23 3 5=5 3 5 Espressioni irrazionali Sono espressioni numeriche o letterali in cui sono presenti dei radicali. Per semplificare un'espressione irrazionale bisogna applicare opportunamente le proprietà e le regole viste fino ad ora. Esercizi svolti: 1. Riduci al minimo indice comune i seguenti radicali: 4 3 ; 2 ; 3 10 Svolgimento: Il m.c.m.(2,4,3)=12, quindi: 2 ∙6 26 = 12 26 ; 4∙ 3 3 3 = 12 33 ; 3 ∙4 10 4 = 12 10 4 2. Semplifica, se possibile, i seguenti radicali: a) 12 81 ; b) 4 25 ; 16 c) 6 8 ; 27 d) 6 36 Svolgimento: devo cercare di esprimere i radicandi come potenze che abbiano un esponente divisore dell'indice del radicale a) b) c) d) 3 ∙4 81= 3 4=3 3 12 4 6 2 25 2∙ 2 5 2 2 5 2 5 5 1 2 = = = 2 = 2 2 = 5 16 4 4 2 2 2 8 2 ∙3 2 3 2 2 = = 27 3 3 3∙ 2 6 36= 6 2=3 6 3. Semplifica i seguenti radicali: a) 20 : 2 ; b) 1 :2 ; 8 c) 18 ∙ 2 ; Svolgimento: a) 20 : 2 = 20 :2= 10 b) c) 18 ∙ 2 = 18 ∙2= 36=6 d) 1 :2 = 8 1 1 = : 200 2 1 1 1 1 1 :2= ∙ = = 8 8 2 16 4 1 1 1 1 1 : = ∙ 2= = 200 2 200 100 10 4. Trasporta sotto il segno di radice i fattori esterni: a) −3 3 ; b) 1 8 ; 2 c) 13 3 3 Svolgimento: a) −3 3=−3 2 ∙ 3=− 32 ∙ 3=−27 2 2 b) 1 8= 1 ∙ 8= 1 ∙ 8= 2 2 2 2 3 3 c) 1 3 3= 3 1 ∙ 3 3= 3 1 ∙ 3= 3 1 3 3 3 9 5. Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili: d) 1 1 : 200 2 a) 32 ; b) 200 ; c) 4 32 ; d) 3 81 80 Svolgimento: devo cercare di esprimere i radicandi come prodotti in cui compaia un fattore che sia potenza con indice uguale a quello del radicale a) 32= 16 ∙ 2= 16 ∙ 2= 4 2 ∙ 2 b) 200= 100 ∙ 2= 100 ∙ 2= 102 ∙ 2=10 ∙ 2 c) d) 3 4 32=4 16 ∙ 2=4 16 ∙ 4 2=2 4 2 81 = 80 3 3 ∙ 33 3 3 3 = ∙ 3 2 10 10 ∙ 2 6. Semplifica le seguenti espressioni: a) 18 126 27 2 b) 2 3 163 54 Svolgimento: a) 18 126 27 2 = 32 ∙ 2 22 ∙ 33 ∙2 33 2 = 3 22 3 3 2 = 4 23 3 b) 2 3 163 54 = 2 3 23 ∙ 23 33 ∙ 2 = 2 ∙2 3 23 3 2 = 4 3 33 3 2 = 7 3 2