Radice Quadrata Metodo babilonese (fonte Wikipedia)

INFORMATICA 5BSA marzo 2015 docente Salvatore Mosaico
Radice Quadrata Metodo babilonese (fonte Wikipedia)
Dato un valore
, realizziamo un algoritmo per approssimare
.
Questo metodo funziona nel modo seguente:
1. Poni
e inizia con un valore arbitrario positivo
radice, tanto migliore è la convergenza dell'algoritmo)
2. sostituisci con la media di
3. aumenta n e vai al punto 2
(quanto più esso è prossimo alla
e
Questo algoritmo può essere rappresentato da
da cui si ricava
.
Interpretazione geometrica
Dato un numero positivo, la sua radice quadrata può essere vista come il lato di un quadrato la
cui area è proprio stesso. L'idea è quella di usare dei rettangoli che possiedano la stessa area del
quadrato per arrivare attraverso approssimazioni successive ad avere proprio il quadrato che stiamo
cercando.
Immaginiamo quindi di partire con un certo valore
misurerà
per il lato del nostro rettangolo: l'altro lato
. Prendendo la media di questi due valori
abbiamo due possibilità:


la media è uguale a , quindi abbiamo già trovato la
la media è diversa da .
;
In questo secondo caso chiamiamo questo valore medio e procediamo nello stesso modo usato
per : calcoliamo il valore dell'altro lato del rettangolo di area e lato , otteniamo un nuovo
valore medio e così via.
Daremo origine ad una successione di rettangoli aventi stessa area i cui lati saranno ad ogni passo
più vicini in lunghezza, ottenendo al limite un quadrato e quindi il valore corretto della radice di .
Il metodo dà risposta corretta in numero finito di passi nel caso in cui sia un quadrato perfetto.
Vediamo il metodo all’opera fatto in excel
1
INFORMATICA 5BSA marzo 2015 docente Salvatore Mosaico
2
BASE
1
1,5
1,416667
1,414216
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
1,414214
ALTEZZA
AREA
2,00000000000000000000000000000
1,33333333333333000000000000000
1,41176470588235000000000000000
1,41421143847487000000000000000
1,41421356237150000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
1,41421356237310000000000000000
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ERRORE
0,58578643762690500000000
0,08088022903976190000000
0,00244885649074211000000
0,00000212389822507042000
0,00000000000159494639718
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000
0,00000000000000000000000